王 威，陳爐云

（1.中國艦船研究設計中心，武漢 430064；2.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240）

0 引 言

立管結(jié)構(gòu)是海洋平臺系統(tǒng)連接海面與海底的通道，承擔著油氣輸送的功能，是海洋油氣開發(fā)的關鍵部件。海洋平臺隨著海洋波浪的作用而發(fā)生升沉運動，給立管頂端一個位移時程響應，引起立管軸向力隨浮體運動而發(fā)生變化，并導致立管在水平方向振動，這種現(xiàn)象稱為參激振動。參激振動可引發(fā)立管的參數(shù)共振并導致結(jié)構(gòu)破壞。Hsu[1]最早關注海洋細長結(jié)構(gòu)物的參激共振問題，對限制海域的纜索的振動不穩(wěn)定性問題進行了研究。張杰等[2-3]分析了立管固有振動特性的變化規(guī)律，對比了設計參數(shù)對固有振動特性的影響。唐友剛等[4]研究了立管在剪切流中的參激-渦激耦合振動問題，分析了參數(shù)激勵對橫向渦激振動的影響。邵衛(wèi)東等[5]對變張力作用下的立管結(jié)構(gòu)振型進行了對比，分析考慮重力因素后的結(jié)構(gòu)特性的變化。Kuiper[6]分析了立管內(nèi)外流體壓力差、結(jié)構(gòu)阻尼、截面扭轉(zhuǎn)和剪切變形等因素對立管參激振動的影響。Chen等[7]以8種常見邊界約束為例，探討了邊界條件對立管固有振動特性的影響。Chatjigeorgiou[8-9]分析了結(jié)構(gòu)阻尼對立管參數(shù)激勵振動穩(wěn)定性的影響，研究參數(shù)激勵頻率為立管一階固有頻率2倍時的結(jié)構(gòu)響應。Park等[10]對立管的參激-渦激耦合振動問題進行了時域分析，對比了水深、環(huán)境條件和立管模態(tài)對振動幅值的影響。楊和振等[11]對參數(shù)激勵下深海立管的參量不穩(wěn)定性進行探討，分析阻尼參數(shù)對參激振動穩(wěn)定區(qū)域的影響。Fujiwara等[12]采用大比尺模型試驗，驗證了參激參數(shù)對渦激振動的影響，并進一步給出了數(shù)值計算的結(jié)果。

立管結(jié)構(gòu)是一個復雜的焊接殼體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中通常都存在一定的預應力。預應力產(chǎn)生的原因有：焊接殘余應力、靜水壓力、油氣壓力和其他靜載荷等，預應力大小及方向隨位置而變化，將其定義為復雜預應力。預應力對結(jié)構(gòu)性能有巨大的影響，研究含預應力的結(jié)構(gòu)動力學特性具有重要的理論意義。Chen等[13]通過對非線性方程組的求解，分析了含初應力的結(jié)構(gòu)動力響應問題。Matsunaga[14]基于二維高階剪切理論，分析了含軸向預應力的簡支圓柱殼自由振動問題，對比了剪切效應和轉(zhuǎn)動效應對振動頻率的影響。Zeinoddini等[15]將管道內(nèi)流動水壓力定義為均勻靜載荷，對比了管內(nèi)流速對結(jié)構(gòu)響應的影響。Zhang等[16]以圓柱薄殼結(jié)構(gòu)為例，分析了初始預應力、表面壓力和結(jié)構(gòu)形狀等因素對結(jié)構(gòu)振動的影響。陳爐云等[17]基于應用變分原理分析了含局部預應力的圓柱殼結(jié)構(gòu)動力響應方程和預應力對聲輻射功率和聲指向性的影響。劉勇[18]建立了含復雜預應力的平板結(jié)構(gòu)和圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動微分方程，提出了自由振動和強迫振動的解析方法。

本文基于預應力基本理論，以立管的純參激振動問題為研究對象，將殘余應力、水壓靜應力及軸向力定義成復雜預應力，分析復雜預應力對立管結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)等動力特性的影響。

1 立管參激振動基本模型

1.1 頂張力立管概述

對于典型頂張力立管的參激振動分析，首先對立管進行適當假設：立管結(jié)構(gòu)簡化為一維梁模型；立管頂部張力是一個與波浪頻率相關的函數(shù)；立管幾何尺寸、材料性質(zhì)沿長度方向不變；立管的應變很小，應力應變滿足線性關系；僅考慮管內(nèi)流體質(zhì)量，忽略流速引起的動力效應。

