“消失的硬幣”
——一個(gè)光學(xué)小實(shí)驗(yàn)的計(jì)算分析

陽(yáng) 麗 白克釗 胡君輝

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

“消失的硬幣”是一個(gè)有趣的光學(xué)小實(shí)驗(yàn)．[1]這個(gè)實(shí)驗(yàn)的原理就是利用光的全反射現(xiàn)象．全反射是指光由光密介質(zhì)(即光在此介質(zhì)中的折射率大)射到光疏介質(zhì)(即光在此介質(zhì)中折射率小)的界面時(shí),當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)，全部被反射回原介質(zhì)內(nèi)的現(xiàn)象．[2]

實(shí)驗(yàn)所需材料:1枚硬幣、透明燒杯以及寬口玻璃器皿．實(shí)驗(yàn)分兩步(圖1).步驟1： 先將1枚干燥的硬幣放在干凈的玻璃器皿中,然后把玻璃燒杯放在硬幣上(硬幣放在杯底中心區(qū)域)．剛開(kāi)始還沒(méi)倒水時(shí),我們從燒杯的側(cè)面可以清晰地看到硬幣,然后往燒杯里慢慢倒水,當(dāng)水面到達(dá)一定高度,硬幣憑空消失了．從杯子的側(cè)面看不到硬幣(只能從燒杯口往下看才能看到硬幣)．步驟2： 往底部的寬口玻璃器皿倒水,這時(shí)候在杯子的側(cè)面又可以觀察到硬幣了．

(a) 放置硬幣 (b) 硬幣消失 (c) 硬幣出現(xiàn)

2 已有的研究

以前的文獻(xiàn)對(duì)這個(gè)現(xiàn)象做了分析，[3-8]但是這些文獻(xiàn)一般都從硬幣上選取一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行研究,建立質(zhì)點(diǎn)模型,忽略了玻璃杯子的折射率和玻璃杯壁的厚度．[3]而且研究者認(rèn)為硬幣無(wú)論放在哪個(gè)地方都是整體消失或整體出現(xiàn).[1]實(shí)際上,可以觀察到當(dāng)水面上升到一定高度之后,硬幣才開(kāi)始消失了,之后慢慢消失不見(jiàn),就像“融化”在水中似的．于是為了能夠更好地解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,本文將玻璃杯的折射率(材質(zhì))和厚度考慮其中,精確計(jì)算硬幣的“融化”和水的高度的關(guān)系．

3 實(shí)驗(yàn)探究

問(wèn)題1: 在什么角度范圍內(nèi)可以觀察到硬幣?

當(dāng)硬幣不沾水的時(shí)候,硬幣與杯底之間有空氣間隙．當(dāng)玻璃燒杯注入水之后,硬幣“發(fā)出”的光線路徑有兩種情況.情況1: 水位線高,光線的傳播路徑為:空氣—玻璃—水—玻璃—空氣;情況2: 水位線低,光線的傳播路徑為: 空氣—玻璃—水—空氣—玻璃—空氣．以第2種光的路徑為例,任取一條光線畫(huà)出光路圖(圖2),其中i為入射角,γ為折射角,d為硬幣厚度,d1為硬幣與玻璃杯底部的距離,d2為玻璃杯底的厚度,d3為玻璃杯側(cè)壁的厚度,d4為觀察者與玻璃杯之間的觀測(cè)距離,H為觀察者的觀察高度(距離杯底)．R為硬幣中心到玻璃內(nèi)壁的距離．

圖2 光路圖

根據(jù)折射定律可寫(xiě)出各界面的方程(計(jì)算中用到n玻=1.50,n水=1.33,n空=1.00)．

情況1：

n空sini1=n玻sinγ1，γ1=i2.

(1)

n玻sini2=n水sinγ2，γ2+i3=π/2.

(2)

n水sini3=n玻sinγ3，γ3=i4.

(3)

n玻sini4=n空sinγ3，γ3=γ4.

(4)

情況2:

n空sini1=n玻sinγ1，γ1=i2.

(5)

n玻sini2=n水sinγ2，γ2=i3.

(6)

n水sini3=n空sinγ3，γ3+i4=π/2.

(7)

n空sini4=n玻sinγ4，γ4=i5.

(8)

n玻sini5=n空sinγ5.

