基于“問題鏈”的數學深度學習研究

蔣安娜 唐恒鈞 徐元根

摘 要：知識經濟的時代背景下，深度學習悄然成為教育研究與實踐的熱點.數學課堂中以問題鏈為載體，從知識、方法、視角構建教學聯結點，通過適當“留白”，善用先行組織者，引導學生主動探究，實現數學深度學習.

關鍵詞：深度學習；問題鏈；教學聯結點

深度學習的研究方興未艾，國內外學者對其內涵、實踐模式均有廣泛探討與實施，并取得一系列實證研究成果.在數學教學中，問題鏈能為數學深度學習的開展提供載體.

一、以問題鏈為抓手的深度學習理念

（一）深度學習的內涵與實踐

深度學習是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學習[1].針對數學學科而言，數學深度學習是一個立體化的過程，相對于機械式的淺層學習，關鍵在于如何在數學深度學習過程中滲透“深度”的思想.這種深度表現在以下方面：首先，從知識角度出發(fā)，“深度”指向用全面的、聯系的眼光處理數學知識，體現為知識的廣度、深度和關聯度.其次，從學習角度出發(fā)，“深度”指向學習者在學習過程中的充分參與和積極建構，從而有效遷移運用，體現為學生的參與度.最后，從教學角度出發(fā)，“深度”指向“數學深度教學”的落實，通過設計以數學學科為載體的教學，綜合數學知識的整體連貫性，讓學生在問題情境中自主探究，形成數學的高階思維能力.

（二）以問題鏈為抓手的數學課堂設計模式

數學以其研究對象的抽象性這一重要特征著稱.若是外部只提供學習目標與探究內容，不加以引導，學生以其自身的知識體系以及思維經驗無法有效架構出數學的知識大廈，更談不上思維層面的深入學習.換言之，針對數學學科而言，學生通過精心設計的數學課堂能夠更加高效地實現深度學習.于是，如何在關注數學本質的基礎之上，設計嚴謹而又不失自由的數學深度學習課堂值得探索.

朱德全對教學本質的哲學思考后曾指出，“問題是教師教學的心臟，是學生學習的心臟”，并且強調“問題解決指向人的發(fā)展”[2]，這與深度學習促進學生高階思維發(fā)展的理念不謀而合.因此在課堂教學中以問題鏈為抓手，設計層層遞進的問題鏈引導學生探究思考，這是一種層進式、沉浸式的逐漸深入的學習展開過程.這種教學模式一方面為學生提供思考的問題，在內容上可以引導學生獲得較為深入的數學學習.另一方面，問題與問題之間的跨度為學生多樣的思維與探索提供了可能性.應當注意的是，在問題鏈設計的過程中，需要在深刻把握學情、理解教材的基礎上，整體剖析一組知識群，注重站在數學方法論角度關注數學知識網絡的廣度、深度、關聯度，確定學生發(fā)展的整體目標，找尋教學聯結點，設計主干問題，構建并呈現主干問題鏈，從而促進學生高階思維能力的發(fā)展.

二、以問題鏈為抓手的深度學習課堂

以“平面向量及應用”第一節(jié)內容“平面向量的實際背景及基本概念”的研究過程為例，深入分析以問題鏈為抓手的數學深度學習課堂設計.

該內容是“平面向量及其運用”的概念起始課.目前的數學概念教學中存在一味地淡化處理數學概念，以致概念理解過程中產生“滑過現象”的問題[3].因此本節(jié)向量概念課，重要的不僅是向量的形式化定義及幾個相關概念的理解，還要能讓學生去體會向量的實際背景.即向量理論所具有的深刻的數學內涵和豐富的物理背景以及向量作為知識間的交匯點所具有的應用價值.在本節(jié)課帶有探究“本源”性質的學習過程中，引導學生認識與研究數學新對象的方法和基本思路，進而使其高階數學思維能力得以發(fā)展.因此可以將學生發(fā)展整體目標表述如下：理解向量的形式化定義及相關概念， 獲得數學研究對象、認識數學新對象的基本方法，體會用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑.

（一）教學聯結點的確定

在理解教學內容、把握整體目標的基礎之上，細化所確定的教學聯結點.即從知識內容、思想方法的角度尋找該內容主題與其他主題的關聯.

從知識內容上看，高一學生在物理學中已學過力、位移、速度等既有方向又有大小的矢量，并會用有向線段表示力；在幾何中已學會有向線段及其長度，直線（段）的平行和共線；在代數方面，學生經歷過實數的形成過程：從一束花、一群人中抽象出數的概念，并且理解實數域中0，1等特殊對象.從思想方法上看，高一學生在思維方式上具備初步化歸思想，體會到由未知到已知、由難到易、由繁到簡以及從一般到特殊；而在數學發(fā)現的方法上，學生能應用類比、歸納的方法，在探究過程中能進行猜測并具備論證猜想的意識.此外還會用一些常用的抽象方法，如等置抽象（例如能從一群人抽象出“1”的數量概念）、理想化抽象（例如將車輛行駛道路抽象出直線這一幾何概念）等.

