向量法在求二面角中的應(yīng)用

后小君

（甘肅省岷縣第一中學(xué)，甘肅 定西）

一、二面角的兩個半平面的法向量的夾角與二面角的關(guān)系

1.確定法向量的指向

圖1

圖2

圖3

2.確定兩個法向量的夾角與二面角的關(guān)系

如圖1，當(dāng)兩個法向量一個指向二面角的內(nèi)部，一個指向二面角的內(nèi)部時，法向量的夾角就是二面角；如圖2和圖3，當(dāng)兩個法向量都指向內(nèi)或者都指向外時，法向量的夾角就是二面角的補角。

二、法向量在求二面角中的應(yīng)用

求二面角的大小或二面角的余弦值：當(dāng)二面角為銳二面角時，二面角的余弦值為正值，當(dāng)二面角為鈍二面角時，二面角的余弦值為負(fù)值，二面角和它的補角的余弦值不相等。用向量法解決這類型題時需判斷法向量的指向以保證兩向量的夾角就是二面角。

例1.【2017全國1卷（理）】如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD。

（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

【解析】（1）證明：因為∠BAP=∠CDP=90°，所以 PA⊥AB，PD⊥CD。

圖4

又因為AB∥CD，所以PD⊥AB，又因為 PD∩PA=P，PD、PA?平面PAD，所以 AB⊥平面 PAD，又 AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。

（2）取 AD中點 O，BC 中點E，聯(lián)結(jié)PO，OE，

由（1）知，AB⊥平面 PAD，所以O(shè)E⊥平面PAD，

又PO、AD?平面PAD，所以O(shè)E⊥PO，OE⊥AD。

又因為PA=PD，所以PO⊥AD，所以PO、OE、AD兩兩垂直，

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖5，所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz

圖5

設(shè) n=（x，y，z）為平面 PBC 的法向量，

因為∠APD=90°，所以 PD⊥PA，又知 AB⊥平面 PAD，PD?

平面PAD，所以PD⊥AB，又PA∩AB=A，所以PD⊥平面PAB，

點評：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意判斷兩個法向量的方向，確保一個指向二面角的內(nèi)部，另一個指向二面角的外部，此時兩向量的夾角就是二面角的大小。

例2.如圖6，在三棱臺ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，AB=2A1B1=2CC1M，N分別為AC，BC的中點。若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C-MC1-N的大小。

圖7

【解析】 由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面 ABC，而 AB⊥BC，AB=BC，則MB⊥AC，所以 MA，MB，MA1兩兩垂直，故以點 M為坐標(biāo)原點，MA，MB，MA1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系。

設(shè) AB=2，則 A1B1=CC1=1

則平面ACC1A的一個法向量為（指向二面角內(nèi)部）

設(shè)平面C1MN的法向量為則即取 x2=1，則

點評：注意某些平面的法向量在條件中隱含，不用單獨求，取該平面的法向量時和另一個平面的法向量指向不同即可。

書中一直提倡用觀察法判斷二面角的大小是鈍角還是銳角，難免存在一些因視角問題而產(chǎn)生的錯誤，而很多老師和學(xué)生常常對于這一問題上往往忽視它的重要性，但是我們應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，更是一門科學(xué)，要求的是簡潔性與準(zhǔn)確性，所以，研究這一性質(zhì)是非常重要的。