行走于數(shù)學(xué)的風(fēng)景中

蒲實(shí)

一個(gè)時(shí)刻

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)題討論題

2018年除夕的前一晚，在一家川菜館與我們吃完晚飯，袁新意開(kāi)車(chē)，先去他在伯克利北邊的家。席間他一點(diǎn)酒也沒(méi)喝。他說(shuō)，自從北大畢業(yè)那年喝畢業(yè)酒喝吐之后，他就不怎么喝酒了。18年前，還在北大數(shù)學(xué)系讀本科時(shí)，他身上那股“三杯吐然諾，五岳倒為輕”的俠氣，曾給住在他宿舍隔壁的同學(xué)張偉留下了深刻印象。后來(lái)，倆人同在哥倫比亞大學(xué)讀博，都師從數(shù)學(xué)家張壽武，有了更長(zhǎng)久的交往。

加州大學(xué)伯克利分校校園內(nèi)的薩特門(mén)，今年是伯克利建校150周年

袁新意在北大數(shù)學(xué)系只待了三年就拿到哥倫比亞大學(xué)的錄取通知書(shū)，去紐約讀博。那一年和他一起提前畢業(yè)的還有王東。他倆一起做東，宴請(qǐng)00級(jí)數(shù)學(xué)系的同學(xué)，愿意來(lái)喝酒的都可以來(lái)喝，喝了好幾輪。三年匆匆，在袁新意同班同學(xué)的記憶里，他上專(zhuān)業(yè)課的時(shí)候“全在看英語(yǔ)”，似乎不需要花時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，就輕松完成了絕大多數(shù)人四年學(xué)下來(lái)通常很吃力的全部數(shù)學(xué)課程。剛來(lái)北京時(shí)，從湖北小地方出來(lái)的他說(shuō)普通話的口音還很濃重，就更別提英語(yǔ)了，基本功很差。即便如此，他還是順利在三年內(nèi)去了美國(guó)。那是2003年。

我們跟他走在加州伯克利大學(xué)的校園里，經(jīng)過(guò)熱鬧非凡的薩特門(mén)（Sather Gate）?！翱矗@里好多社團(tuán)在招新宣傳，和北大的‘百團(tuán)大戰(zhàn)有得一比?！彼v足指向門(mén)前排開(kāi)的許多小展臺(tái)，介紹說(shuō)。在北大的時(shí)候，袁新意沒(méi)有參加過(guò)社團(tuán)，可以想見(jiàn)，留給他參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間也不多。我問(wèn)他為什么一定要急著提前一年畢業(yè)，壓縮出來(lái)的那一年在日后的歲月里是否真的很重要。他說(shuō)，在他拿到哥倫比亞大學(xué)錄取通知書(shū)時(shí)，他突然有些后悔趕這么一年;似乎還有很多時(shí)光可以享受，卻已來(lái)不及改變。說(shuō)這句話的時(shí)候，我們正穿過(guò)薩特門(mén)，走到門(mén)的另一側(cè)。他說(shuō)：“人總是埋頭想邁過(guò)一道道門(mén)，邁過(guò)的那一刻回頭看，卻又留戀門(mén)內(nèi)?！焙迷谒且粋€(gè)運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，在北大時(shí)，足球賽、籃球賽他都愛(ài)參加，晚上還愛(ài)在理科樓國(guó)際交流中心前的那片空地上和一幫輪滑愛(ài)好者玩輪滑——黑夜中，那片空地上的地?zé)舭演喕吣_下的路照得格外清晰。這讓他有不少朋友，00級(jí)的同班同學(xué)提起他時(shí)，都親切地喊他“老袁”。和外人想象中數(shù)學(xué)家所具有的理性應(yīng)伴隨的冷漠感不同，他是個(gè)能讓人感受到熱度的人。即使面對(duì)我這樣一個(gè)數(shù)學(xué)外行，面對(duì)可能解答了也不一定能讓我聽(tīng)懂的一些專(zhuān)業(yè)問(wèn)題，他依舊不遺余力地回答。后來(lái)我聽(tīng)他太太說(shuō)，美國(guó)這邊把工作和生活分得很明確，工作上的朋友最多一起吃個(gè)午飯，很少一起晚餐，更別說(shuō)去家里做客。袁新意接過(guò)話說(shuō)：“我對(duì)待中國(guó)人還是按中國(guó)的習(xí)俗來(lái)，對(duì)中國(guó)以外的所有國(guó)家都按美國(guó)通行的規(guī)則來(lái)?！?p>

伯克利校園內(nèi)的學(xué)生

現(xiàn)在，他在伯克利弗吉尼亞街買(mǎi)了房，安置了下來(lái)。“安定下來(lái)”這個(gè)主題在他博士后結(jié)束拿到“終身教軌”（tenure track）的時(shí)候，甚至在他博士后期間，就開(kāi)始成為他所考慮的問(wèn)題。按照他的說(shuō)法，作為班級(jí)里最早來(lái)美國(guó)的人，他什么都走在別人前面一年，既然要在舉目無(wú)親的美國(guó)扎根下來(lái)，這些有關(guān)生活安定的問(wèn)題也就按部就班、表率性地先考慮起來(lái)。

初見(jiàn)他時(shí)，我想他的生活已足夠靜好：他每周騎車(chē)去伯克利的辦公室，通常去三次;去的時(shí)候是上坡，大約騎20分鐘，回來(lái)的時(shí)候是下坡，十來(lái)分鐘就到家。他的辦公室在加州伯克利校園里埃文斯教學(xué)樓（Evans Hall）的第九層，俯瞰沿山而建的郁郁蔥蔥的校園。兩面采光的玻璃窗外，刺穿伯克利天際線的薩特鐘樓（Sather Tower）成了一道裝飾的風(fēng)景線，只要抬頭平視鐘樓的指針就可知道時(shí)間。下午6點(diǎn)鐘時(shí)，鐘樓的音樂(lè)鐘聲就在咫尺處的同一個(gè)高度回旋，在人心中喚起某種遠(yuǎn)離塵囂的宗教情緒。再遠(yuǎn)處，北加州的遠(yuǎn)山描畫(huà)出起伏的淡影。一排淡黃色的沙發(fā)靠倚在窗前，正對(duì)著灑滿陽(yáng)光的黑板，真是很理想的思考和辦公環(huán)境。2012年，結(jié)束克萊數(shù)學(xué)研究所的博士后項(xiàng)目，他短暫回到哥倫比亞大學(xué)，隨即又從紐約搬來(lái)加州，轉(zhuǎn)眼六年又已過(guò)去。

伯克利的薩特鐘樓

那天我們開(kāi)了車(chē)。夜色降臨時(shí)走出他的辦公室，袁新意把他騎來(lái)的自行車(chē)搬回辦公室，開(kāi)車(chē)帶我們?nèi)ゲ宛^。他到伯克利以后迅速被偷了兩輛自行車(chē)，這讓他變得謹(jǐn)慎。在波士頓讀博士后的那一年，他也買(mǎi)了一輛高檔自行車(chē)，因?yàn)闀r(shí)常停在校園里，還搞了兩把巨大的鎖。但是和在北大時(shí)一樣，沒(méi)過(guò)多久他的車(chē)就被偷走了。他說(shuō)加州伯克利作為一個(gè)文理學(xué)校，有很多與北大的相似之處;也許自行車(chē)容易被偷也應(yīng)被列入這種相似性中。在他還沒(méi)有離開(kāi)北大的時(shí)候，大概是2003年的春天，中國(guó)經(jīng)濟(jì)研究中心的林毅夫教授在理科樓開(kāi)的中國(guó)經(jīng)濟(jì)專(zhuān)題課上講，北大本科生在大學(xué)四年里平均每人被盜約3.4輛自行車(chē)。