(9)

情況1中,要使得水—空氣界面和玻璃—空氣界面不發(fā)生全反射,則90°>i1>62°,42.5°>i2>36°,48.6°>i3>41°,42°>i4>36°．情況2中,要使得不發(fā)生全反射,則90°>i1>15°,42.5°>i2>0°,48.6°>i3>0°,75°>i4>0°, 42.5°>i5>0．兩種情況中,只有當(dāng)硬幣發(fā)出的光線(能穿過(guò)水面射出)i1在某個(gè)范圍內(nèi),觀察者在杯壁外側(cè)可觀察到硬幣．雖然理論上在這個(gè)范圍內(nèi)都能看到硬幣,但是隨著水面的上升,能射出水面的角度i1增大,i5也相應(yīng)增大,當(dāng)入射角i5接近臨界角48°,反射光線越強(qiáng)而折射光線越弱．[4]實(shí)際觀察中,人的眼睛與水面有一定距離d4,因此硬幣反射的光線無(wú)法進(jìn)入觀察者所在的燒杯側(cè)壁處．其次,加之玻璃杯的底部(玻璃-水界面)入射角光線i2接近臨界角48°,反射光過(guò)亮,掩蓋了這個(gè)范圍內(nèi)的折射光線,所以人眼無(wú)法觀察到硬幣．

問(wèn)題2:水面高度與硬幣消失的關(guān)系?

以情況2為例,下面推導(dǎo)硬幣的入射角i1與水面高度h的關(guān)系式.

根據(jù)圖2可得,

R=d1tani1+d2tanγ1+htanγ2+d5tanγ3.

(10)

(11)

將(5)～(9)式代入得

(12)

根據(jù)觀察高度

H=d+d1+d2+h+d5+d3tanγ4+d4tanγ5.

(13)

可得

d5=H-d-d1-d2-h-d3tanγ4-d4tanγ5.

代入(12)式,得

(14)

上式中,當(dāng)硬幣放置的位置R、硬幣厚度(d、d1)、玻璃杯厚度(d2,d3)、觀察者高度(H)和距離(d4)不變的時(shí)候,將這些量近似看為常數(shù),向杯中注水,h升高,i1將變小,當(dāng)i1< 15°之后,硬幣“發(fā)射光線”的部分看不見(jiàn)了．隨著h升高,硬幣右側(cè)“發(fā)出”的光線出射角i1先變小,硬幣中心、硬幣左側(cè)的入射角度i1依次變小,所以當(dāng)觀察者在右側(cè)觀察時(shí)候,硬幣右側(cè)先消失,然后慢慢融化．

4 探究的經(jīng)驗(yàn)

現(xiàn)象1:如果不需要用寬口玻璃器皿,直接把硬幣在水里沾濕,然后重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟1,觀察者從側(cè)面一直都能看到硬幣,即得到與實(shí)驗(yàn)步驟2相同的結(jié)果．

解釋:硬幣上沾水之后,硬幣發(fā)出的光線首先經(jīng)過(guò)水-玻璃界面,通過(guò)公式(1)-(4)可計(jì)算得到,當(dāng)41°

現(xiàn)象2:當(dāng)燒杯注入水后,從杯子的水面上方看,在適當(dāng)?shù)慕嵌瓤梢杂^察到3枚硬幣．

圖3 3個(gè)硬幣的圖像

解釋:當(dāng)從杯子側(cè)面觀察硬幣的時(shí)候,某些角度下能看到3枚硬幣,(從上到下依次)第1枚為硬幣發(fā)出的光線通過(guò)水—空氣折射形成的虛像,這個(gè)硬幣的虛像比實(shí)際的硬幣高,類(lèi)似于我們觀察到水中偏折的筷子．[9]第2枚為硬幣發(fā)出的光線通過(guò)玻璃—空氣界面(觀察者這一側(cè))折射形成的虛像,第3枚則是通過(guò)杯子的側(cè)面(觀察者這一側(cè))的水折射形成的像,此時(shí)的杯子側(cè)面相當(dāng)于一個(gè)凸透鏡,[10]從而形成一個(gè)放大的虛像,和我們觀察放大鏡的成像類(lèi)似．

5 結(jié)語(yǔ)

無(wú)論是關(guān)于物理學(xué)的基本概念的學(xué)習(xí),還是對(duì)

于物理學(xué)整體結(jié)構(gòu)的理解,都需要以實(shí)驗(yàn)作為基礎(chǔ)．探究實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚣由顚W(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,建立學(xué)生觀察和操作能力,即激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的積極性,又使得理論教學(xué)不再是紙上談兵．

1 史孝武,劉劍峰.為什么看不到水杯下的硬幣[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2014,40(11):19-20.

2 王少杰.新編基礎(chǔ)物理學(xué)[M].科學(xué)出版社，2015.

3 劉建鋒,徐書(shū)輝.看不見(jiàn)的杯底硬幣[J].物理教師，2014,35(11):46-48.

4 蘇明義.為什么看不到水杯下的硬幣了[J].物理教學(xué)探討,2013,31(3):1-2.

5 李貝,呂曉媛,祁瑞娟,張鐵炳.消失的圖像——光的全反射趣味實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及原理分析[J].物理教學(xué)探討，2016,34(497):48-50.

6 魏紅波,李金.光的折射現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)改進(jìn)[J].教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn)，2011,27(2):17-18.

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9 吳彩香,陳雪梅.光的折射現(xiàn)象和規(guī)律[J].初中生世界(初二物理版)，2007(2):16-17.

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