數(shù)學(xué)教學(xué)中的哲學(xué)味
——以“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)為例

□荀步章

兒童是天生的哲學(xué)家。當(dāng)代哲學(xué)家周國平說：“哲學(xué)不具備簡(jiǎn)單意義的實(shí)用性，它是無形、無限與無定。如果把科學(xué)比作一片廣袤的大地，那么，哲學(xué)就是一片無限的天空?！比绾闻囵B(yǎng)小學(xué)生的哲學(xué)數(shù)學(xué)思考意識(shí)，引發(fā)他們追問 “從哪里來” “怎樣去找”“有何特征” “到哪里去”，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該有自己的回答，在反復(fù)追問與辯證理解中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。筆者通過 “因數(shù)與倍數(shù)”一課想表達(dá)一點(diǎn)哲學(xué)數(shù)學(xué)的思考。

一、從哪里來

師：數(shù)學(xué)要研究 “數(shù)”，一年級(jí)開始，我們就學(xué)習(xí)自然數(shù)，自然數(shù)包括哪些數(shù)？

生： 0， 1， 2， 3， 4……

師：今天研究的數(shù)指不是0的自然數(shù)，叫非0自然數(shù)。

1.除法運(yùn)算

師：數(shù)學(xué)要研究?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的關(guān)系，老師用兩個(gè)自然數(shù)做了幾道除法算式。

依次出示： 12÷2=6 8÷3=2……2 36÷9=4 19÷7=2……5 15÷15=1 1÷2=0.5

師：仔細(xì)觀察思考，誰來把這些算式分類？

學(xué)生嘗試分類：

第一類： 12÷2=6 36÷9=4 15÷15=1

第二類：8÷3=2……2 19÷7=2……5

第三類：1÷2=0.5

師：怎樣想的？

生：第一類算式中的每一個(gè)數(shù)都是自然數(shù)，第二類算式中都有余數(shù)，第三類算式中有小數(shù)。

師：特別研究第一類算式，像這樣，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，沒有余數(shù)。比如，12÷2=6，我們就可以說12是2的倍數(shù)，2是12的因數(shù)。也可以說，12是6的倍數(shù)，6是12的因數(shù)。

師：誰來說一說36÷9=4這道算式中因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。

生：36是9的倍數(shù)，9是36的因數(shù)，36是4的倍數(shù)，4是36的因數(shù)。

生：15是15的倍數(shù)，15是15的因數(shù)。15是1的倍數(shù)，1是15的因數(shù)。

師：誰愿意出一道除法算式，讓其他同學(xué)說一說。

……

【反思】從一年級(jí)認(rèn)識(shí)的一個(gè)自然數(shù)出發(fā)，學(xué)生很熟悉，接著，用兩個(gè)非零自然數(shù)做除法運(yùn)算，尋找符合整除的算式，并聚焦這一類算式，被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，沒有余數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)之間的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系，完全符合數(shù)論基礎(chǔ)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的辯證關(guān)系，有因數(shù)就有倍數(shù)，有倍數(shù)就有因數(shù)，中間用 “與”連接。因數(shù)與倍數(shù)從哪里來，從整除運(yùn)算中來。

2.圖形表示

師：用小方塊拼長(zhǎng)方形，一排擺6個(gè)，擺2排，一共用了多少個(gè)小方塊，怎么算？

生： 6×2=12。

師：這道乘法算式里有因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：6和2都是12的因數(shù)，12是6和2的倍數(shù)。

師：這幅點(diǎn)子圖，怎么算？

生： 12×1=12。

師：誰來說一說，這道乘法算式中有因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：12和1都是12的因數(shù)，12是12和1的倍數(shù)。

師：這是一幅線段圖，怎樣求乙？

生： 4×3=12。

師：誰來說一說，這道乘法算式中有因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：4和3都是12的因數(shù)，12是4和3的倍數(shù)。

師：這些圖形中的數(shù)可以選0嗎？

生：不能，因?yàn)檫x0就不能構(gòu)成圖形了。

師：這也說明了因數(shù)與倍數(shù)研究的是非0自然數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是從哪里來的？從乘法、除法運(yùn)算中來，從圖形的表示中來。