基于上述假設，將立管與海洋平臺浮體相連的張緊器簡化為一個彈簧機構(gòu)，該機構(gòu)將平臺對立管的位移激勵轉(zhuǎn)化為力激勵，定義等效彈簧剛度為K。由于張緊器剛度遠小于立管的軸向剛度，立管的兩端約束可視為兩端鉸支邊界。以立管頂部為原點建立直角坐標系，定義z方向為立管軸向方向，y方向為立管位移方向，建立立管模型，如圖1所示。

1.2 立管參激運動基本方程

根據(jù)立管結(jié)構(gòu)基本假設，應用Euler-Bernoulli理論，純參數(shù)激勵下的立管運動方程為：

圖1 立管模型示意圖Fig.1 Simply supported riser

式中：w（ z,t）為立管橫向振動位移；T（ z,t）為立管張緊力；cS為立管結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)為立管單位長度上水平外激勵力；EI為彎曲剛度，為單位長度的立管結(jié)構(gòu)質(zhì)量，D0和D1分別為立管的外徑和內(nèi)徑，ρs為立管結(jié)構(gòu)材料密度；mf=為單位長度的管內(nèi)油氣質(zhì)量，ρf為管內(nèi)油氣密度為單位長度的立管附連水質(zhì)量，ρw為海水密度，Ca為附連水質(zhì)量系數(shù)。

假設立管兩端為鉸支支撐，則其邊界條件滿足：

此時，立管張緊力T z,（）t可寫成：

2 梁結(jié)構(gòu)預應力模型

立管可簡化為Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)，并遵循“平斷面假定”。下面基于梁結(jié)構(gòu)理論開展含預應力的立管結(jié)構(gòu)應力分析。

2.1 預應力類型

在梁結(jié)構(gòu)動力響應中，結(jié)構(gòu)除受動載荷作用外，還受其它形式的靜載荷的作用?？蓪⑦@些靜載荷引起的應力定義成復雜預應力。此外，結(jié)構(gòu)軸向張緊力引起的軸向拉應力也可定義成預應力。此時，結(jié)構(gòu)的預應力包括：梁結(jié)構(gòu)張緊力、靜水壓力和焊接殘余應力，它們滿足線性疊加關系：

式中：σT為張緊力引起的應力為結(jié)構(gòu)截面面積，T z,（）t為結(jié)構(gòu)張緊力；σH為靜水壓力引起的應力，σH=f（）h，h為水深；σR為焊接殘余應力，在文中只考慮z方向焊接殘余應力，并有σR=σR,z。在文中，只考慮z方向復雜預應力σr=σr,z

2.2 預應力假設

因結(jié)構(gòu)中存在著預應力，其運動方程受預應力與動位移間耦合作用影響。在結(jié)構(gòu)動力響應分析中，設預應力與振動引起的動應力滿足線性疊加關系。在預應力作用下，結(jié)構(gòu)靜態(tài)平衡方程可寫成：

式中：σr,z為預應力，P為靜外載荷。若預應力為焊接殘余應力，則有P=0；若預應力是由靜水壓力引起，P為靜水壓力函數(shù)，則有為水深；若預應力是由梁結(jié)構(gòu)的張緊力引起，則有P=T（ z,t）。

此時，含預應力的梁結(jié)構(gòu)動力響應運動方程為：

3 基于復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)運動微分方程

以梁結(jié)構(gòu)動力響應特性為研究對象，分析預應力與結(jié)構(gòu)振動位移的耦合關系，建立含復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)運動控制微分方程，提出梁結(jié)構(gòu)自由振動的求解方法。

3.1 梁結(jié)構(gòu)模型

梁結(jié)構(gòu)的長度為L，其截面面積為S，如圖2所示。建立直角坐標系，z軸與梁長度方向重合且位于梁中性層上。定義對稱面yOz，梁彎曲發(fā)生在yOz平面內(nèi)。定義垂直z軸的位移w為撓度，其正向與y軸正向相同。

圖2 梁結(jié)構(gòu)幾何模型Fig.2 Beam geometry model

當梁結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，選取梁結(jié)構(gòu)中微元體，其長度為dz。微元體中的力和力矩包括兩部分：預應力與位移的耦合力；振動位移引起的力和力矩。對于微單元dz，其軸向截面拉力Nr,z可寫成：

