晁菁媛

微元法是一種深刻的思維方法，先分割逼近，找到規(guī)律，再累計(jì)求和，達(dá)到了解整體的目的。微元求和思想在高中物理教材中多處出現(xiàn)，如：必修（一）P38頁(yè)推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式時(shí)、必修（二）P64頁(yè)研究重力做功時(shí)、必修（二）P69頁(yè)研究彈簧彈力做功時(shí)均用到了微元求和思想。關(guān)于微元法的題目，連續(xù)幾年出現(xiàn)在各地高考物理試卷中和各大高校的自主招生考試中。本文擬通過(guò)實(shí)例探討微元求和思想在物理解題中的應(yīng)用。

一、微元法解題分析

在變力求功，變力求沖量，變化電流求電量等等情況下，可考慮用微元法解題。

（一）關(guān)于微元法

一般是以時(shí)間和位移為自變量，在時(shí)間Δt很短或位移Δx很小時(shí)，此元過(guò)程內(nèi)的變量可以認(rèn)為是定值。比如非勻變速運(yùn)動(dòng)求位移時(shí)在時(shí)間Δt很短時(shí)可以看作勻速運(yùn)動(dòng)，在求速度的變化量時(shí)在時(shí)間Δt很短時(shí)可以看作勻變速運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)圖象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，vΔt=Δx=Δs。微元法體現(xiàn)了微分的思想。

（二）關(guān)于求和Σ

許多小的梯形加起來(lái)為大的梯形，即ΣΔs=ΔS，（注意：前面的s為小寫(xiě)，后面的s為大寫(xiě)），比如ΣΔv=v-v0，當(dāng)末速度v=0時(shí)，有ΣΔv=-v0，或v0=0時(shí)，有ΣΔv=v，這個(gè)求和的方法體現(xiàn)了積分思想。

（三）物理量有三種可能的變化情況

（1）不變（大小以及方向）：可以直接求解，比如恒力的功，恒力的沖量，恒定電流的電量和焦耳熱。

（2）線性變化（方向不變，大小線性變化）：比如力隨位移線性變化可用平均力來(lái)求功，力隨時(shí)間線性變化可用平均力來(lái)求沖量，電流隨時(shí)間線性變化可用平均電流來(lái)求電量。 電流的平方隨時(shí)間線性變化可用平方的平均值來(lái)求焦耳熱。

（3）非線性變化：可以考慮用微元法。

二、微元法解題程序

第1步，取元

隔離選擇恰當(dāng)微元（空間元、時(shí)間元）作為突破整體研究的對(duì)象。微元可以是：一小段線段、圓??；一小塊面積；一個(gè)小體積、小質(zhì)量；一小段時(shí)間……，但應(yīng)具有整體對(duì)象的基本特征。

第2步，模型化

將微元模型化（如視作點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線運(yùn)動(dòng)等），并運(yùn)用相關(guān)物理規(guī)律，求解這個(gè)微元，并注意適當(dāng)?shù)膿Q元。

第3步，求和

將一個(gè)微元的求解結(jié)果推廣一到其他微元，并充分利用各微元間的關(guān)系，如對(duì)稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、量值等關(guān)系），對(duì)各微元的解出結(jié)果進(jìn)行疊加，以求出整體量的合理解答。

三、微元法解題范例

點(diǎn)評(píng)：微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)思想或物理方法處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。值得注意微元法不是萬(wàn)能的，有時(shí)反而會(huì)誤入歧途，微元法解題，本質(zhì)上是用現(xiàn)了微分和積分的思想，是一種直接的求解方法，很多時(shí)候物理量的非線性變化可以間接求解，比如動(dòng)能定理求變力的功，動(dòng)量定理求變力的沖量，能量方程求焦耳熱等等。使用微元法分析求解問(wèn)題會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。