【反思】亞里士多德說： “哲學(xué)是一切學(xué)問中最為自由的，因?yàn)樗鼉H僅為了自身而存在。”因數(shù)與倍數(shù)是一種依存關(guān)系，通過整除運(yùn)算讓學(xué)生理解還不完整，借助圖形表示，在乘法運(yùn)算中同樣存在因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。跳出除法算式，建構(gòu)乘法意義的因數(shù)與倍數(shù)。這一組圖形數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生進(jìn)一步理解因數(shù)與倍數(shù)的意義。

二、怎樣去找

1.找12的因數(shù)

師：老師找了幾份研究單，一起來分享一下。

生：通過除法來尋找12的所有因數(shù)，從1開始，12÷1=12， 12÷2=6， 12÷3=4， 12 的 因 數(shù) 有1， 2， 3， 4， 6， 12。

師：朱同學(xué)找的非常好，掌聲表揚(yáng)。他用了什么好方法？

生：按順序找。

生：按自然從小到大的順序。

生：用乘法算式來找的，1×12=12，2×6=12， 3×4=12， 12 的因數(shù)有 1，12，2，6， 3，4。

師：蔣同學(xué)找的也非常好，但她寫的因數(shù)沒有按自然數(shù)順序。

師： （電腦演示）第一步怎么找？用乘法或除法找。第二步怎么算？乘法先算1×12=12、2×6=12、3×4=12； 除法算 12÷1=12、 12÷2=6、 12÷3=4。 不論乘法還是除法都需要有序一一列舉。第三步怎么寫？先寫1和12，一前一后，再寫2和6，一前一后，最后寫3和4，這樣成對(duì)寫很快，而且有序。

怎么找？ 乘法 除法

怎么算？

1×12=12 12÷1=12

2×6=12 12÷2=6

3×4=12 12÷3=4

怎么寫？ 12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12.

【反思】給學(xué)生問題挑戰(zhàn)，嘗試找出12的所有因數(shù)。學(xué)生受起始學(xué)習(xí)影響，部分學(xué)生用除法運(yùn)算去找，還有學(xué)生用乘法算式有序找到12的所有因數(shù)，在具體寫出12的所有因數(shù)時(shí)，注意一前一后成對(duì)有序?qū)?，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思考的理性與思辨。

2.分組找15、36、16的所有因數(shù)

師：第一組找15的所有因數(shù)，第二組找36的所有因數(shù)，第三組找16的所有因數(shù)。

先獨(dú)立完成，再與同學(xué)交流。

生： 用乘法找，1×15=15，3×5=15，15的因數(shù)有1，3，5，15。在數(shù)直線上圈出來。

生： 用乘法找， 1×36=36， 2×18=36， 3×12=36， 4×9=36， 6×6=36， 36的因數(shù)有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36。這里的6有2次，為了不重復(fù)，寫一個(gè)就行了，并在數(shù)直線上圈出來。

生： 用乘法找， 1×16=16， 2×8=16， 4×4=16，16的因數(shù)有1，2，4，4，8，16。這里的4也有2個(gè)，我多寫了一次，應(yīng)該去掉一個(gè)4。

師：這三位同學(xué)都用乘法有序找了一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

【反思】在全班找12的所有因數(shù)的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生自主探索一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，全班分3個(gè)小組，每人完成一個(gè)數(shù)，強(qiáng)化尋找的過程，按自然數(shù)順序一一列舉，強(qiáng)調(diào)相同因數(shù)只要寫一個(gè)，借助數(shù)形結(jié)合，把每個(gè)數(shù)的因數(shù)成對(duì)在數(shù)直線上表示出來，與寫因數(shù)的過程一一對(duì)應(yīng)。

3.分組找2、3、5的倍數(shù)

師：帶著找一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，試著找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。第一組找2的倍數(shù)，第二組找3的倍數(shù)，第三組找5的倍數(shù)。