根據(jù)梁彎曲理論，梁結(jié)構(gòu)任意處應變εz可寫成:

式中：w（ z,t）為振動位移。根據(jù)虎克定律，正應力σz為

此時，作用在微元體截面上的彎矩可寫成:

式中：Mz為σz在梁斷面引起的彎矩；I為梁結(jié)構(gòu)慣性矩；E為梁結(jié)構(gòu)材料彈性模量。

3.2 耦合項分析

設結(jié)構(gòu)在z軸方向分布預應力σr,z是變量z的函數(shù)。在力平衡條件下，含預應力的結(jié)構(gòu)微元體受力情況如圖3所示。

當結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，預應力與振動位移相互作用會引起耦合。假設預應力大小和分布在振動過程中保持不變，并引起微元體應變。此時，梁截面單位長度距中性面的變形ly可寫成:

根據(jù)“平斷面假定”，單位長度梁結(jié)構(gòu)體積V可寫成：

由（12）式可知，微元體的振動過程中其體積不變，因而截面拉力Nr,z在振動過程中亦不變。當梁結(jié)構(gòu)處于靜止狀態(tài)時，截面拉力Nr,z平行于z軸，且在其他方向上無分量。由于預應力σr,z始終與橫截面保持垂直，故預應力不產(chǎn)生新的耦合彎矩和轉(zhuǎn)矩。

受振動位移w的作用，截面拉力Nr,z產(chǎn)生繞y軸的轉(zhuǎn)角，其轉(zhuǎn)角大小為?w/?z。此時，截面拉力Nr,z在y方向上的分量ΔNy,z可寫成如下形式：

由（13）式可知，分量ΔNy,z是預應力和振動位移的函數(shù)，它改變了微元體的力平衡方程，是預應力與振動位移間的耦合力，如圖4所示。

圖3 預應力引起的截面力Fig.3 Section force caused by pre-stress

圖4 微元體耦合力Fig.4 Element body coupling force

3.3 平衡方程

根據(jù)梁結(jié)構(gòu)的小撓度彎曲理論，分析微元體的力和力矩平衡方程。含復雜預應力的彈性梁在z方向的力平衡條件恒滿足。在y方向力平衡方程中，有剪力Qz和y方向的耦合力ΔNy,z，其力平衡方程為：

式中：m為微元體結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量。因預應力不產(chǎn)生耦合力矩，即含預應力的彈性梁結(jié)構(gòu)在y方向的力矩平衡條件恒滿足。在z方向，力矩平衡方程滿足：

將（15）式代入（14）式，可得如下微分形式：

3.4 基于復雜預應力的立管運動微分方程

將（7）、（10）式代入（16）式，則含復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)自由振動微分方程可寫成：

4 含復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)自由振動

下面對梁結(jié)構(gòu)自由振動問題進行分析，開展立管振動特征分析。

4.1 自由振動方程

設梁兩端為絞支支撐，滿足兩端邊界條件的位移表達式可寫成級數(shù)形式：

式中：φ（z）為振形函數(shù)；β=π/L，L為梁長度；i為虛數(shù)單位；ω為圓頻率；Bn為梁結(jié)構(gòu)位移系數(shù)；N為級數(shù)的項數(shù)。

引入正交三角級數(shù) sin（ ξβ z），其中 ξ為正交參數(shù)。 將（18）式代入（17）式，利用三角級數(shù)的正交性，沿梁從z=0到z=L積分，可得：

4.2 典型梁振動特征

下面以幾種典型預應力分布形式為例，分析含復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)自由振動特性。

（1）若復雜預應力為σr,z，（19）式可直接簡化為簡單梁結(jié)構(gòu)的自由振動方程，其特征方程為EI

（2）若復雜預應力為均勻分布，即σr,zS＝T0，則（18）式可簡化為復雜梁結(jié)構(gòu)的振動方程，其特征方程為

當σr,z為拉應力時，梁結(jié)構(gòu)的固有頻率將升高；當σr,z為壓應力時，梁結(jié)構(gòu)的固有頻率將降低。

（3）若復雜預應力沿軸向方向變化，它是一維復雜預應力，可用三角函數(shù)來擬合：

根據(jù)（26）式，其解形式可建立N個方程，將其聯(lián)立并寫成矩陣形式：

（4）設復雜預應力沿軸向方向變化，并用更復雜的三角級數(shù)來擬合：

式中：各參數(shù)的物理意義與（24）式相同。由于復雜預應力的表達式更為復雜，級數(shù)項增多，這導致預應力影響矩陣R發(fā)生變化，此時矩陣R不再是稀疏矩陣。由于復雜預應力的級數(shù)項是線性相加關系，矩陣R可表示為：

