摘 要 目前基于小波框架的圖像復(fù)原模型研究較為普遍，它在圖像方面的成功應(yīng)用主要是因?yàn)橄∈璞平姆侄喂饣瘮?shù)。雖然基于l0平滑的圖像復(fù)原算法中能夠提供圖像的稀疏表示，但基于l0范數(shù)的約束項(xiàng)會(huì)使得計(jì)算量較為復(fù)雜，且代碼運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。針對(duì)此問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的MDAL算法。算法中采用光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，通過(guò)牛頓迭代法來(lái)更新小波框架的系數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他算法相比，提出的改進(jìn)的MDAL算法具有自適應(yīng)的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征，能夠明顯改善圖像的視覺效果，且具有較高的峰值信噪比（PSNR）。

【關(guān)鍵詞】小波框架 圖像復(fù)原 l0最小化 MDAL算法

1 引言

圖像恢復(fù)技術(shù)是圖像處理領(lǐng)域一類重要的處理技術(shù)，與圖像增強(qiáng)等其他基本圖像處理技術(shù)類似，該技術(shù)也是以獲取視覺質(zhì)量得到某種程度改善為目的的。圖像恢復(fù)過(guò)程需要根據(jù)指定的圖像退化模型來(lái)完成，根據(jù)這個(gè)退化模型對(duì)在某種情況下退化或惡化了的退化圖像進(jìn)行恢復(fù)，以獲取到原始的、未經(jīng)過(guò)退化的原始圖像。換句話說(shuō)，圖像恢復(fù)的處理過(guò)程實(shí)際是對(duì)退化圖像品質(zhì)的提升，并通過(guò)圖像品質(zhì)的提升來(lái)達(dá)到圖像在視覺上的改善。圖像復(fù)原技術(shù)在航空航天、生物醫(yī)學(xué)、國(guó)防公安等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。目前，在非平穩(wěn)圖像先驗(yàn)知識(shí)未知等前提下，圖像復(fù)原方法得到了不錯(cuò)的復(fù)原效果。

較早的復(fù)原方法有Wiener濾波、RL方法等，但復(fù)原圖像有大量的振鈴效應(yīng)。Fergus 等人[1]利用混合高斯模型來(lái)逼近重尾分布，取得了具有標(biāo)志性的的進(jìn)展，然而復(fù)原出的圖像中含有振鈴效應(yīng)。Shan等人[2]采用新的分段函數(shù)模型來(lái)逼近梯度分布，有效地抑制了圖像復(fù)原過(guò)程中造成的振鈴現(xiàn)象，但是恢復(fù)出的圖像中含有噪聲。Xu等人[3]提出一種選擇顯著性邊緣的方法，很好地保持了模糊核的稀疏性，但未考慮模糊核的連續(xù)性。

基于小波框架的圖像復(fù)原模型研究較為普遍，比較常見的算法有PD算法和MDAL算法。通常情況下，采用l0范數(shù)來(lái)度量數(shù)據(jù)的稀疏性比較準(zhǔn)確，即考察數(shù)據(jù)集中非零元的個(gè)數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，一方面，當(dāng)優(yōu)化模型中存在基于l0范數(shù)的約束項(xiàng)時(shí)，就會(huì)使得求解方法較為復(fù)雜，且時(shí)間復(fù)雜度較高；另一方面，l0范數(shù)對(duì)于數(shù)據(jù)中的噪聲是極其敏感的。為了克服l0范數(shù)的不足，本文通過(guò)光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，提出了一種改進(jìn)的MDAL算法。改進(jìn)的MDAL算法具有自適應(yīng)的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

2 小波框架下的圖像復(fù)原模型

為了獲得高質(zhì)量的圖像復(fù)原，目前各種正則化方法在文獻(xiàn)中被提出。在所有關(guān)于圖像復(fù)原的正則化模型中，變分方法和小波框架是很成功的，并且在實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。

