張海東

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極限平衡法分析邊坡的穩(wěn)定性分為兩個(gè)步驟：（1）計(jì)算特定滑動(dòng)面的安全系數(shù)；（2）搜索臨界滑動(dòng)面。在邊坡的穩(wěn)定性分析方法的研究中，大多數(shù)學(xué)者更加關(guān)注已知滑動(dòng)面安全系數(shù)的計(jì)算方法。然而在實(shí)際工程中裂解滑動(dòng)面的位置是未知的，因此確定臨界滑動(dòng)面的位置至關(guān)重要。臨界滑動(dòng)面的搜索包括三個(gè)方面的因素：①滑動(dòng)面方程的構(gòu)建；②搜索滑動(dòng)面的計(jì)算方法；③邊坡穩(wěn)定性分析方法。在三維邊坡穩(wěn)定性分析中，滑動(dòng)面通常被假定為橢球形、對(duì)數(shù)螺旋面、楔形體或者組合滑動(dòng)面等。為了搜索邊坡的臨界滑動(dòng)面，學(xué)者們也提出了很多搜索方法，例如變分法、模式搜索法、隨機(jī)搜索法、遺傳算法、規(guī)劃法等方法。到目前為止，雖然學(xué)者們提出了很多搜索方法，但大多都是針對(duì)二維邊坡的穩(wěn)定性分析。在三維邊坡穩(wěn)定性分析中存在滑裂面的構(gòu)建過(guò)程復(fù)雜、控制參數(shù)多、搜索效率低等不足之處，缺少成熟方法，需要進(jìn)一步研究。

Wan（2016）建立嚴(yán)格的三維邊坡穩(wěn)定性分析方法，但是還未開(kāi)展三維臨界滑動(dòng)面的搜索工作。為了完善三維邊坡穩(wěn)定性分析Spencer法，本文在前人的研究基礎(chǔ)上，提出了一種4個(gè)參數(shù)構(gòu)建三維邊坡滑動(dòng)面的方法，基于極限平衡Spencer法建立目標(biāo)函數(shù)，最后通過(guò)粒子群算法實(shí)現(xiàn)了臨界滑動(dòng)面的搜索并開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的程序。

1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，1995 年由Eberhart 博士和kennedy 博士提出，它源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的研究。它的基本核心是利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享從而使得整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問(wèn)題求解空間中產(chǎn)生從無(wú)序到有序的演化過(guò)程，從而獲得問(wèn)題的最優(yōu)解。由于具有原理簡(jiǎn)單且優(yōu)化效果好的優(yōu)點(diǎn)，粒子群算法被越來(lái)越多的人采用進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。在土木工程領(lǐng)域，很多學(xué)者應(yīng)用粒子群算法解決工程中遇到的問(wèn)題。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法首先要生成一系列的隨機(jī)粒子，并給粒子命名。每一個(gè)粒子代表問(wèn)題解答的一種可能性。每個(gè)粒子的屬性包含粒子的當(dāng)前位置、當(dāng)前最優(yōu)位置、當(dāng)前粒子位置對(duì)應(yīng)的速度，每個(gè)粒子接近最優(yōu)解的距離由適應(yīng)度函數(shù)確定。適應(yīng)度函數(shù)是用來(lái)確定目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值的函數(shù)。通常設(shè)置實(shí)用度函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)相關(guān)，通過(guò)計(jì)算每個(gè)粒子的適用度來(lái)確定當(dāng)前粒子的位置。粒子的速度由單個(gè)粒子的最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置確定（1）。為了進(jìn)行下一步搜索，式（2）用來(lái)更新粒子的位置。這樣形成一個(gè)迭代過(guò)程直到滿足收斂要求。在應(yīng)用粒子群算法優(yōu)化三維邊坡的臨界滑動(dòng)面時(shí)，每個(gè)粒子代表一個(gè)潛在滑動(dòng)面。適用度函數(shù)和安全系數(shù)相關(guān)。

ν是粒子的速度，ω是慣性權(quán)重，present是當(dāng)前粒子的位置，pbest、 gbest分別是當(dāng)前粒子的最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，rand是介于（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)， c1，c2是學(xué)習(xí)因子，通常 c1= c2= 2。

2 方法驗(yàn)證

通過(guò)分析已有文獻(xiàn)中的算例，將本文得到的結(jié)果和文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來(lái)證明本文搜索方法的合理性。此外，本文搜索方法還和應(yīng)用有限元強(qiáng)度折減法得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，進(jìn)一步證明本文搜索方法可以應(yīng)用到三維邊坡臨界滑動(dòng)面的搜索中。通過(guò)結(jié)果的對(duì)比分析得到本文三維非對(duì)稱(chēng)邊坡臨界滑裂面搜索方法的評(píng)價(jià)。

