拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題和量綱分析

丁光濤

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 24100)

引 言

拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題研究力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能否表示成為拉格朗日方程形式，或者說(shuō)，能否從哈密頓變分原理導(dǎo)出，這種研究開(kāi)拓了傳統(tǒng)分析力學(xué)的研究領(lǐng)域，將一些非保守系統(tǒng)納入了拉格朗日系統(tǒng)；突破了傳統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)框架，提出非標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日函數(shù)的概念。分析力學(xué)自身也因逆問(wèn)題研究而產(chǎn)生新的課題，如非保守系統(tǒng)的正則化問(wèn)題，拉格朗日函數(shù)的等效性問(wèn)題，進(jìn)而在物理學(xué)中也推動(dòng)了新課題的研究，如耗散系統(tǒng)的量子化問(wèn)題，場(chǎng)論中的逆問(wèn)題等。這種逆問(wèn)題研究的進(jìn)展推動(dòng)了應(yīng)用分析力學(xué)理論和方法來(lái)處理微分方程問(wèn)題，而在當(dāng)代自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中建立以微分方程模型為代表的數(shù)學(xué)模型，是普遍應(yīng)用的重要研究方法，因此，逆問(wèn)題的成果可以也應(yīng)當(dāng)應(yīng)用到許多不同的學(xué)科研究中[1-6]。逆問(wèn)題研究中一個(gè)重要方面是拉格朗日函數(shù)的構(gòu)造方法，這個(gè)方面已經(jīng)取得很多的成果，值得強(qiáng)調(diào)的是許多方法與微分方程的第一積分相關(guān)[7-11]。

通常將拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題稱為變分法逆問(wèn)題，兩者不加區(qū)別，這反映逆問(wèn)題研究中的一種普遍傾向，即重視問(wèn)題的數(shù)學(xué)方面，而忽視其物理方面，其實(shí)應(yīng)當(dāng)重視拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題研究中的物理意義，它不是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文以諧振子和線性阻尼振子為例來(lái)說(shuō)明上述觀點(diǎn)，為了使討論簡(jiǎn)單明晰，下面只以量綱來(lái)代表問(wèn)題的物理方面，第一節(jié)給出量綱理論的簡(jiǎn)要回顧[12,13]；第二節(jié)給出諧振子運(yùn)動(dòng)方程、第一積分，以及相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)，并討論相關(guān)的量綱問(wèn)題；第三節(jié)討論線性阻尼振子的對(duì)應(yīng)問(wèn)題；第四節(jié)是小結(jié)和討論。

1 量綱及其法則要點(diǎn)

物理學(xué)中存在諸多不同的物理量，可以分成基本量和導(dǎo)出量，在確定了單位制后，一個(gè)導(dǎo)出量能夠用若干個(gè)基本量的乘方之積表示出來(lái)，這個(gè)表達(dá)式稱為該物理量的量綱式。量綱是物理學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，可以表征物理量的性質(zhì)(類別)，如力學(xué)中的時(shí)間、長(zhǎng)度、質(zhì)量、動(dòng)量、能量等。量綱分析是物理科學(xué)中一種重要的研究方法，它根據(jù)一切量所必須具有的形式來(lái)分析判斷事物間數(shù)量關(guān)系所遵循的一般規(guī)律，簡(jiǎn)而言之，就是可以在量綱法則的原則下，分析和探求物理量之間關(guān)系。通過(guò)量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計(jì)量方面是否正確，甚至可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索，以指導(dǎo)在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型或進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?；镜牧烤V法則有兩條：1.只有量綱相同的物理量，才能彼此相加、相減和相等；2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的宗量量綱應(yīng)當(dāng)為1。量綱法則是量綱分析的基礎(chǔ)， 對(duì)力學(xué)和物理學(xué)問(wèn)題，若導(dǎo)出的公式不符合量綱法則，該式必然是錯(cuò)誤的。下面從基本的量綱法則出發(fā)，討論拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題的物理意義，而且討論局限于力學(xué)范圍內(nèi)，基本量?jī)H有時(shí)間、長(zhǎng)度和質(zhì)量。

2 諧振子第一積分和拉格朗日函數(shù)的量綱分析

質(zhì)量m的小球和倔強(qiáng)系數(shù)k的彈簧構(gòu)成的諧振子，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

通常將上述方程改寫(xiě)為

(2)

(3)

與之對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)是

(4)

從數(shù)學(xué)上，還可以構(gòu)造其它積分，包括與時(shí)間無(wú)關(guān)的積分，如

(5)