基于文獻(xiàn)[4]的小波框架能根據(jù)基本解的奇異性，適應(yīng)性地在給定圖像的不同區(qū)域選取適當(dāng)?shù)奈⒎炙阕?，所以它們?yōu)于一些變分模型。在離散設(shè)置時(shí)，w表示快速的張量積框架分解，wT表示快速重構(gòu)。然后通過(guò)單一的擴(kuò)展原理（UEP）[5]，得到一個(gè)更好的重構(gòu)：因?yàn)閃TW=1，所以對(duì)于任何矩陣u，滿足u=WTWu。小波框架的構(gòu)造也能通過(guò)UEP來(lái)獲得。在數(shù)值模擬中，Haar框架將以特定[7]形式被構(gòu)造使用。用以下公式來(lái)表示u的L層的框架系數(shù)分解：

I表示所有框架帶的指數(shù)集，Wl，ju是u在j帶l層的小波框架。我們也使用α表示小波框架系數(shù)，即α=Wu，

使用基于文獻(xiàn)方法[6]的分析來(lái)解決圖像重構(gòu)問(wèn)題：

其中f表示噪聲模糊圖像，A表示模糊算子。l0范數(shù)||w||0被定義為w的非零項(xiàng)的數(shù)目。在小波變換的確定層和波段的給定的像素位置上，用（Wu）i表示W(wǎng)u的值（與λi類似）。為了符號(hào)的簡(jiǎn)單，優(yōu)化模型（3）可以重新寫成：

3 小波框架中基于l0最小化的MDAL算法

均值雙重增強(qiáng)拉格朗日問(wèn)題可以被定義為：

基于l0范數(shù)的約束項(xiàng)會(huì)使得計(jì)算量較為復(fù)雜，且代碼運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。同時(shí)，l0范數(shù)對(duì)于數(shù)據(jù)中的噪聲是極其敏感的。光滑高斯函數(shù)的傅氏變換還是它本身，其頻譜圖是一個(gè)單瓣，因此能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，并在保留圖像信息和濾出噪聲之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)。高斯函數(shù)的計(jì)算上的可分離性，使得其高維計(jì)算可以高效進(jìn)行。例如二維高斯函數(shù)的卷積計(jì)算，可以先用原始二維圖像對(duì)一個(gè)一維高斯函數(shù)卷積，再對(duì)另外一個(gè)方向垂直的一維高斯函數(shù)進(jìn)行第二次卷積。本文采用光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，提出一種改進(jìn)的基于l0最小化的MDAL算法?？紤]到帶參數(shù)σ1的連續(xù)高斯函數(shù)[6]：

逼近的準(zhǔn)確性受參數(shù)來(lái)控制，同時(shí)用來(lái)逼近克羅內(nèi)克函數(shù)（Kronecker delta）[13]。在數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)上，有：

函數(shù)h是α中零項(xiàng)數(shù)目的一個(gè)指示器，重構(gòu)向量α通過(guò)以下公式逼近：

其中，。在上面的公式中，N代表了所有包括在α中的元素的數(shù)量和，所以可以用重建優(yōu)化后的模型來(lái)代替（6）：

對(duì)于均值雙重增強(qiáng)拉格朗日（MDAL）問(wèn)題，可以用以下三步迭代來(lái)描述，并通過(guò)應(yīng)用光滑算法來(lái)解決最小化問(wèn)題：

通過(guò)牛頓迭代法來(lái)更新小波框架的系數(shù)。通過(guò)牛頓下降梯度法求解α中所有元素的導(dǎo)數(shù)。在這種情況下，小波框架的系數(shù)有更少的非零項(xiàng)，小波框架系數(shù)得到最小值。在整個(gè)操作過(guò)程中，內(nèi)循環(huán)通過(guò)牛頓法來(lái)控制小波系數(shù)，并采用合適的終止標(biāo)準(zhǔn)終止外循環(huán)。