伯克利校園內(nèi)

袁新意的家很快到了。從餐廳去往他家的路上，我們聊到了袁新意在北大時(shí)的數(shù)學(xué)系同班同學(xué)——張偉和惲之瑋2014年來(lái)加州伯克利時(shí)，他們?nèi)齻€(gè)之間一次關(guān)于數(shù)學(xué)的討論。正是那一次討論，成為張偉和惲之瑋具有創(chuàng)造性的合作的開(kāi)始——他們兩個(gè)人一個(gè)研究數(shù)論，一個(gè)研究代數(shù)幾何，在那個(gè)時(shí)刻，各自的研究產(chǎn)生了清晰的交集。20世紀(jì)70年代，加拿大裔美國(guó)數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲提出了雄心勃勃的革命性工程——朗蘭茲綱領(lǐng)，試圖建立數(shù)論與幾何之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，用一個(gè)領(lǐng)域的工具和方法研究另一個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題。這個(gè)綱領(lǐng)被視為“數(shù)學(xué)家的大一統(tǒng)理論”。張偉和惲之瑋的工作，是與朗蘭茲綱領(lǐng)相關(guān)的突破。

聊到這里，袁新意打開(kāi)了話匣子。伯克利不大，很快就到他家門(mén)口了，他泊好車(chē)，決定在車(chē)上把這個(gè)話題聊完。四年前那一次，開(kāi)車(chē)的人也是袁新意，談話的時(shí)間也是在吃完晚飯后——那天他們吃飯間全都在討論那個(gè)數(shù)學(xué)話題，路線是從袁新意在伯克利的家去惲之瑋的住處。討論一路上也未進(jìn)行完，以至于到了惲之瑋那兒，袁新意停下車(chē)，三個(gè)人又坐在車(chē)上討論了很久。這一次，當(dāng)袁新意在家門(mén)外的小路上停下車(chē)，在駕駛座上談?wù)撈鹚麄冊(cè)懻摰哪莻€(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并把它納入到一個(gè)更大的問(wèn)題中時(shí)，我開(kāi)始較為清晰地知道，三個(gè)人都曾為解決它準(zhǔn)備和工作了許多年。而四年前那次見(jiàn)面時(shí)，他們已各自走向了不同方向。

夜晚，黯淡的路燈燈光透進(jìn)車(chē)內(nèi)，視覺(jué)不再警醒，唯有耳朵更加靈敏地浸泡在回旋于幾平方米密閉空間的聲波里，使得每一個(gè)詞、每一句話都能吸引不同尋常的專(zhuān)注。2014年冬天的那個(gè)時(shí)刻，此刻，變得明朗起來(lái)一些。

驚奇的風(fēng)景

惲之瑋和張偉的辦公室離得不遠(yuǎn)，都在麻省理工2號(hào)樓第4層，各處在L形走廊的兩端。這個(gè)L型走廊的拐彎處是一個(gè)數(shù)學(xué)系學(xué)生和老師可以休息和討論的公共空間，有一張綠色的大黑板，永遠(yuǎn)寫(xiě)滿密密麻麻的符號(hào)和公式。數(shù)學(xué)系的人像是一個(gè)運(yùn)用某種由密碼符號(hào)構(gòu)成的特殊語(yǔ)言進(jìn)行交流的小群體。在這個(gè)公共空間里，好幾次，我看到認(rèn)識(shí)的人相互打招呼，說(shuō)不上兩句日常話語(yǔ)，就拿起粉筆在黑板上寫(xiě)畫(huà)和討論起來(lái)，相互可以在只有他們才懂的那種語(yǔ)言間長(zhǎng)時(shí)間游走。

張偉中學(xué)就讀于成都七中，惲之瑋在常州高級(jí)中學(xué)，他們都是數(shù)學(xué)奧賽冬令營(yíng)成員，但張偉沒(méi)有進(jìn)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)。進(jìn)了大學(xué)，張偉通過(guò)一道除惲之瑋之外無(wú)人能解的數(shù)學(xué)題，認(rèn)識(shí)了他。惲之瑋“竟然沒(méi)有半點(diǎn)得意之色”，讓張偉覺(jué)得“掃地僧”可以不完整地刻畫(huà)他。去年，惲之瑋從紐黑文的耶魯大學(xué)轉(zhuǎn)來(lái)麻省理工，他們又成為一棟樓里的同事。

同一層樓還有一個(gè)辦公室，門(mén)外貼著“許晨陽(yáng)”的名字，離張偉的辦公室很近。這個(gè)名字貼就像在等待許晨陽(yáng)今年秋天到來(lái)。他現(xiàn)在還在北大國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心任職，目前在巴黎龐加萊研究所做講席教授。許晨陽(yáng)1999年進(jìn)入北大數(shù)學(xué)系，比張偉和惲之瑋早一年。因?yàn)槎际菉W賽國(guó)家隊(duì)隊(duì)員，許晨陽(yáng)和惲之瑋在高中時(shí)就認(rèn)識(shí)，一起在北京的清華附中參加過(guò)集訓(xùn)。99級(jí)是本碩連讀五年學(xué)制，00級(jí)是四年本科制，三個(gè)人實(shí)際上同一年來(lái)的美國(guó)。

我第一次見(jiàn)到張偉和惲之瑋，是2017年12月在舊金山舉行的科學(xué)“突破獎(jiǎng)”頒獎(jiǎng)儀式上。這是一個(gè)2013年由億萬(wàn)富翁尤里·米爾納和Facebook創(chuàng)始人馬克·扎克伯格等硅谷投資人和企業(yè)家共同設(shè)立的獎(jiǎng)項(xiàng)，贊助人包括中國(guó)的馬云和劉強(qiáng)東。頒獎(jiǎng)典禮在美國(guó)國(guó)家航空航天局埃姆斯研究中心舉行，在通往主會(huì)場(chǎng)的紅地毯上，我見(jiàn)到這兩張年輕的面孔，他們獲得了給青年數(shù)學(xué)家的“新視野獎(jiǎng)”。

那天兩人穿著挺括的西裝，在好萊塢明星、硅谷企業(yè)家等名流云集的場(chǎng)合，氣場(chǎng)淡定。記者們被安排站在紅毯一側(cè)劃定的采訪區(qū)內(nèi)，嘉賓走過(guò)，紛紛探身線外進(jìn)行群訪。短暫的采訪結(jié)束，他們?cè)偻白?，就進(jìn)入攝影記者守候的拍攝區(qū)，長(zhǎng)槍短炮密集的鎂光燈將轟炸一番。如果說(shuō)尤里·米爾納設(shè)立這個(gè)“科學(xué)界奧斯卡”獎(jiǎng)的初衷之一，是讓數(shù)學(xué)家和科學(xué)家在社交網(wǎng)絡(luò)時(shí)代享有與他們的智力貢獻(xiàn)相稱(chēng)的媒體關(guān)注，我想，他成功實(shí)現(xiàn)了。那種場(chǎng)合下，我匆匆問(wèn)張偉和惲之瑋，學(xué)術(shù)圈的人如何看待這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)。張偉說(shuō)：“是一個(gè)新穎的模式吧，做一些新嘗試?！睈林|接著活潑地回答：“數(shù)學(xué)家平時(shí)沒(méi)有機(jī)會(huì)穿得這么帥，現(xiàn)在可以穿得帥帥的?！蹦鞘撬麄兘o我留下的最初印象。

頒獎(jiǎng)典禮的第二天，有一場(chǎng)在斯坦福大學(xué)舉辦的研討會(huì)，由“突破獎(jiǎng)”的獲獎(jiǎng)?wù)邆兘榻B自己的研究。早餐時(shí)，一位記者拿出一張求來(lái)的“字”給我們看，紙條上用黑色鋼筆寫(xiě)著一個(gè)等式：

