趙鴻

【摘 要】數(shù)學(xué)和通信是息息相關(guān)的，其中傅立葉把信號(hào)的產(chǎn)生，變換，變化等等都具體地用數(shù)學(xué)方式表示出來，把抽象的信號(hào)形象化，更直觀地展現(xiàn)在我們眼前。數(shù)學(xué)原理和工具對(duì)現(xiàn)代通信技術(shù)發(fā)展的促進(jìn)應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)原理；數(shù)學(xué)工具；現(xiàn)代通信；促進(jìn)

數(shù)學(xué)，起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，為中國(guó)古代六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。從歷史時(shí)代的一開始，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計(jì)算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測(cè)量土地，以及為了預(yù)測(cè)天文事件而形成的。這些需要可以簡(jiǎn)單地被概括為數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時(shí)間方面的研究。到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在研究經(jīng)典力學(xué)的過程中，微積分的方法被發(fā)明。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。

數(shù)學(xué)從古至今便一直不斷地延展，且與科學(xué)有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數(shù)學(xué)在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中。其中數(shù)學(xué)在通信技術(shù)的領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛?，F(xiàn)在是信息時(shí)代，無處不存在信息，無處不存在通信，我們?nèi)伺c人之間，地區(qū)與地區(qū)之間，國(guó)家與國(guó)家之間的聯(lián)系也因通信技術(shù)的發(fā)展而更加密切。

一、數(shù)學(xué)原理、工具在通信技術(shù)中的應(yīng)用體現(xiàn)

數(shù)學(xué)在通信系統(tǒng)以及信息處理等學(xué)科中具有極端重要的地位。 可以這么說：所有的信號(hào)變換以及信息的處理都是這樣一種機(jī)制：通過數(shù)學(xué)變換，將一種信號(hào)變換成另一種信號(hào)。而變換之后的信號(hào)更適合于在通信系統(tǒng)中傳輸。

（一）在數(shù)學(xué)上，信號(hào)可以表示為一個(gè)或者多個(gè)變量的函數(shù)。

例如，一個(gè)語音信號(hào)就可以表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)；一張黑白照就可以用亮度隨著二維空間變量變化的函數(shù)表示，本文的討論范圍僅限于單一變量的函數(shù)，而且為了方便起見，本文討論一般都用時(shí)間表示自變量，盡管在某些應(yīng)用中自變量不一定是時(shí)間。

（二）連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)

全文將考慮兩種基本類型的信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。在前一種情況下，自變量是連續(xù)可變的，因此信號(hào)在自變量的連續(xù)值上有定義；而后者是僅僅在離散時(shí)刻點(diǎn)上，也就是自變量?jī)H取在一組離散值上。為了區(qū)分這兩類信號(hào)，我們用t表示連續(xù)時(shí)間變量，而用n表示離散時(shí)間變量。另外，連續(xù)時(shí)間信號(hào)用圓括號(hào)（.）把自變量括在里面，而離散時(shí)間信號(hào)則用方括號(hào)[.]來表示。

在信號(hào)與系統(tǒng)分析中最主要的兩個(gè)性質(zhì)：線性和時(shí)不變性。其理由是：第一，很多物理過程都具有這兩個(gè)性質(zhì)，因此都能用線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)來表征的；第二，可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的分析。這樣既求得了對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)的深入了解，又提供了形成信號(hào)與系統(tǒng)分析核心的一套強(qiáng)有力的方法。在離散時(shí)間情況下，把離散時(shí)間信號(hào)表示成一組移位的單位脈沖的加權(quán)和，并據(jù)此導(dǎo)出了對(duì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的卷積和表示。在連續(xù)時(shí)間情況下，相類似地把連續(xù)信號(hào)表示移位單位沖激函數(shù)的加權(quán)積分，并據(jù)此導(dǎo)出對(duì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的卷積積分表示。這些表示方法是極為重要的，因?yàn)檫@樣就可以利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)來計(jì)算系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)的響應(yīng)。

（三）連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換

前面通過建立卷積和來標(biāo)識(shí)、分析LTI系統(tǒng)是基于將信號(hào)表示成一組移位單位沖激的線性組合。下面我們將討論信號(hào)與LTI系統(tǒng)的另一種表示，和前面討論的出發(fā)點(diǎn)是一樣的，仍是將信號(hào)表示成一組基本信號(hào)的線性組合，不過這時(shí)所用的基本信號(hào)是復(fù)指數(shù)，所得到的是連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換。