下面利用文獻(xiàn)[15]中錢(qián)德拉塞卡等提出的方法，從I2構(gòu)造振子的拉格朗日函數(shù)。設(shè)對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)2,由于I2與時(shí)間無(wú)關(guān)，直接取作雅可比積分，即存在如下關(guān)系式

(6)

進(jìn)而導(dǎo)出

解出p2后，代入式(6)，即得到待求的拉格朗日函數(shù)

(7)

文獻(xiàn)[18]對(duì)這種方法進(jìn)行了研究，說(shuō)明其理論基礎(chǔ)是諾特定理的逆問(wèn)題，同時(shí)指出這種方法存在局限性。對(duì)式(6)I2進(jìn)行上述程序的運(yùn)算后，得到

(8)

(9)

上面諧振子的兩個(gè)拉格朗日函數(shù)，如果從物理意義方面分析，例如，從基本的量綱法則分析，則可以表明第一個(gè)解是符合量綱法則的，I1和L1的量綱是能量量綱，L1是標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù)，它對(duì)時(shí)間積分的量綱是作用量量綱。但是，第二個(gè)解在物理上是存在問(wèn)題的，首先，I2表達(dá)式不符合量綱法則，對(duì)數(shù)函數(shù)的宗量量綱不是1，即不是無(wú)量綱的，而是具有能量量綱；p2的量綱不是通常的力學(xué)動(dòng)量量綱；L2是非標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù)，其表達(dá)式前一項(xiàng)量綱為1的純數(shù)，而后一項(xiàng)是能量量綱宗量的對(duì)數(shù)，它對(duì)時(shí)間的積分不具有力學(xué)(物理學(xué))作用量的量綱，這就是說(shuō)，在傳統(tǒng)的力學(xué)(物理學(xué))意義上，第二個(gè)解是不符合要求的。

根據(jù)第一個(gè)解，諧振子哈密頓函數(shù)為

(10)

在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步討論諧振子量子化。但是，根據(jù)第二個(gè)解，導(dǎo)出的諧振子的哈密頓函數(shù)為

(11)

顯然，它不符合量綱法則，也不可能由此討論系統(tǒng)的量子化。

3 線性阻尼振子第一積分和拉格朗日函數(shù)的量綱分析

考慮存在阻尼的情況，一維線性阻尼振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(12)

可以得到振子的兩個(gè)積分[15-17]

(13)

(14)

(15)

從積分I3和I4構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)分別是

(16)

(17)

從方程(12)可確定β,ω0以及ω的量綱都是[T-1]，顯然，積分I3和拉格朗日函數(shù)L3的表達(dá)式都是符合量綱法則的，它們的量綱與能量量綱相同(m=1)。但是，積分I4和拉格朗日函數(shù)L4的表達(dá)式不符合量綱法則，這兩個(gè)表達(dá)式中一項(xiàng)是量綱為1的純數(shù),另一項(xiàng)是對(duì)數(shù)函數(shù)，其宗量卻具有能量量綱。L3是標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù)，對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)為

(18)

式中廣義動(dòng)量為

(19)

L4是非標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù)，對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)和廣義動(dòng)量為

H4=-ln[ωxsec(ωxp4)]+βxp4

(20)

(21)

顯然，H4的表達(dá)式不符合量綱法則，p2量綱也與標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)量量綱不同。討論阻尼振子的量子化，可以從式(18)出發(fā)，卻不能從式(20)出發(fā)。但是應(yīng)該指出，這種不符合物理法則的結(jié)果，在數(shù)學(xué)上仍然是有用的，文獻(xiàn)[15]表明從這種形式的哈密頓函數(shù)出發(fā)，利用分析力學(xué)的理論和方法，能夠得到方程(12)的解。

4 結(jié)束語(yǔ)

上面以諧振子和線性阻尼振子為例，討論了從運(yùn)動(dòng)方程到運(yùn)動(dòng)積分，再到拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)，這樣的求解逆問(wèn)題過(guò)程。值得注意的是，如果僅從數(shù)學(xué)方面來(lái)考慮，將上述諧振子方程(2)和線性阻尼振子方程(12)看作純粹的微分方程，那么上面導(dǎo)出的第一積分、拉格朗日函數(shù)、哈密頓函數(shù)、動(dòng)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式等等都是容許的，不僅能夠利用這樣的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程，而且利用分析力學(xué)的方法能夠得到方程的解，事實(shí)上這種方法已經(jīng)推廣到求解更為復(fù)雜的微分方程[15,19]。但是，從力學(xué)(物理學(xué))方面來(lái)看，所有數(shù)學(xué)表達(dá)式，無(wú)論是定義式，還是方程式，其中出現(xiàn)的量都應(yīng)當(dāng)有確切的物理意義，這些數(shù)學(xué)表達(dá)式都應(yīng)當(dāng)遵循一般的物理規(guī)律。量綱法則是超越具體物理過(guò)程的基本物理規(guī)律，適合利用這個(gè)法則來(lái)檢驗(yàn)討論中的數(shù)學(xué)表達(dá)式，檢驗(yàn)的結(jié)果表明有些表達(dá)式是違背量綱法則的，上面指出從這種結(jié)果不具有物理意義，不能討論量子化問(wèn)題。