等式左側(cè)下面標(biāo)注了“幾何”，右側(cè)下面標(biāo)注了“數(shù)論”——這就是張偉和惲之瑋獲得“新視野獎(jiǎng)”的那個(gè)等式。這個(gè)等式的簡(jiǎn)潔對(duì)不懂?dāng)?shù)學(xué)的人也有一種審美上的吸引力：等式兩邊的量都有各自確定的定義，是在不同領(lǐng)域以不同方式定義的量;等號(hào)像一座橋，把這兩個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，且明確它們是相等的。惲之瑋向這位記者解釋?zhuān)@個(gè)等式連接了數(shù)論和幾何的兩個(gè)量，幾何一邊和代數(shù)幾何中的霍奇猜想有關(guān)，數(shù)論一邊和黎曼假設(shè)中的黎曼Zeta函數(shù)有關(guān)，“這個(gè)等式本身可以看作是在BSD猜想框架下的一些拓展”。

2000年，也就是惲之瑋、張偉和袁新意通過(guò)數(shù)學(xué)奧賽從各自的中學(xué)保送到北大數(shù)學(xué)系那一年，美國(guó)克萊數(shù)學(xué)研究所列出了七個(gè)數(shù)學(xué)上的“千禧難題”，它們是：P（確定性多項(xiàng)式算法）對(duì)NP（非確定性多項(xiàng)式算法），霍奇猜想，黎曼假設(shè)，楊-米爾斯理論存在性和質(zhì)量缺口，納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性與光滑性，以及貝赫（Birch）和斯維訥通-戴爾（Swinnerton-Dyer）猜想（BSD猜想）?？巳R數(shù)學(xué)研究所董事會(huì)為此建立了700萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)基金，每個(gè)問(wèn)題的解決可獲得100萬(wàn)美元——雖然吸引世界一流數(shù)學(xué)家們的，不是百萬(wàn)美元，而是難以企及的智力挑戰(zhàn)。張偉和惲之瑋的等式，與最后這個(gè)BSD猜想有關(guān)，而B(niǎo)SD猜想又與朗蘭茲綱領(lǐng)密切相連。

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的學(xué)生結(jié)束了一場(chǎng)討論課，那天討論的問(wèn)題是丟番圖方程的另一種解法

那天在斯坦福的研討會(huì)結(jié)束后，惲之瑋和張偉一起從研討會(huì)的場(chǎng)地走到下一個(gè)對(duì)話式論壇的大廳。兩人都拎著行李箱，論壇結(jié)束后準(zhǔn)備奔赴機(jī)場(chǎng)，參加另一場(chǎng)學(xué)術(shù)會(huì)議。我那時(shí)對(duì)他們所做的研究還很無(wú)知。十來(lái)分鐘的轉(zhuǎn)場(chǎng)間，我問(wèn)他們是否在大學(xué)里就是同一個(gè)研究方向，從本科就開(kāi)始一起做研究？他們說(shuō)不是，也是在偶然的機(jī)會(huì)下，兩個(gè)人的研究發(fā)生了交集，才開(kāi)始了合作，“一個(gè)從數(shù)論，一個(gè)從代數(shù)幾何，兩種不同路徑各自切入，來(lái)解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”。那次短暫的對(duì)話，張偉告訴我，他們的等式并沒(méi)有最終解決BSD猜想，但“實(shí)際上我們自己創(chuàng)造了一些新的問(wèn)題，它們還挺有意思的”。我問(wèn)，他們是否還是想解決大問(wèn)題或世紀(jì)難題，“就像張益唐那樣？”張偉說(shuō)，他們這一代數(shù)學(xué)家跟張益唐那一代人不同，“并不是一定要去解決一個(gè)數(shù)學(xué)上的大問(wèn)題，解決不了，路上也有很多風(fēng)景;一個(gè)問(wèn)題暫時(shí)解決不了，還可以先去解決別的問(wèn)題”。張偉打比方說(shuō)他的研究，最初是沖著解決BSD猜想去的，但“就像從成都到北京的旅行途中，我發(fā)現(xiàn)了上海，覺(jué)得上海也挺不錯(cuò)，就待下來(lái)了，也很好。上海與北京之間有沒(méi)有路還不知道，但不一定要去北京了，哪怕回成都也很好”。他說(shuō)這段話的含義我當(dāng)時(shí)并不完全清楚，只聽(tīng)出其中有點(diǎn)“隨遇而安”的意味，不刻意追求解決大問(wèn)題的目標(biāo)。

再次見(jiàn)，在麻省理工。張偉的辦公室?guī)缀蹩諢o(wú)一物，他平時(shí)不愛(ài)待在辦公室里。辦公桌上只散落著兩支圓珠筆，黑板上卻寫(xiě)滿了符號(hào)和公式，仿佛這個(gè)空間里除了數(shù)學(xué)討論，什么別的活動(dòng)都沒(méi)有發(fā)生過(guò)。他也講述了2014年冬天在加州伯克利與惲之瑋、袁新意的那次會(huì)面，也就是他們的研究“發(fā)生交集”，并最終產(chǎn)生了前面那個(gè)等式的“偶然”時(shí)刻。

麻省理工學(xué)院教授張偉在他的辦公室里

惲之瑋當(dāng)時(shí)正在伯克利參加數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（MSRI）關(guān)于幾何方法與數(shù)論的一個(gè)學(xué)期活動(dòng)，張偉則去參加數(shù)學(xué)家邁克爾·哈里斯（Michael Howard Harris）的60歲生日會(huì)議，在會(huì)議上給一個(gè)報(bào)告。對(duì)朗蘭茲綱領(lǐng)，張偉、惲之瑋和袁新意在各自的領(lǐng)域都已研究多年，也有過(guò)一些非正式的討論。張偉和袁新意之前思考過(guò)Gan-Gross-Prasad的問(wèn)題，惲之瑋則在做幾何朗蘭茲綱領(lǐng)算術(shù)基本引理方面的研究。張偉說(shuō)，因?yàn)橹坝幸恍┫壤貏e是數(shù)學(xué)家吳寶珠用函子性猜想解決了朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何基本引理，受到他的啟發(fā)，“我們也想做這種轉(zhuǎn)化，看能不能用幾何工具來(lái)解決算術(shù)問(wèn)題”。一開(kāi)始出發(fā)點(diǎn)“其實(shí)比較低”，“想法很簡(jiǎn)單，只是想把數(shù)域上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到函數(shù)域（幾何性）上，就可以用幾何工具來(lái)解決算術(shù)基本引理”。