師：有什么問題嗎？

生：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)，怎么寫？

師：一般寫出前6個(gè)，加上省略號(hào)。

學(xué)生一一找2、3、5的倍數(shù)。全班交流反饋。

生：用乘法算式一一列舉，1×2=2，2×2=4，3×2=6，等等，2的倍數(shù)有2，4，6，8，10，12……

生：用乘法算式一一列舉，1×3=3，2×3=6，3×3=9，等等，3的倍數(shù)有3，6，9，12，15，18……

生：用乘法算式一一列舉，1×5=5，2×5=10，3×5=15， 等等， 5的倍數(shù)有5，10， 15， 20， 25， 30……

師：怎樣去找一個(gè)數(shù)的因數(shù)呢？

生：用自然數(shù)1、2、3……與它相乘，很快就能找到一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

【反思】找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)學(xué)生很容易，以找一個(gè)數(shù)因數(shù)為基礎(chǔ)，用乘法計(jì)算，從自然數(shù)1開始，依次與這個(gè)數(shù)相乘，口算思考都簡(jiǎn)單。這里主要解決寫多少、怎么寫的問題。學(xué)生開始就有疑惑，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)無限個(gè)，怎么辦呢？按規(guī)定寫出6個(gè)，加上省略號(hào)，表示無限多。

三、有何特征

師：電腦呈現(xiàn)，回顧找一個(gè)數(shù)因數(shù)的過程。

15的因數(shù)有1，3，5，15

36的因數(shù)有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36

16的因數(shù)有1，2，4，8，16

師：仔細(xì)觀察每一個(gè)數(shù)的因數(shù)，有何特征？

生：一個(gè)數(shù)的因數(shù)中最小是1。

生：一個(gè)數(shù)的因數(shù)中最大的是本身。

師：15有幾個(gè)因數(shù)？36和16呢？

生：4個(gè)、9個(gè)和5個(gè)。

師：一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的還是無限的？

生：有限的。

師：再一起回顧找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)過程。

2的倍數(shù)有2，4，6，8， 10，12……

3的倍數(shù)有3，6，9，12，15，18……

5的倍數(shù)有5，10，15，20，25，30……

師：仔細(xì)觀察一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，有何特征？

生：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中最小的是它本身。

生：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)沒有最大的，因?yàn)樽匀粩?shù)有無數(shù)個(gè)。

生：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)是無限的。

師：思考一下，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同之處是因數(shù)和倍數(shù)都是從乘法、除法的角度去尋找，有序地找，因數(shù)、倍數(shù)中都有本身。

生：不同之處，一個(gè)是從本身開始向內(nèi)找，有限個(gè)；一個(gè)是從本身向外找，無限個(gè)。

課件呈現(xiàn)：

師：我們研究了因數(shù)與倍數(shù)，表示兩個(gè)數(shù)的相互依存關(guān)系。一是從哪里來？整數(shù)乘法、除法運(yùn)算和圖形表示中都可以找到因數(shù)與倍數(shù)。二是怎樣去找？用乘法或除法去找，有序找，成對(duì)找。三是有何特征？一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，在1到它本身之間；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無限的，從它本身開始，沒有最大的。還有一個(gè)問題需要思考，就是 “到哪里去”。

【反思】學(xué)生通過探索學(xué)會(huì)了找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)，回顧反思，列舉15、36、16的所有因數(shù)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的因數(shù)最小的是1，最大的是它本身，個(gè)數(shù)是有限的，還相機(jī)呈現(xiàn)維恩圖的表示方法、數(shù)直線的表示方法，多元表征形象理解。再回顧尋找2、3、5的倍數(shù)過程，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是它本身，最大的不存在，個(gè)數(shù)是無限的。辯證思考理解，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)由本身向內(nèi)尋找，而找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是由本身向外尋找。

四、到哪里去

1.生活中

師：生活中有關(guān)于求一個(gè)數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)的問題嗎？

問題一：乘坐小船每人應(yīng)付4元，填寫表格。

師：怎么填？

生： 12， 16， 20， 24……

師：這是求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，還是因數(shù)？

生：求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

問題二：24個(gè)學(xué)生表演團(tuán)體操，填寫表格。

師：怎么填？

生： 8， 6， 4， 3， 2， 1。

師：這是求？

生：求一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

2.數(shù)學(xué)中

師：數(shù)學(xué)中求一個(gè)數(shù)的因數(shù)還有研究，老師想給大家介紹一個(gè)特別的數(shù)6。6的因數(shù)有哪些？

生：1， 2，3， 6。

師：除去6本身，把剩下的因數(shù)相加。你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：結(jié)果還是等于6。

師：這樣的數(shù)很特別，數(shù)學(xué)家們將具有這一特點(diǎn)的數(shù)稱之為完美數(shù)。6就是第一個(gè)完美數(shù)。想知道第二個(gè)完美數(shù)是多少嗎?