4 模擬和結(jié)果

在這一部分，本文提供了改進(jìn)的MDAL方法與其它方法進(jìn)行圖像恢復(fù)質(zhì)量比較。本文選取四幅不同的模糊圖像做測(cè)試，使用MATLAB中的“fspecial（‘gaussian，11，2）”函數(shù)來(lái)生成模糊核?；謴?fù)圖像的質(zhì)量通過(guò)下面定義的PSNR值來(lái)測(cè)定：

其中，是待復(fù)原的清晰圖像。

本文測(cè)試兩種算法的信噪比和時(shí)間復(fù)雜度。所有的計(jì)算都在MATLAB上進(jìn)行。電腦配置為Intel Core i7（3.4GHz）CPU， 16GB RAM， Window7操作系統(tǒng)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們?yōu)閮煞N方法選擇相同的停止標(biāo)準(zhǔn)。

在Haar框架下，對(duì)于所有的圖像進(jìn)行測(cè)試。對(duì)于改進(jìn)的MDAL方法，設(shè)定參數(shù)σ1=0.5，step=0.68，k=6，μ=0.01，γ=0.003。這些參數(shù)的優(yōu)化調(diào)整可能會(huì)提高呈現(xiàn)的結(jié)果，但也可能降低算法的實(shí)用性，因?yàn)楦嗟膮?shù)是需要使用者自行調(diào)整的。

圖1是本文與其他方法的復(fù)原實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果。圖1（a）是一副模糊圖像，圖1（b、c、d）分別是Fergus，Shan以及Xu等人的結(jié)果，圖1（e）是本文改進(jìn)的MDAL方法的結(jié)果。Fergus等[1]和Shan等[2]采用模糊核閾值截?cái)嗟姆椒?，?fù)原圖像中存在一定的模糊，如圖（b）和（c）所示。Xu等人[3]的復(fù)原結(jié)果中有明顯的振鈴效應(yīng)，如圖1（c）所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文方法的峰值信噪比（PSNR）的值比其他方法至少高2db，如表1所示。從圖1（e）和（f）中可以發(fā)現(xiàn)，本文在復(fù)原的同時(shí)，有效地抑制了振鈴效應(yīng)，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

5 結(jié)束語(yǔ)

光滑高斯函數(shù)能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，同時(shí)由于高斯函數(shù)計(jì)算上的可分離性，使得其高維計(jì)算可以高效進(jìn)行。在小波框架下，本文利用光滑高斯函數(shù)近似代替 范數(shù)，提出了基于改進(jìn)的MDAL算法的圖像復(fù)原模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的MDAL算法具有自適應(yīng)的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。采用峰值信噪比（PSNR）作為基于誤差敏感的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)。與其他方法的定量結(jié)果相比，本文方法的PSNR值遠(yuǎn)高于其他方法的PSNR值，具有很好的理論研究意義和實(shí)用價(jià)值。然而，對(duì)于一些特殊的圖像，改進(jìn)的MDAL算法比其他兩種算法要慢。在未來(lái)的工作中，一方面要減少計(jì)算成本，另一方面，為了獲得更好的圖像質(zhì)量，我們需要進(jìn)一步優(yōu)化我們的算法，處理一些非光滑的圖像。

參考文獻(xiàn)

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[3]Xu L and Jia J.Two-phase kernel estimation for robust motion deblurring.In Proc.10th European Conf.Comput.Vision.IEEE，2010.

[4]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no.2， pp.337-369，2009.

[5]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no. 2，pp.337-369，2009.

[6]王志堅(jiān).基于大氣模型的圖像復(fù)原改進(jìn)算法及應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2007（03）：239-241+248.

作者簡(jiǎn)介

張靜（1990-），女，山東省濱州市人。碩士學(xué)位。吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院助教。主要研究方向?yàn)閳D像處理，計(jì)算數(shù)學(xué)。

作者單位

吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院基礎(chǔ)部 吉林省長(zhǎng)春市 130000