生日會(huì)結(jié)束后，他們一起去袁新意家吃晚飯。張偉向惲之瑋講起之前他在研究中的一些意外發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)域上有很多新的現(xiàn)象，實(shí)際上在數(shù)域上是不存在的”。惲之瑋在之前的工作中也在考慮函數(shù)域上的基本情形，也有一些新的想法。一說(shuō)出來(lái)，“我們發(fā)現(xiàn)L函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有幾何意義，這是函數(shù)域上特有的現(xiàn)象”。就在這個(gè)點(diǎn)上，他們剎那間獲得了一種前所未有的視角。那天，飯間飯后他們一直在繼續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中那些富有創(chuàng)造性的時(shí)刻，要不要相信那些意外發(fā)現(xiàn)的新現(xiàn)象是對(duì)的，是一個(gè)特別關(guān)鍵的問(wèn)題。就像一腳踏入無(wú)人之境，舉目四望，全然是與那一刻之前所到之處都不再相同的荒原。這是一個(gè)真實(shí)的地方嗎？如何給它命名？前方有路嗎？能走到哪兒？如果說(shuō)腳下所站之處是通往新方向的起點(diǎn)，那么這個(gè)時(shí)間上的“開(kāi)始”是否存在？這些問(wèn)題都會(huì)隨之浮現(xiàn)出來(lái)。張偉說(shuō)他當(dāng)時(shí)一直在不停想，“這是不是一個(gè)幻覺(jué)”，“是不是我們倆搞錯(cuò)了？”吃驚，難以置信，怕所見(jiàn)不過(guò)是海市蜃樓般的幻象——站在一片未曾有人涉足過(guò)的風(fēng)景前，沒(méi)有任何已知情形，地圖上從沒(méi)有標(biāo)識(shí)，他和惲之瑋不斷討論的是，眼前所見(jiàn)是否是真實(shí)的存在？倘若邁步出去，會(huì)不會(huì)發(fā)現(xiàn)前面的路表面之下其實(shí)是空的？四年后，張偉回憶他們第一次意識(shí)到“高階導(dǎo)數(shù)的情形在數(shù)域上不存在”時(shí)的感受，“不可思議的第一眼”所帶來(lái)的驚奇體驗(yàn)依舊清晰。

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系第四層走廊里的一個(gè)討論和休息空間

在袁新意家的討論之前，他們對(duì)這些函數(shù)域上的新現(xiàn)象到底對(duì)不對(duì)，還不夠確定。那天的飯桌上還有一些灣區(qū)聚過(guò)來(lái)的朋友，晚飯時(shí)沒(méi)討論完，飯后袁新意開(kāi)車(chē)送他們，先到惲之瑋住的地方，一路繼續(xù)討論。到了住地，袁新意把車(chē)停下來(lái)，又在車(chē)上繼續(xù)討論了很久。第二天又接著討論，袁新意在伯克利找了個(gè)有黑板的教室讓他們可以計(jì)算。張偉說(shuō)，此后幾天開(kāi)會(huì)的空隙期間全部都在討論這個(gè)問(wèn)題了，以至于那個(gè)會(huì)議開(kāi)的是什么，別人做了什么報(bào)告，自己全然已不記得，只把自己要給的報(bào)告做了，“其他很多報(bào)告都曠掉了”。幾天討論下來(lái)，“幾乎已確定不是一個(gè)幻覺(jué)”。

解除“幻覺(jué)”，是因?yàn)榛仡^看，張偉之前的一些具體運(yùn)算已指向了這個(gè)方向，惲之瑋對(duì)基本引理函數(shù)域情形的研究也指向這個(gè)方向，兩人都一直在從不同的路徑往這個(gè)方向走。只是兩人都沒(méi)有意識(shí)到，會(huì)在伯克利這個(gè)時(shí)刻，出現(xiàn)一個(gè)沒(méi)有人提到過(guò)的交叉口，它面向新的風(fēng)景。

惲之瑋說(shuō)，對(duì)這個(gè)方向上可能存在著某個(gè)地方的想象，可以追溯到2009年，但最后把要證什么問(wèn)題敘述出來(lái)，是在伯克利的那天，“張偉得到了一個(gè)關(guān)鍵性的敘述，第一次明確了要證什么”。確認(rèn)的過(guò)程小心翼翼，如履薄冰，在幾天里回溯了兩人多年各自所做的跋涉。BSD猜想說(shuō)的是“高階導(dǎo)數(shù)，但它說(shuō)的是泰勒展開(kāi)的第一項(xiàng)”，這是一個(gè)還未被最終證明的猜想。但即使假設(shè)BSD猜想是對(duì)的，“這個(gè)領(lǐng)域里也沒(méi)有任何猜想指向‘泰勒展開(kāi)后的每一項(xiàng)都有幾何意義”。在那幾天里，他們確認(rèn)了這種新的可能性。對(duì)L函數(shù)特殊值的研究已經(jīng)進(jìn)行了200多年，黎曼研究了L函數(shù)的特殊值（零點(diǎn)），BSD猜想則研究L函數(shù)和幾何量之間的聯(lián)系，揭示了泰勒展開(kāi)第一項(xiàng)的意義?！皵?shù)學(xué)世界里有很多條源流，我們正是從這一條數(shù)學(xué)的河流順流而下，發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象。”

對(duì)張偉來(lái)說(shuō)，“靈光乍現(xiàn)”的時(shí)刻就是在袁新意家里的那次討論，“那是決定性的”。那種興奮的狀態(tài)持續(xù)了好幾天，之后便歸于平靜，各自著手寫(xiě)論文了。2015年5月，大的難關(guān)已經(jīng)過(guò)去，卡在了最后一步。惲之瑋去瑞士訪問(wèn)，所坐的火車(chē)在伯爾尼的玫瑰園停留了兩個(gè)小時(shí)，他坐在花園里，想了一個(gè)多小時(shí)。一個(gè)月后，他用數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)所受到的“游擊隊(duì)式”的訓(xùn)練，“不限工具、方法，爆炸也行，只要能把盒子打開(kāi)”，最終做了出來(lái)。最后的論文引言分為兩個(gè)部分：一個(gè)是Gan-Gross-Prasad猜想，就是數(shù)域上零階導(dǎo)數(shù)的情形;一個(gè)是高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，這是函數(shù)域上特有的現(xiàn)象。

在斯坦福那一次，為了讓人理解，張偉將他們的研究所到達(dá)的地方象征性地命名為“上?！薄Ｄ抢锊灰欢〞?huì)有通往BSD猜想最終證明（“北京”）的路，但張偉看到了新的綠洲?！拔覀冸m然證明了這個(gè)定理，但并不知道能否在函數(shù)域的情形上提出精確的猜想，也不知道怎么提猜想”?！皵?shù)域高階導(dǎo)數(shù)上的幾何意義，目前雖然沒(méi)有，但這是不是我們的知識(shí)局限性使得我們未能發(fā)現(xiàn)它？什么樣的幾何才能在數(shù)域情形上解釋高階導(dǎo)數(shù)？”這是個(gè)新的方向，“目前還沒(méi)有本質(zhì)上的知識(shí)更新”?！吧虾！庇谑浅闪艘粋€(gè)可以繁衍生息的地方。

這個(gè)等式證明后，就像穿過(guò)了一條真實(shí)的細(xì)長(zhǎng)峽谷，更廣闊的新風(fēng)景在眼前展開(kāi)。

那聲音召喚的時(shí)候

惲之瑋習(xí)慣走樓梯去他在頂樓的辦公室。麻省理工數(shù)學(xué)系的樓梯中庭有個(gè)金屬雕塑模型，像DNA那樣螺旋上升，一直攀升到樓頂，上面點(diǎn)綴著一些金屬圓球，大概是粒子。這是個(gè)引人注意的抽象作品。周六那天采訪結(jié)束，我們跟他一起下樓，便問(wèn)他這是什么。他打量了一下，就像第一次注意到它一樣，思索幾秒鐘，回答說(shuō)他也不知道。穿過(guò)長(zhǎng)廊，從數(shù)學(xué)系的正門(mén)出去，再走一段路到停車(chē)場(chǎng)，惲之瑋找到他那輛銀色的舊豐田。車(chē)后座中間有一張嬰兒椅，地毯上有一些未來(lái)得及清理的餅干屑;他的兒子今年5歲，在離哈佛很近的一所小學(xué)上學(xué)，女兒即將出生。