綜合上述分析，整理出該“平面向量概念”的教學聯結點.

教學聯結點的確立將有助于學生從已有知識經驗出發(fā)自然生成新知識，并在知識點間建立起廣泛的聯系.而接下來便需要思考該主題學習過程中需要解決的核心問題及其順序.該節(jié)內容概念較多，因此在向量概念與表示方法的學習環(huán)節(jié)之后，便從向量兩大特征——長度與方向這兩條主線出發(fā)依次探究，先后串起單位向量、零向量、相反向量、平行向量等新概念，以便于學生構建起系統(tǒng)的知識網絡，并避免新概念的隨意鋪陳造成概念不清、細節(jié)把握不到位等問題（見圖2）.

（二）問題鏈的設計

問題1（向量概念的形成及表示方法）：如圖3所示，兩片樹葉A，C同時從樹上落入河中，經過一定的時間后分別漂到了B和D點.請問這兩片樹葉在這段時間的漂流有什么樣的共性？你如何表示這兩片樹葉的漂流運動？

通過問題1，學生在以物理中關于位移的學習基礎上，歸納總結出：盡管兩片樹葉漂流的起點不同，但漂流的方向和距離是一樣的，并可以用有向線段加以表示.由此教師從“位移”概念基礎上進一步抽象出“向量”這一數學概念：只研究大小和方向，而不研究起點，并指導學生用有向線段、符號等多種表征方式表示向量.

問題2（建立向量研究框架）：類比是數學研究與學習中非常重要的思路，它能為新的研究問題提供思考框架.向量是一個新學習的量.請你回憶一下，以前學習過哪些量？學習那些量的時候，包括了哪些方面？你覺得向量的學習應該包括哪些方面？

問題2試圖為學生建立起思考、探索新問題的框架.具體地，希望學生類比“數”概念學習時所涉及的方面，為向量的學習建立起一個整體性的框架與脈絡，理解向量的學習要包括向量意義的理解、向量表示方法、向量的比較以及運算等內容，同時想到特殊的量（向量大小、方向特殊的量）以及多個量之間特殊的關系（向量的大小相等、方向相同或相反等）又是數學研究時經常會探索的問題.

問題3（向量的模及特殊大小的向量）：在厘清了上述學習內容之后，讓我們從簡單的情況開始.既然向量既有方向，又有大小，那就讓我們先來研究大小的問題.向量的大小是指什么？怎么來刻畫向量的大小？0和1是兩個非常重要而特殊的整數，向量中也存在這樣特殊而重要的向量嗎？

問題3是在學生明確了向量研究的基本內容后，從向量概念中的第一個元素（大?。┤胧旨右匝芯浚挂粋€復雜的數學對象得以分解.在這一問題的探究中，學生經歷向量大小的刻畫方法的模型建構過程，使“向量的?！边@一概念的形成變得更為自然.緊接著，從向量大小這一角度探索并理解兩個特殊的向量：零向量以及單位向量.

問題4（相等向量、相反向量）：a和b是兩個單位向量，請問這兩個向量的方向間有哪些可能的關系？兩個模相同的向量也存在這些關系嗎？

問題4讓學生探索兩個單位向量方向間存在的三種可能關系：方向相同、方向相反、方向既不相同也不相反.這種探索一方面是為了學生進一步理解向量相對于矢量而具有的可平移性，也為未來兩個向量間夾角的學習埋下伏筆，另一方面也是本節(jié)課更重要的目的在于引出相等向量、相反向量的概念，并通過一般化的推廣學習這兩個概念.

問題5（平行向量、共線向量）：剛才我們是在限定兩個向量模相同的前提下對方向進行分類討論的，接下去把這個前提條件去掉.請思考當兩個向量方向相同或相反，這兩個向量在平面上會是怎么樣的位置關系？

問題5試圖讓學生通過作圖的形式提出平行、共線等表示向量關系的名詞，進一步理解向量的可平移性，同時完善知識結構.

問題6（學以致用）：如圖4，設[O]是正六邊形[ABCDEF]的中心，試說明圖中各向量間的關系.

[O][B][A][C][D][E][F]

圖4

問題7（回顧小結）：回顧今天向量的學習，我們是從哪幾個方面著手研究的？是如何研究的？你覺得接下來我們可以研究向量的哪些方面？

問題6和7是對本節(jié)課所學內容的應用及回顧，尤其重視對學習新的量時的基本框架以及方法的回顧，這將為數學學習提供脈絡.

三、基于問題鏈的數學深度學習的關注點

整個問題鏈的設計分為七部分，逐一滲透知識、學習、教學等角度的“深度”指向特征.關注知識的廣度、深度、關聯度，適當“留白”，善用“先行組織者”，引導學生主動探究、類比遷移，從而有力促進學生深度學習.