4.3 模態(tài)分析

針對典型復雜預應力分布情況，建立兩端鉸支立管的自由振動特征方程。復雜預應力可用三角級數(shù)來擬合，采用（32）式來描述立管結(jié)構(gòu)中復雜預應力具有普適性。含復雜預應力的特征方程為線性方程組，令其特征方程系數(shù)的行列式為零，即：

求解（33）式，可獲得含復雜預應力的梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。若結(jié)構(gòu)中不存在預應力，即R=0，（33）式可退化為經(jīng)典彈性梁自由振動特征方程；若結(jié)構(gòu)中存在著預應力，即不再是對角矩陣。

表1 計算模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the model system

5 算 例

5.1 立管模型

在開展立管參激振動數(shù)值計算中，立管結(jié)構(gòu)基本參數(shù)參考文獻[2]，如表1所示。

5.2 定軸力下立管振動特性

忽略立管自重影響，立管結(jié)構(gòu)內(nèi)的軸向拉力為立管頂端靜張緊力，即T（ z,t）=T0，復雜預應力為立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)可寫成分離變量法計算定軸力下立管振型函數(shù)φ（）z。圖5所示為立管前三階振型，振型是標準正弦函數(shù)。

圖5 立管振型示意圖Fig.5 Mode shapes of the riser

5.3 變軸力下立管振動特性

考慮立管自重的影響作用，但忽略平臺升沉的影響，內(nèi)部張緊力沿水深增加而減少，即此時結(jié)構(gòu)內(nèi)復雜預應力立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)可寫成

圖6所示為立管前三階振型，在立管結(jié)構(gòu)應力分布是水深 z的函數(shù)時，立管振型有明顯變化，它不再是標準正弦函數(shù)，振型振幅最大點向海底方向偏移。

圖6 立管振型示意圖Fig.6 Mode shapes of the riser

5.4 變軸力與殘余應力聯(lián)合作用下立管振動特性

下面分析分布著復雜焊接殘余應力且受變軸力作用下的立管結(jié)構(gòu)振動特性。焊接殘余應力分布形式如圖7所示，其最大值約為149 MPa。應力為正表示為拉應力、應力為負則表示為壓應力。

在立管結(jié)構(gòu)中的復雜殘余應力的大小可擬合成三角級數(shù)。在本研究中，采用20階級數(shù)對焊接殘余應力進行擬合，并寫成管結(jié)構(gòu)中的復雜預應力可寫成將其代入到方程（19）中，可得立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)為

圖8所示為含有焊接殘余應力的立管結(jié)構(gòu)前三階振型，此時立管振型不再是標準正弦函數(shù)，焊接殘余應力使立管的振動振型由光滑的曲線變成帶有較多突變的粗糙曲線，靠近海底處更為明顯，這表明焊接殘余應力影響立管的橫向振動。

對比圖5、圖6和圖8可知，在復雜預應力作用下，立管的振型變得更為復雜，復雜預應力對立管橫向振動具有重要影響。因此，在立管結(jié)構(gòu)動力響應分析中考慮復雜預應力的影響是十分必要的。

表2所示為三種工況下立管結(jié)構(gòu)前6階固有頻率的對比。

由表2可知，在焊接殘余應力作用下，立管固有頻率變小。由于存在復雜預應力，立管固有頻率值與不考慮預應力的固有頻率值相差較大，在前幾階頻率影響更為明顯。

圖7 殘余應力分布Fig.7 Distribution of pre-stress

圖8 立管振型示意圖Fig.8 Mode shapes of the riser

表2 固有頻率計算Tab.2 Comparison of natural frequencies of the riser

6 結(jié) 論

文章基于預應力理論，開展立管參激振動分析，得出如下結(jié)論：在立管振動特性分析中考慮焊接殘余應力因素可更為全面地描述結(jié)構(gòu)的力學特性和總體性能；分析復雜預應力對立管振動特性的影響，可為通過控制結(jié)構(gòu)復雜預應力達到實現(xiàn)提高立管結(jié)構(gòu)綜合性能的目標提供技術參考。

[1]Hsu C S.The response of a parametrically excited hanging string in fluid[J].Journal of Sound and Vibration,1975,39(3):305-316.