他去波士頓藝術(shù)館接太太和兒子，順路捎我們過(guò)去。他不太熟悉路。為了保持專(zhuān)注，他不用智能手機(jī)，一直用的是諾基亞直板，導(dǎo)航儀暫時(shí)也不在車(chē)?yán)?，我們用手機(jī)上的谷歌地圖導(dǎo)了個(gè)航。以終身教授的身份來(lái)麻省理工之前，惲之瑋曾在波士頓待過(guò)兩年，這所大學(xué)也是他讀博士后的地方。但那兩年的時(shí)間顯然并未增進(jìn)他對(duì)波士頓其他方面的了解。他說(shuō)，除了去中國(guó)城吃中餐，他主要是在劍橋的麻省理工與哈佛一帶“稍微走走”。最常從事的活動(dòng)，就是和許晨陽(yáng)在查爾斯河邊跑步，從麻省理工出發(fā)，跑過(guò)一座橋，再繞回來(lái)。波士頓對(duì)他來(lái)說(shuō)，是一個(gè)數(shù)學(xué)中心，一座“很多數(shù)學(xué)家的職業(yè)生涯都或多或少與它有交集”的城市。他地圖上的波士頓，大學(xué)密集，討論班、會(huì)議也很多，數(shù)學(xué)氛圍濃厚。除此以外，他并不以別的方式與它發(fā)生聯(lián)系。

這讓我想起，袁新意從北大初到紐約時(shí)的感受。他說(shuō)，最鮮明的印象是高樓大廈，尤其是站在紐約時(shí)代廣場(chǎng)，置身無(wú)數(shù)光怪陸離的廣告牌中，感到很繁華。我問(wèn)，這種國(guó)際大都會(huì)的景象有沒(méi)有對(duì)他的內(nèi)心產(chǎn)生什么沖擊。他好像第一次意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題的存在，在記憶里搜尋了一下，回答說(shuō)：“沒(méi)有任何想法，看一看也就忘了?！备鐐惐葋喆髮W(xué)在紐約的曼哈頓，袁新意租住的哥大房子就在校園外，百老匯大街附近，他每天步行去學(xué)校。他在百老匯劇院聚集的街區(qū)步行了五年，在我的提示下，他仔細(xì)回憶，想起來(lái)看過(guò)兩場(chǎng)歌劇表演，其中一場(chǎng)還能記得起名字，叫《歌劇魅影》。

麻省理工學(xué)院的教學(xué)大樓

袁新意的記憶力其實(shí)驚人。他在北大的同班同學(xué)說(shuō)自己一直都能清晰地記住一件事：大三時(shí)學(xué)不懂實(shí)變函數(shù)，去向“老袁”請(qǐng)教;大二就已考完了這門(mén)課的袁新意告訴他，這是教材后的第幾道習(xí)題，編號(hào)準(zhǔn)確無(wú)誤。也許是在費(fèi)力回憶紐約印象的過(guò)程中，袁新意發(fā)現(xiàn)自己不假思索的生活有另外一面，自嘲說(shuō)：“我一直木訥，興趣也不廣泛，除了愛(ài)好運(yùn)動(dòng)?！鄙硖幗鹑谥行模瑢?duì)一個(gè)數(shù)學(xué)才能卓越的人來(lái)說(shuō)，誘惑時(shí)時(shí)刻刻就在門(mén)外。袁新意有時(shí)會(huì)收到獵頭郵件，身邊的一些師兄師姐讀完博士也去了華爾街，但他對(duì)外部世界有一種與生俱來(lái)的鈍感。他說(shuō)，在紐約時(shí)，他最喜歡的地方是學(xué)校附近的河畔公園，愛(ài)去那里散步。這不是他抵制誘惑之后的選擇，而出自他質(zhì)樸的本能。

真正向袁新意撲面而來(lái)的，是紐約數(shù)學(xué)圈的樂(lè)觀氛圍?！霸趪?guó)內(nèi)的時(shí)候，有一種悲觀的氣氛，前輩常說(shuō)做數(shù)學(xué)非常難，很艱苦?！钡鐐惐葋喌臄?shù)學(xué)圈非常樂(lè)觀，“一到紐約，就覺(jué)得做數(shù)學(xué)不是很難。最好的數(shù)學(xué)家就在身邊，他們有完全不同的精神面貌”。如果說(shuō)在北大還有過(guò)短暫的猶疑，一到美國(guó)，他就確定下來(lái)要做數(shù)學(xué)家。經(jīng)濟(jì)問(wèn)題如影隨形，但一直不是個(gè)事兒，“我出身貧寒，父母都是農(nóng)民，反而不在意賺多少錢(qián)，再怎么也不會(huì)窮到哪里去，總比以前好”。直到2009年他有了孩子，錢(qián)才第一次成為一道需要考慮的選擇題：他從未考慮在數(shù)學(xué)和其他職業(yè)間做選擇，那么能選擇的只能是何種生活方式;這需要家人同步。

數(shù)學(xué)以某種方式召喚著它的信徒。在北大，00級(jí)數(shù)學(xué)系的袁新意、惲之瑋、張偉、朱歆文，這幾個(gè)后來(lái)的數(shù)學(xué)家都沒(méi)有參加社團(tuán)活動(dòng)，也不怎么主動(dòng)與人交流。惲之瑋、朱歆文他們和99級(jí)數(shù)學(xué)系的師兄許晨陽(yáng)和劉若川組成了一個(gè)數(shù)學(xué)圈子，經(jīng)常在一起討論問(wèn)題，游離于校園生活之外。早在高中數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)的時(shí)候，他們其實(shí)就都見(jiàn)過(guò)或認(rèn)識(shí)了。

許晨陽(yáng)和好友劉若川搬出了28樓各自的宿舍，在校外的志新橋附近合租一個(gè)兩居室，以便不受干擾地鉆研數(shù)學(xué)。張偉在40樓206室的宿舍白天很安靜，上課的上課，睡覺(jué)的睡覺(jué)，一到晚上就熱鬧起來(lái)：沉醉于《星際爭(zhēng)霸》或《文明》游戲的，把宿舍門(mén)框用來(lái)模擬練習(xí)攀巖的，24小時(shí)不離電腦狂熱編程的。他讀到英國(guó)數(shù)學(xué)家G.H.哈代寫(xiě)的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自白》，被書(shū)里一段話所吸引。那段話說(shuō)：“一個(gè)人要是能成為數(shù)學(xué)家，根本不應(yīng)該猶豫。因?yàn)橥ǔＧ闆r下，一個(gè)人能精通一件事就不錯(cuò)了（精通不止一件事的人可以忽略不計(jì)），更何況數(shù)學(xué)研究是令人尊重，能極大滿足人的求知欲，同時(shí)令人雄心萬(wàn)丈的職業(yè)?！痹?0樓被拆掉的第四年，隔壁204室的袁新意去了美國(guó)，張偉他們搬進(jìn)了39樓。他和在奧賽時(shí)就早已認(rèn)識(shí)的朱歆文依舊在食堂慢悠悠地吃飯，未預(yù)料到去美國(guó)后，數(shù)學(xué)家群體的吃飯速度將再也無(wú)法讓他們沒(méi)有時(shí)間壓力地進(jìn)食。朱歆文說(shuō)自己大三、大四的時(shí)候主要以學(xué)為主，研究還無(wú)從談起，他總感到?jīng)]有真正得要領(lǐng)，背后隱秘的、根本性的東西隱隱約約吸引著他，又還看不清。惲之瑋度過(guò)了很快樂(lè)的時(shí)光，那是他還不需要操心任何生活事務(wù)，可以把全部時(shí)間用來(lái)深度探尋數(shù)學(xué)的時(shí)光，他別無(wú)所求，將所有的熱情都用來(lái)讀數(shù)學(xué)書(shū)、想數(shù)學(xué)問(wèn)題。