生：想!

師：透露一下，比25大，比30小。

組內(nèi)分工合作，看看哪一小組最先找出第二個(gè)完美數(shù)!

學(xué)生很快找出了第二個(gè)完美數(shù)28。

師：其實(shí)，人們對(duì)于完美數(shù)的探索興趣是永無止境的，找到了第二個(gè)完美數(shù)，人們就開始尋找第三個(gè)、第四個(gè)，看……

師：想一下，要找出這些完美數(shù)來，有什么感覺？

生：我覺得太了不起了！

生：這需要付出多大的艱辛呀!

師：究竟是什么力量，吸引著一代又一代數(shù)學(xué)家為此付出畢生的心血呢？

生：是完美數(shù)本身。

生：是他們對(duì)于數(shù)學(xué)的熱愛。

生：對(duì)于數(shù)的好奇心。

師：數(shù)學(xué)王子高斯說過，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇后，數(shù)論則是數(shù)學(xué)的皇冠。今天時(shí)間有限，我們只看到了皇冠上一粒小小的珠子，但只要我們沿著這條路走下去，一定會(huì)收獲很多東西。同學(xué)們，努力吧！未來屬于你們！

【反思】學(xué)生學(xué)完因數(shù)與倍數(shù)后，心中會(huì)有疑惑，因數(shù)與倍數(shù)有什么用？這里從兩個(gè)方面進(jìn)行延伸，一是從生活中的問題入手，如坐船付錢問題是求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，團(tuán)體操表演問題是求一個(gè)數(shù)的因數(shù)；二是從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)，除去本身，把剩下的數(shù)相加，若等于它本身，這個(gè)數(shù)就是完美數(shù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究精神的教育，引發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的興趣。

【整課反思】本課想體現(xiàn)一點(diǎn)哲學(xué)數(shù)學(xué)的味道，通過 “為什么、是什么、怎么辦”的追問，讓學(xué)生整體理解因數(shù)與倍數(shù)的相互依存關(guān)系。為什么要研究？怎么研究？還有什么？除此之外，我們還想體現(xiàn)一點(diǎn)其他味道：

一是 “數(shù)學(xué)味”。從例題改編出來，強(qiáng)調(diào)直觀，從非0自然數(shù)引入，探索整除算式，數(shù)形結(jié)合思考，一一有序列舉策略等，想呈現(xiàn)一種數(shù)學(xué)味。

二是 “兒童味”。讓學(xué)生在個(gè)人獨(dú)立探索一個(gè)數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)，小組交流、全班展示的過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)因數(shù)與倍數(shù)的特征，讓兒童自主生長(zhǎng)發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。

三是 “問題味”。杜威說： “教育中永遠(yuǎn)成功的教學(xué)方法是，給學(xué)生一些事情去做，不是給他們一些東西去學(xué)?！睂W(xué)生探究找12的所有因數(shù)，在思考與交流中提升，對(duì)比發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)因數(shù)與倍數(shù)特征的異同，追尋數(shù)學(xué)問題橫縱聯(lián)系。

四是文化味。因數(shù)與倍數(shù)是同時(shí)存在的，誰也離不開誰。除法算式關(guān)系如何表示？乘法算式關(guān)系如何表示？如何求出一個(gè)數(shù)因數(shù)與倍數(shù)，由本身向內(nèi)、由本身向外尋找的方法，慢慢體會(huì)兩者的關(guān)系，滿足不同學(xué)生學(xué)習(xí)差異需求。

正如俞正強(qiáng)老師在 《人民教育》2017年第10期開篇一文所說， “干所有的事情，都要先明白我要干什么，上課亦是如此。”