（一）關注知識多維度展開，把握知識本質

數學深度學習需要全面而深刻地處理好數學知識的廣度、深度和關聯度三個方面.主干問題涵蓋了本節(jié)課所有的向量知識點，并且主干問題的設計細化了知識廣度，為學生搭建起思維遞升的階梯，而小知識點之間的組合分類使得概念學習做到細而不碎.知識的深度并不等同于知識的“難度”，簡單的知識點通過挖掘也能達到一定的深度.比如向量概念兩大基本特征是比較簡單易懂的知識點，可以直接給出概念.但需要合理選用素材，從而豐富向量的實際背景，進而有效而自然地辨析概念的內涵與外延.問題1精心選擇位移這一學生熟知的物理學矢量，巧妙地引導學生對既有大小又有方向的實例進行數學抽象.而需要重視的是，向量不研究起點，是個“自由之身”，這是對位移概念的進一步抽象.這也是部分學生在向量概念學習時容易誤解的地方.尤其是一些教師在教學中常一味強調學科間的橫向聯系，從位移、力、速度等物理學矢量中類比抽象出向量概念，而缺乏更進一步的辨析.例如力的三要素為大小、方向、作用點，是無法平移的.因此從多個維度理解知識的前提是把握住知識本質.在對知識深刻剖析后，從知識關聯角度出發(fā)，以學生的前概念為基礎進行問題設計，去偽存真，同時聯系學生所熟悉的日常經驗，這都將有助于提高深度教學的效果.

（二）主動探究，適當“留白”

在深度學習過程中，經歷探究過程使學生得到深層次的情感體驗，也能幫助學生更高效地建構知識體系，掌握解決問題的方法.如問題3、問題4、問題5為典型的探究性子問題.教學中不是先給出單位向量、零向量、平行向量、相等向量的定義， 再做練習鞏固， 而是讓學生參與概念的形成過程，逐漸掌握從特殊到一般的數學研究思路.但作為知識“傳播者”角色的教師卻并不能消失.他們可以幫助學生更好地、更有效地領會知識“生產者”的心路歷程，從而達到高效地發(fā)展智能的目的[4].因此教師于問題2中先對研究思路和知識脈絡進行整體梳理，使學生對新事物的規(guī)律的研究方法有個初步領會.在教師的適時引導下，學生進行積極探索，化繁為簡地拆解研究對象.具體到本節(jié)課中，學生自然而然地從“大小”“方向”兩個角度有條理地進行探究.教學中先討論大小，再研究方向，最后綜合從大小與方向兩個角度把握向量間的關系，有意識地向學生滲透了“控制變量、由淺入深”這一數學研究方法.在探究過程中，學生或作圖，或建模，或思辨，都是解決問題的有效工具和合理途徑，而教師只需要把握大方向，在學生回答的過程中適當補充問題，引領學生形成相對完整的認識思路并掌握知識的整體結構.這樣的適當“留白”，能給學生以廣闊的空間進行獨立地、多維度地思考與探索，體現深度學習所重視的學生的參與度.

（三）善用“先行組織者”，促進類比遷移

類比歸納是重要的數學思想，也是數學深度學習的高階思維方式之一.培養(yǎng)學生的類比歸納能力，才可能真正讓學生學會用數學的眼光看待世界，用數學的思維思考世界.先行組織者的設計運用，能有效地發(fā)展學生的類比遷移能力.問題2的設計便是為新知的教學提供了在抽象、概括程度上都高于學習內容的材料，即陳述性“組織者”.具體地，即研究新問題的框架與脈絡，從而為接下來的向量概念探究提供思維導圖，學生很容易循序研究基本框架開展探究活動，并且一次次地將具體的學習經驗通過類比、概括納入高位認知結構中去，從而發(fā)展高階思維能力.而在問題7中，再一次應用陳述性“組織者”，既對本節(jié)課學習進行方法論上的回顧總結，同時又為后續(xù)學習提供了框架.可見，先行組織者既幫助學習者形成新知識，還能幫助其保持知識，同時又使學習從知識表層通向數學思想方法層面.當然，細節(jié)處也需要進行設計先行組織者.例如問題4中從單位向量進一步推廣到兩個模相同的向量之間方向關系的類比探究.實際上這里是將單位向量的方向關系作為比較性“組織者”，利用較為熟悉的單位向量作為知識固著點，使得向量方向關系的探究更為簡單而自然，展現從特殊到一般的概念推廣學習方法，這也是教學的意義所在.

總之，如何促進學生深度學習是一個有待深入研究的課題.本文以問題鏈為抓手，以一節(jié)課的設計為例說明如何在數學課堂中實現深度學習，以期為數學深度學習的研究提供一些借鑒.

參考文獻：

[1]安富海. 促進深度學習的課堂教學策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[2]朱德全.基于問題解決的處方教學設計[J].高等教育研究，2006，27（5）：83-88.

[3]寧連華.數學探究教學中的“滑過現象”及其預防策略[J].中國教育學刊，2006（9）：47-48，58.

[4]徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學的數學探究性學習[J].數學教育學報，2013，22（6）：1-4.