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系第四層走廊的休息空間

這幾個(gè)人成了志同道合的朋友。他們常聚在一起吃飯，聊數(shù)學(xué)，自發(fā)組織討論班。世紀(jì)之交，中國(guó)在數(shù)學(xué)世界已不再邊緣，特別在微分幾何、數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域，受到丘成桐、陳省身這些頂級(jí)數(shù)學(xué)家的影響，多年來(lái)處于中心地位，幾何學(xué)家一直引領(lǐng)潮流。但在數(shù)論和代數(shù)幾何領(lǐng)域，“北大還處于起步階段”。也許是機(jī)緣巧合，99級(jí)與00級(jí)數(shù)學(xué)最好的這幾個(gè)人，都對(duì)數(shù)論和代數(shù)幾何感興趣。廣泛接觸數(shù)學(xué)的全貌后，他們對(duì)自己思維方式的傾向性逐漸有了認(rèn)識(shí)。

惲之瑋大三的時(shí)候，曾跟做拓?fù)鋵W(xué)的姜伯駒院士做過(guò)一些科研，然后參加王詩(shī)宬院士的討論班，他們的方向很接近，都是做扭結(jié)理論。那時(shí)許晨陽(yáng)研一，也在那個(gè)討論班，他們經(jīng)常見(jiàn)面。兩個(gè)人都發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方向不是特別適合自己，空間想象能力不夠，而97級(jí)的倪億在這方面非常有天賦，兩人遂排除了干這行的可能。袁新意對(duì)數(shù)論的興趣，則從他中學(xué)做奧賽時(shí)就開(kāi)始了。即使奧賽做的是初等數(shù)論，他也從中發(fā)現(xiàn)了關(guān)聯(lián)、前因后果，“像一個(gè)完整的敘事”，這套系統(tǒng)的理論很吸引他。

在當(dāng)時(shí)的北大，做數(shù)論和代數(shù)幾何方向并不是一件可以輕松從教學(xué)體系借力的事。他們幾個(gè)人采取了一起自學(xué)的方式。他們有計(jì)劃地用一段時(shí)間共同閱讀了《代數(shù)幾何原理》，學(xué)校沒(méi)有開(kāi)這門(mén)課，也沒(méi)有老師教，書(shū)很厚，是英文的，他們合作把這本書(shū)學(xué)了下來(lái)。他們還自發(fā)組織閱讀了克萊茵的《正十二面體》。這種形式對(duì)他們來(lái)說(shuō)其實(shí)并不陌生：早在奧賽冬令營(yíng)和集訓(xùn)隊(duì)的時(shí)候，他們就以這種方式自己找題，和隊(duì)友相互出題，一起交流解題方法了。許晨陽(yáng)、朱歆文和張偉分別來(lái)自成都的三所名校，但那時(shí)成都的奧賽水平在全國(guó)來(lái)說(shuō)很一般，進(jìn)冬令營(yíng)之前，他們?nèi)ニ拇ㄅ碇葜袑W(xué)訓(xùn)練了一段時(shí)間。惲之瑋所在的常州高級(jí)中學(xué)，也不是奧賽的傳統(tǒng)強(qiáng)校，沒(méi)有準(zhǔn)備奧賽的大綱和教材，主要靠自學(xué)和相互切磋。劉若川所在的東北育才和袁新意所在的黃岡中學(xué)，那時(shí)在奧賽水平上全國(guó)領(lǐng)先，有系統(tǒng)的培訓(xùn)內(nèi)容，但主要形式仍是自學(xué)和相互討論。集訓(xùn)隊(duì)里令人羨慕的是后來(lái)進(jìn)入01級(jí)物理系的肖梁，他在人大附中時(shí)有很多聽(tīng)講座的機(jī)會(huì)。但無(wú)論如何，最后在集訓(xùn)隊(duì)里成績(jī)出類(lèi)拔萃的人，都是自學(xué)出來(lái)的。

跨過(guò)界河的人

大學(xué)四年里，數(shù)學(xué)系成績(jī)的分化發(fā)生在大二、大三，很多人的成績(jī)從90多分逐漸下滑到80多分，再滑到70多分。對(duì)數(shù)學(xué)系的很多人來(lái)說(shuō)，這是一件特別自然發(fā)生的事情。00級(jí)數(shù)學(xué)系后來(lái)做了數(shù)學(xué)培訓(xùn)老師的郭化楠說(shuō)，平時(shí)學(xué)習(xí)中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，讓人對(duì)這種“后來(lái)看起來(lái)有階段性退化的事特別習(xí)以為?！?。大二上學(xué)期結(jié)束，數(shù)學(xué)系要分班分方向，每個(gè)系的老師代表上去介紹各自的方向。金融方向的人一貫過(guò)于火爆，老師話語(yǔ)里是往外推人;選工程計(jì)算的人通常較少，老師言語(yǔ)間都是拽人。唯有基礎(chǔ)分析的老師說(shuō)，學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的人“腦子里都有一種物理結(jié)構(gòu)”，存在這種結(jié)構(gòu)的人才來(lái)選基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。從大一到大二，數(shù)學(xué)的時(shí)間飛快地從古代跳躍到18、19世紀(jì)，又飛快地從18、19世紀(jì)跨入現(xiàn)代。這幾個(gè)人的大腦以各自不同的方式加速，穿越了那條橫亙?cè)诔醯扰c高等數(shù)學(xué)、古典與現(xiàn)代數(shù)學(xué)、計(jì)算與高度抽象之間的河流。

袁新意一開(kāi)始對(duì)抽象代數(shù)有點(diǎn)不適應(yīng)，但他很快發(fā)現(xiàn)了“法則”的存在?！耙坏┌阉胂蟪梢粋€(gè)法則，像一套游戲規(guī)則，在規(guī)則上構(gòu)建一個(gè)體系，就理解了?！彼矎募夹g(shù)性的解題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)思想性的追求，更多地讀數(shù)學(xué)家寫(xiě)的書(shū)，而不是教材。

惲之瑋很習(xí)慣，高中時(shí)他看到的是“一些孤立的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就像海面上散落的島嶼”，進(jìn)入大學(xué)，“海水下降，你看到原來(lái)這些島都是通過(guò)海床連在一起的，只是一個(gè)整體的局部而已”，而把“島嶼”聯(lián)成整體的“海床”，就是“從定義到定理的這種形式化方式”。他對(duì)這種形式化的東西很敏感，能夠迅速適應(yīng)把問(wèn)題放到一個(gè)適當(dāng)?shù)目蚣芾铮眠m當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言來(lái)描述它。他發(fā)現(xiàn)了“語(yǔ)言”：現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要的是發(fā)展合適的語(yǔ)言來(lái)談?wù)撍耙粋€(gè)看似重新命名的過(guò)程，將推進(jìn)下一步的研究”。比如，代數(shù)里“群”的概念，就概括了所有的對(duì)稱(chēng)性，“一個(gè)圓盤(pán)能旋轉(zhuǎn);一個(gè)正三角形旋轉(zhuǎn)60度或120度，就可以回到它自己。這些群的例子，人們古代就已經(jīng)知道，但直到19世紀(jì)末，才真正把這個(gè)概念抽象出來(lái)”。 大學(xué)里，惲之瑋的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課幾乎全是滿分，但真正的數(shù)學(xué)對(duì)他來(lái)講已遠(yuǎn)不止于此。

張偉一接觸到數(shù)學(xué)分析，就被數(shù)學(xué)里“極限”“收斂性”“無(wú)窮小性”這些觀點(diǎn)深深吸引，清晰地意識(shí)到正從18世紀(jì)以前的同余、歐式幾何，跳躍進(jìn)19世紀(jì)，“語(yǔ)言詞匯迅速擴(kuò)大，數(shù)學(xué)對(duì)象拓展了很多”，他感到自己“從一個(gè)精致漂亮的小花園，進(jìn)入到了一個(gè)大植物園里，非常興奮”。