我們認(rèn)為，對(duì)于討論逆問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法與物理意義之間的矛盾應(yīng)當(dāng)重視，在處理力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí)，不能輕易突破物理規(guī)律的制約，而是應(yīng)當(dāng)在利用數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出的結(jié)果中，有所鑒別和選擇，或者說(shuō)，在運(yùn)用多種不同的數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí)，必須重視物理意義的分析和物理規(guī)律的論證，即使在用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí)，不能每一步都滿足物理規(guī)律，不能每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式都具有確定的物理意義，但最后結(jié)果卻要回到力學(xué)(物理學(xué))上來(lái)。

根據(jù)上述分析，我們認(rèn)為通常將拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題等同于變分法逆問(wèn)題的看法值得商榷，這兩種逆問(wèn)題提法實(shí)質(zhì)上是存在區(qū)別的，前者是物理學(xué)(力學(xué))中的理論和方法，必須同時(shí)遵循數(shù)學(xué)規(guī)律和物理規(guī)律，而后者是數(shù)學(xué)中的理論和方法，只需要遵循數(shù)學(xué)規(guī)律，不必討論其物理意義；換句話說(shuō)，前者是后者的一部分。最后指出，除了逆問(wèn)題研究外，在力學(xué)研究中還存在著其它數(shù)學(xué)方法與物理意義相悖的問(wèn)題，我們都應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步討論。

[1] SANTILLI R M. Foundations of theoretical mechanics I[M]. New York: Springer-Verlag,1978.

[2] SANTILLI R M. Foundations of theoretical mechanics II[M]. New York: Springer-Verlag,1983.

[3] 梅鳳翔.分析力學(xué)專題[M].北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1988.

[4] SAUNDERS D J. Thirty years of the inverse problem in the calculus of variations[J]. Reports on Mathematical Physics， 2010(66):43-53.

[5] LOPUSZANSKI J. The inverse variational problem in classical mechanics[M]. Singapore: World Scientific, 1999.

[6] 丁光濤.理論力學(xué)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014.

[7] MUSIELAK Z E. Standard and non-standard Lagrangians for disspative dynamical systems with variable coefficient[J]. J Phys A:Math Theor, 2008(41):055205.

[9] SARLET W. Symmetries, first integrals and the inverse problem of Lagrangian mechanics[J]. J Phys A:Math Gen, 1981(14)：2227-2238.

[10] 丁光濤.從第一積分構(gòu)造Lagrange函數(shù)的直接方法[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011,9(2)：102-106.

[11] 丁光濤.變分法逆問(wèn)題研究的若干進(jìn)展[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，52(4)：732-740.

[12] 談慶明.量綱分析[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.

[13] 包科達(dá).中國(guó)大百科全書(shū)(物理學(xué))詞條:量綱和量綱分析[M].北京:中國(guó)大百科全書(shū)出版社,1987.

[14] 丁光濤.關(guān)于諧振子第一積分的研究[J].物理學(xué)報(bào),2013,62(6):064502.

[15] CHANDRASEKAR V K. SENTHIVELAN M， LAKSHMANAN M. On the Lagrangian and Hamiltonian description of the damped linear harmonic oscillator[J]. J Math Phys, 2007(48):032701.

[16] 丁光濤.關(guān)于線性阻尼振子第一積分的研究[J].物理學(xué)報(bào)，2013,62(6)：064501.

[17] 丁光濤.阻尼諧振子的拉格朗日函數(shù)和哈密爾頓函數(shù)[J].大學(xué)物理,2009,28(3)：13-14.

[18] 丁光濤.關(guān)于錢(qián)德拉塞卡構(gòu)造拉格朗日函數(shù)方法的若干問(wèn)題[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,40(1)：1-6.

[19] CHANDRASEKAR V K, SENTHIVELAN M， LAKSHMANAN M. On the general solution for the modified Emden-type equation[J]. J Phys A: Math Theor, 2007(40):4717.