2.1 算例1

圖1 一個(gè)計(jì)算式的函數(shù)圖

本文對(duì)算例1進(jìn)行從新分析計(jì)算，來(lái)證明本文方法搜索三維邊坡臨界滑動(dòng)面的可行性。Alkasawnehet al. 在2008年首次對(duì)這個(gè)算例進(jìn)行了分析，應(yīng)用不同的搜索方法搜索2D情況下邊坡的臨界滑動(dòng)面和相應(yīng)的安全系數(shù)。應(yīng)用本文方法搜索臨界滑動(dòng)面，設(shè)置粒子群個(gè)數(shù)為N=30，慣性權(quán)重ω=0.8，學(xué)習(xí)因子c1= c2=2，迭代步數(shù)為100。

圖1給出了最小安全系數(shù)、平均安全系數(shù)和迭代步數(shù)之間的關(guān)系。粒子群經(jīng)過(guò)10、20、100次迭代的安全系數(shù)分別為1.7883、1.7852、1.7833。經(jīng)過(guò)10和20次迭代安全系數(shù)和經(jīng)過(guò)100次迭代得到的安全系數(shù)的相對(duì)誤差分別為0.28%和1.1%。本文方法第一步最小安全系數(shù)2.3295，經(jīng)過(guò)10～20次迭代即達(dá)到了收斂的要求，這說(shuō)明了本文方法的搜索臨界滑動(dòng)面的效率較高。本文搜索方法和有限元強(qiáng)度折減法得到的安全系數(shù)為分別為1.7833和1.78，向度誤差只有0.2%。本文的搜索方法和有限元強(qiáng)度折減法得到了相似的滑動(dòng)面。結(jié)果表明本文方法可以用來(lái)搜索三維邊坡的臨界滑動(dòng)面。

2.2 算例2

本文方法得到的結(jié)果和其他學(xué)者的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比來(lái)證明本文方法的合理性。Yamagami 在1991年應(yīng)用隨機(jī)搜索法首次對(duì)本算例進(jìn)行了分析，優(yōu)化得到了臨界滑動(dòng)面和最小安全系數(shù)。Yamagami 和Jiang 1997年應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)本算例進(jìn)行了再次分析，證明作者提出的方法可以搜索到三維邊坡的臨界滑動(dòng)面。本文應(yīng)用粒子群算法對(duì)次算例進(jìn)行重新分析，并將得到的結(jié)果和其他學(xué)者的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明本文方法的合理性。應(yīng)用本文方法得到的最小安全系數(shù)為1.1285，和Yamagami（1991）得到的安全系數(shù)1.14相比非常接近，相對(duì)誤差為1%，在合理的范圍之內(nèi)。在應(yīng)用極限平衡條分法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)，通過(guò)土條力和力矩平衡建立方程組，通過(guò)求解方程組得到邊坡的安全系數(shù)。由于應(yīng)用極限平衡條分法求解邊坡的安全系數(shù)是超靜定問(wèn)題，因此需要對(duì)條間力進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)使得超靜定問(wèn)題變成靜定問(wèn)題。不同極限平衡條分法對(duì)條間力的假設(shè)不同，安全系數(shù)差別可能是由于條間力假設(shè)的不同而引起的。這再次證明了本文方法的高效性。

3 結(jié)論

本文基于極限平衡條分法，提出了三維橢球形滑動(dòng)面的構(gòu)建方法，采用粒子群算法進(jìn)行了三維邊坡臨界滑動(dòng)面的搜索。為了驗(yàn)證文中方法的合理性，將文中方法和有限元強(qiáng)度折減法進(jìn)行對(duì)比分析，并與其他學(xué)者的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

（1）算例對(duì)比分析表明本文搜索方法得到的結(jié)果和有限元強(qiáng)度折減法得到了結(jié)果較為一致，和其他學(xué)者得到的結(jié)果誤差在合理的范圍內(nèi)表明文中方法的可行性。

（2）本文搜索過(guò)程中，粒子群在迭代到20步左右即可得到接近臨界滑動(dòng)面對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)，這說(shuō)明了粒子群算法搜索三維邊坡臨界滑動(dòng)面的高效性。

（3）本文提出了4個(gè)參數(shù)構(gòu)建的橢球形滑面的方法，并利用極限平衡條分法確定目標(biāo)函數(shù)，結(jié)果表明：文中假設(shè)的滑動(dòng)面和有限元強(qiáng)度折減法得到的滑動(dòng)區(qū)域較為吻合，由于參數(shù)較少，相比任意滑裂面可有效減少工作難度。

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