朱歆文大一時(shí)的校園生活還很豐富，當(dāng)他大二、大三越來(lái)越專(zhuān)注于數(shù)學(xué)時(shí)，他就自然而然不再與外部世界互動(dòng)了。他發(fā)現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)”，不過(guò)他自己那時(shí)還在“囫圇吞棗”，驀然回首，那時(shí)常常聊的高斯、黎曼和格羅滕迪克這樣的“大人物”，如今愈加明白，“仿佛來(lái)自虛空”，難以企及。

對(duì)惲之瑋來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)很早就是“一件很個(gè)人的事”，他們按照自己的品味選擇問(wèn)題，就像作家和畫(huà)家選擇創(chuàng)作主題和語(yǔ)言風(fēng)格一樣。數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和知識(shí)在他們各自的腦子里按每個(gè)人的特點(diǎn)排列組合，即使日后走向了不同的研究方向，哪怕相距甚遠(yuǎn)，也可以相互理解對(duì)方，并在這種差異化的排列組合中發(fā)現(xiàn)新的秩序。

這些各自向內(nèi)心探求、喜歡獨(dú)處，看上去從不主動(dòng)與人交流的人，結(jié)成了一個(gè)基于欣賞和信任的群體——用許晨陽(yáng)的話說(shuō)，數(shù)學(xué)家傾向于過(guò)古希臘哲學(xué)家的生活方式，適應(yīng)在一個(gè)智識(shí)上“少數(shù)人的小圈子”里交流?？邕^(guò)那條界河，數(shù)學(xué)世界的風(fēng)景變得遼闊，卻也更險(xiǎn)象叢生。他們一到美國(guó)，就將意識(shí)到已在看不到邊際的大海里游泳，在容易迷路的熱帶雨林里穿行，未知新世界誘惑著好奇心，把風(fēng)險(xiǎn)作為籌碼交換自由。多年后回頭看，這個(gè)“小圈子”里的相互激勵(lì)和啟發(fā)，讓他們?nèi)蘸蟮臄?shù)學(xué)之路顯得更順理成章。畢竟，數(shù)學(xué)研究充滿著不確定性，提不出有創(chuàng)造性的真問(wèn)題，或問(wèn)題做不出來(lái)，都如達(dá)摩克利斯之劍懸在頭頂，時(shí)刻可能終結(jié)作為職業(yè)數(shù)學(xué)家的生涯。但若跋涉于荒野，雖舉目不見(jiàn)人，卻有正與人同行的默契，不孤獨(dú)，也就多了幾分勇氣。

純數(shù)學(xué)家對(duì)絕對(duì)主義有天生的偏好，這讓他們有一種單純的心性。數(shù)學(xué)有清晰明確和被人公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)。惲之瑋說(shuō)，這一點(diǎn)是他追隨數(shù)學(xué)的重要原因，他無(wú)法接受模棱兩可的答案，也不能接受做隨機(jī)選擇的策略。他不擅長(zhǎng)下棋，這種每一步都有太多選擇的思維活動(dòng)，與他靈活運(yùn)用的排除法的智慧相悖。惲之瑋“像一臺(tái)雙核1.4G的精密儀器”，連他留在普林斯頓辦公室里的草稿紙都寫(xiě)得一絲不茍，摞得整整齊齊，后面來(lái)的人以為是寫(xiě)好的論文，一直留在桌上。生活里的無(wú)序、日常的繁亂、有人不守時(shí)、孩子無(wú)紀(jì)律，這些對(duì)他來(lái)說(shuō)，大多數(shù)時(shí)候是不得不忍受的。

與惲之瑋相比，其他幾個(gè)人似乎只把絕對(duì)主義留在了抽象世界里。許晨陽(yáng)的辦公室桌子亂糟糟的，他對(duì)美食的嗅覺(jué)也很敏銳，見(jiàn)多識(shí)廣善交際，是喜歡獨(dú)處的劉若川的“信息樞紐”。朱歆文和張偉興趣廣泛，也愛(ài)玩，冬令營(yíng)在一起時(shí)就愛(ài)搞惡作劇，聚在一起有時(shí)徹夜打牌，朱歆文還業(yè)余下了很多年的棋。袁新意熱愛(ài)籃球、足球和多項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，這讓他不懂?dāng)?shù)學(xué)的太太覺(jué)得他在生活里是個(gè)挺正常的人。但在與數(shù)學(xué)20多年的相處中，數(shù)學(xué)召喚著他們傾聽(tīng)自然深處的聲音，這聲音很早就占據(jù)了他們的頭腦與心靈，讓他們異乎尋常地專(zhuān)注，外部世界似乎未在他們身上留下什么痕跡。用朱歆文的話說(shuō)，與近20年前初次認(rèn)識(shí)時(shí)相比，“本質(zhì)沒(méi)有變化”。

在“新視野獎(jiǎng)”的獲獎(jiǎng)詞里，惲之瑋寫(xiě)道，他覺(jué)得自己“就像生活在童話里”。他告訴我，“童話”的意思是，可以把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個(gè)安身立命的職業(yè)，“僅僅做熱愛(ài)的事，對(duì)社會(huì)的回報(bào)還看不見(jiàn)摸不著，就可以過(guò)雖不富裕，但也衣食無(wú)憂的生活，這似乎有悖經(jīng)濟(jì)規(guī)律”。如果說(shuō)對(duì)藝術(shù)家而言，是否能用藝術(shù)創(chuàng)作維持生計(jì)的問(wèn)題不完全取決于他的藝術(shù)，也沒(méi)有什么作品可以一勞永逸地保障藝術(shù)家的榮譽(yù)，那么對(duì)數(shù)學(xué)家而言，幸運(yùn)的是，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造總能得到公平的評(píng)價(jià)。

惲之瑋做過(guò)一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的夢(mèng)。拿國(guó)際奧賽金牌時(shí)他上高二，按照慣例，他本應(yīng)在高三時(shí)再為學(xué)校出征下一屆奧賽。但他申請(qǐng)?zhí)崆爱厴I(yè)，早一年去北大報(bào)到，學(xué)校比較開(kāi)明，放了人。手續(xù)稍微復(fù)雜一點(diǎn)，2000年秋天北大開(kāi)學(xué)時(shí)，他到校得晚了一些。那一年，他經(jīng)常夢(mèng)見(jiàn)國(guó)家隊(duì)召喚他回去參加國(guó)際奧賽，他回去了，在賽場(chǎng)上，面對(duì)競(jìng)賽題，卻一道也做不出來(lái)。他說(shuō)，這是他潛意識(shí)里焦慮和不自信的投射。這讓我想起《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自白》這本書(shū)里，寫(xiě)到過(guò)羅素做的一個(gè)噩夢(mèng)?！八麎?mèng)見(jiàn)自己在劍橋大學(xué)圖書(shū)館的頂樓上，時(shí)間大約是2100年，一個(gè)管理員手拿著一個(gè)巨桶來(lái)回穿梭于書(shū)架之間，取下一本又一本的書(shū)，瞥一眼，把它們或者重新放回書(shū)架，或者丟到桶里。最后他走到了三大卷《數(shù)學(xué)原理》的孤本跟前，羅素認(rèn)出那是他的書(shū)。那位管理員拿下其中的一冊(cè)，翻了幾頁(yè)，似乎被那些稀奇古怪的符號(hào)困惑了一陣子，然后合上書(shū)本，在手里掂量著，猶豫著……”即使是聽(tīng)到過(guò)數(shù)學(xué)召喚的聲音的人，也害怕被數(shù)學(xué)拋棄和面對(duì)時(shí)間的失敗。