[2]張 杰,唐友剛.深海立管固有振動特性的進一步分析[J].船舶力學,2014,18(1-2):165-171.Zhang Jie,Tang Yougang.Further analysis on natural vibration of deep-water risers[J].Journal of Ship Mechanics,2014,18(1-2):165-171.

[3]Zhang Jie,Tang Yougang.Mathieu instability analysis of deepwater top-tensioned risers[J].Journal of Ship Mechanics,2014,18(9):1142-1150.(English edition)

[4]唐友剛,邵衛(wèi)東,張 杰,王麗元,桂 龍.深海頂張力立管參激—渦激耦合振動響應分析[J].工程力學,2013,30(5):282-286.Tang Yougang,Shao Weidong,Zhang Jie,Wang Liyuan,Gui Long.Dynamic response analysis for coupled parametric vibration and vortex-induced vibration of top-tensioned riser in deep-sea[J].Engineering Mechanics,2013,30(5):282-286.

[5]邵衛(wèi)東,唐友剛,樊娟娟,等.考慮浮體升沉及張緊環(huán)運動深海立管固有振動特性研究[J].海洋工程,2012,30(2):8-13．Shao Weidong,Tang Yougang,Fan Juanjuan,et al.Study of natural vibration characteristics of deep-water riser considering heave motion of platform and tension-ring’s motion[J].Ocean Engineering,2012,30(2):8-13．

[6]Kuiper G L,Brugmans J,Metrikine A V.Destabilization of deep-water risers by a heaving platform[J].Journal of Sound and Vibration,2008,310(3):541-557.

[7]Chen Y F,Chai Y H,Li X,Zhou J.An extraction of the natural frequencies and mode shapes of marine risers by the method of differential transformation[J].Computers and Structures,2009,87(21-22):1384-1393.

[8]Chatjigeorgiou I K.On the parametric excitation of vertical elastic slender structures and the effect of damping in marine applications[J].Applied Ocean Research,2004,26(1-2):23-33.

[9]Chatjigeorgiou I K,Mavrakos S A.Nonlinear resonances of parametrically excited risers-numerical and analytic investigation for Ω=2ω1[J].Computers and Structures,2005,83(8-9):560-573.

[10]Park H,Jung D H.A finite element method for dynamic analysis of long slender marine structures under combined parametric and forcing excitations[J].Ocean Engineering,2002,29(11):1313-1325.

[11]楊和振,李華軍.參數(shù)激勵下深海立管動力特性研究[J].振動與沖擊,2009,28(9):65-78.Yang Hezhen,Li Huajun.Vibration analysis of deep-sea risers under parametric excitations[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28(9):65-78.

[12]Fujiwara T,Uto S.Kanada D.An experimental study of the effects that change the vibration mode of riser VIV[C].OMAE 2011-49677.

[13]Chen C S,Cheng W S,Tan A H.Non-linear vibration of initially stressed plates with initial imperfections[J].Thin-Walled Structures,2005,43(1):33-45.

[14]Matsunaga H.Free vibration of thick circular cylindrieal shells subjected to axial stresses[J].Journal of Sound and Vibration,1998,221(l):l-17.

[15]Zeinoddini M,Harding J E,Parke G A R.Dynamic behaviour of axially pre-loaded tubular steel members of offshore structures subjected to impact damage[J].Ocean Engineering,1999,26(10):963-978.

[16]Zhang Y L,Gorman D G,Reese J M.Vibration of prestressed thin cylindrical shells conveying fluid[J].Thin-Walled Structures,2003,41(12):1103-1127.

[17]陳爐云,李磊鑫,張裕芳.含局部預應力的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射特性分析[J].上海交通大學學報,2014,48(8):772-777.Chen Luyun,Li Leixin,Zhang Yufang.Characteristics analysis of structural-acoustic of cylindrical shell with prestress in local areas[J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2014,48(8):772-777.

[18]劉 勇.復雜預應力對圓柱殼結(jié)構(gòu)動力特性影響研究[D].上海:上海交通大學,2014.Liu Yong.A study of the impact on dynamic characteristics of cylindrical shell with complex prestress[D].Shanghai:Shanghai Jiaotong University,2014.