傅立葉分析方法的建立有過一段漫長(zhǎng)的歷史，涉及到很多人的工作和許多不同物理現(xiàn)象的研究。傅立葉堅(jiān)持的是任何周期信號(hào)都能用傅立葉級(jí)數(shù)表示！雖然這一點(diǎn)不完全正確，但傅立葉級(jí)數(shù)卻能用于表示相當(dāng)廣泛的一類周期信號(hào)，其中包括周期方波和其它一些很重要的周期信號(hào)。

那究竟一個(gè)周期信號(hào)x（t）什么時(shí)候才確實(shí)具有一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)表示？從傅立葉分析的教科書中找到是它在一個(gè)周期內(nèi)能量有限的信號(hào)，還能保證收斂，這在實(shí)際中很有用。由于要研究的大多數(shù)周期信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的能量是有限的，因此它們都有傅立葉級(jí)數(shù)的表示。然后，狄里赫利得到了另一組條件，這組條件對(duì)于我們關(guān)注的信號(hào)也基本上得到滿足。狄里赫利條件：

條件1：在任何周期內(nèi)，x（t）必須可積；條件2：在任意有限區(qū)間內(nèi)，x（t）具有有限個(gè)起伏變化；也就是說，在任何單個(gè)周期內(nèi)，x（t）的最大值和最小值的數(shù)目有限。條件3：在x（t）的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且這些不連續(xù)的點(diǎn)上，函數(shù)是有限值。

一個(gè)不滿足狄里赫利條件的信號(hào)，一般來說在自然界中都是屬于比較反常的的信號(hào)，結(jié)果在實(shí)際場(chǎng)合不會(huì)出現(xiàn)。對(duì)于一個(gè)不存在任何間斷點(diǎn)的周期信號(hào)而言，傅立葉級(jí)數(shù)收斂，并且在每一點(diǎn)上該級(jí)數(shù)都是都等于原來的信號(hào)x（t）。對(duì)于在一個(gè)周期內(nèi)存在有限數(shù)目不連續(xù)的點(diǎn)的周期信號(hào)而言，除開那些孤立的不連續(xù)的點(diǎn)外，其余所有點(diǎn)上傅立葉級(jí)數(shù)都等于原來的x（t）；而在那些孤立的不連續(xù)的點(diǎn)上，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)處的值的平均值。在這種情況下，原來信號(hào)和它的傅立葉級(jí)數(shù)表示之間沒有任何能量上的差別。因此，兩者從所有實(shí)際目的來看可以認(rèn)為是一樣的；具體一點(diǎn)就是，因?yàn)閮烧咧辉谝恍┕铝⒌狞c(diǎn)上有差異，所以在任意區(qū)間內(nèi)的積分是一樣的。為此，在卷積的意義下，兩者的特性是一樣的，因而從LTI系統(tǒng)分析的觀點(diǎn)來看，兩個(gè)信號(hào)完全一致。

二、結(jié)束語

本文主要討論了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的傅立葉分析方法，怎樣的信號(hào)能用傅立葉表示，信號(hào)與系統(tǒng)中的兩個(gè)重要性質(zhì)。信號(hào)與系統(tǒng)這一學(xué)科的內(nèi)容極為豐富，因此想要研究得更多不是一朝一夕能達(dá)到的，通信世界是一個(gè)讓人著迷，讓人瘋狂的世界。所以在以后的學(xué)習(xí)中，我會(huì)繼續(xù)探究下去，也許這對(duì)我來說有很大的困難，可是那奇幻的變換給我?guī)砹藷o窮的樂趣。面對(duì)著新問題，新的技術(shù)和新的機(jī)遇挑戰(zhàn)，信號(hào)與系統(tǒng)分析一直在不斷演變和發(fā)展著。我們完全可以期望，隨著技術(shù)的進(jìn)步，使日益增長(zhǎng)著的復(fù)雜系統(tǒng)和信號(hào)處理技術(shù)的實(shí)現(xiàn)成為可能，而且一定會(huì)加速這一進(jìn)程。將來，我們一定會(huì)看到信號(hào)與系統(tǒng)分析方法和概念應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中去。