新世界的激情

2004年的北大畢業(yè)季和任何一個(gè)畢業(yè)季沒(méi)有什么不同。留在張偉記憶里的，是飯局，西門(mén)雞翅、啤酒、K歌，校園里的喊鬧，離愁別緒，對(duì)新開(kāi)端的向往。大概是被各種情緒慫恿，那一級(jí)不知道是誰(shuí)，趁著天黑砸了校園內(nèi)餐館的玻璃。惲之瑋和劉若川、01級(jí)物理系的肖梁、00級(jí)數(shù)學(xué)系的李馳，用跑步來(lái)紀(jì)念即將離開(kāi)北京。他們從北大西門(mén)一直跑到建國(guó)門(mén)，劉若川騎著自行車(chē)一路隨行。朱歆文、許晨陽(yáng)、劉若川和惲之瑋互贈(zèng)了禮物。朱歆文還記得送給惲之瑋了一本《圣經(jīng)》，自己則不知從誰(shuí)那兒收到了一張黑膠唱片。

加州理工學(xué)院教授朱歆文在他的臨時(shí)辦公室，數(shù)學(xué)系大樓正在裝修中

在北大的相聚，讓他們從數(shù)學(xué)上成為志同道合的摯友。惲之瑋、朱歆文經(jīng)常與許晨陽(yáng)、劉若川見(jiàn)面，聚在一起吃飯、聊數(shù)學(xué)。許晨陽(yáng)說(shuō)，他們開(kāi)始談?wù)摗罢w的數(shù)學(xué)”，那些他們都還不懂的數(shù)學(xué)理論和前沿方向，以及數(shù)學(xué)界的信息;哪些數(shù)學(xué)家獲獎(jiǎng)了，也會(huì)去看一下他做的工作。許晨陽(yáng)那時(shí)喜歡在圖書(shū)館里讀一本關(guān)于數(shù)學(xué)歷史的雜志，叫《數(shù)學(xué)意林》，有很多大數(shù)學(xué)家的訪談錄，講他們的數(shù)學(xué)探索，看了后就講來(lái)聽(tīng)。惲之瑋說(shuō)，那時(shí)他看到了數(shù)學(xué)的豐富和寬廣，“路是越走越寬的，不會(huì)一輩子鉆入死胡同里”?，F(xiàn)在回過(guò)頭看，當(dāng)時(shí)所知道的“前沿”，其實(shí)已是現(xiàn)代數(shù)論和代數(shù)幾何三四十年前就廣為人知的東西，至于像“類(lèi)域論”這種第一次聽(tīng)說(shuō)、不知何意的名詞，那都是100年前的事情了。他們對(duì)這些領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)還不了解，北大也沒(méi)有開(kāi)這方面的課程，但遙遠(yuǎn)的風(fēng)景已讓他們“莫名其妙地神往”。

惲之瑋和朱歆文讀大四時(shí)，也是許晨陽(yáng)和劉若川研究生的最后一年。他們自發(fā)組成一個(gè)討論班，一起讀《代數(shù)幾何原理》這樣的書(shū)，每周一兩次碰頭，每次在吃完晚飯后，分章節(jié)每人講一部分，討論1～2個(gè)小時(shí)。最開(kāi)始他們?cè)?0樓聚集，40樓推倒后他們又在39樓聚集，最后常去的地點(diǎn)是老舊的第四教學(xué)樓，在那里可以找個(gè)無(wú)人的教室討論。有一次樓里突然熄燈了，正在講的許晨陽(yáng)并沒(méi)有停下來(lái)，在黑暗中連續(xù)又講了十幾分鐘，直到燈重新亮起來(lái)。這黑暗中的十幾分鐘清晰地留在他們記憶中，是那段不知疲倦學(xué)習(xí)的歲月里，一個(gè)昂揚(yáng)的激情時(shí)刻。

加州理工學(xué)院的校園內(nèi)

他們都不約而同地接觸到朗蘭茲綱領(lǐng)，一項(xiàng)影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)工程。1967年，在給數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯的信中，加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲提出一個(gè)猜想，“朗蘭茲互反猜想”，這個(gè)猜想后來(lái)演變成朗蘭茲綱領(lǐng)。朗蘭茲綱領(lǐng)指出，三個(gè)相對(duì)獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支——數(shù)論、代數(shù)幾何和群表示論，實(shí)際上相互間有深刻聯(lián)系，而連接這些數(shù)學(xué)分支的紐帶是一些特別的函數(shù)，被稱(chēng)為“L函數(shù)”，它是朗蘭茲綱領(lǐng)的中心研究對(duì)象。1994年，數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了費(fèi)馬大定理。他在費(fèi)馬大定理的證明中用到了朗蘭茲綱領(lǐng)里的思想，讓人得以領(lǐng)略朗蘭茲綱領(lǐng)所描繪的新世界風(fēng)景是如此美麗壯闊：它將用一種全新的方式去理解數(shù)學(xué)和幾何。費(fèi)馬大定理的證明也導(dǎo)致了谷山―志村猜想的解決。谷山―志村定理揭示了橢圓曲線與模形式之間的關(guān)系，前者是具有算術(shù)性質(zhì)的幾何對(duì)象，后者是數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù)，它的解決是朗蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)重大突破。一個(gè)大的進(jìn)展，證明過(guò)程的中間結(jié)果可以解決很多問(wèn)題，這個(gè)領(lǐng)域吸引來(lái)很多年輕的數(shù)學(xué)家，變得活躍。與此同時(shí)活躍的領(lǐng)域，還有BSD猜想和龐加萊猜想。

北大數(shù)學(xué)系當(dāng)時(shí)是年輕的老師楊磊教數(shù)學(xué)分析，每個(gè)星期兩次課，外加兩個(gè)小時(shí)習(xí)題課。題做完之后，他就開(kāi)始聊數(shù)學(xué)歷史，包括正活躍的朗蘭茲綱領(lǐng)。他數(shù)學(xué)思想獨(dú)立，不受體系影響，喜歡談大數(shù)學(xué)家，比如格羅滕迪克、安德魯·懷爾斯、皮埃爾·德利涅這些人，他的激情對(duì)這幾個(gè)數(shù)學(xué)好的學(xué)生影響很大。到了高年級(jí)，高峽老師在課上講的一些跡公式模型，就已經(jīng)是朗蘭茲綱領(lǐng)里面的東西了。那時(shí)，與安德魯·懷爾斯合作證明了谷山-志村定理的布萊恩·康拉德（Brian Conrad）也來(lái)北大講過(guò)課。2003年的暑假，張偉和惲之瑋都參加了浙江大學(xué)數(shù)學(xué)中心普及朗蘭茲綱領(lǐng)的暑期學(xué)校。來(lái)講課的人包括證明局部朗蘭茲猜想的法國(guó)數(shù)學(xué)家亨尼爾特（Guy Henniart），普林斯頓大學(xué)的斯金納（Christoph Skinner），與康拉德、懷爾斯合作證明谷山-志村定理的布魯威爾（Christophe Bruiel）等。那個(gè)夏天，杭州持續(xù)高溫，暑期課程持續(xù)了好幾個(gè)星期，每天內(nèi)容都是滿的。他們抽空去了紹興游覽，在咸亨酒店喝了黃酒吃了茴香豆，還去了一趟蘭亭，惲之瑋對(duì)王羲之的《蘭亭序》情有獨(dú)鐘。

其他幾個(gè)人也都在大學(xué)里與朗蘭茲綱領(lǐng)產(chǎn)生了交集。袁新意在大三做畢業(yè)論文時(shí)，閱讀了數(shù)學(xué)家約翰·泰特（John Tate）的博士論文，是數(shù)論里朗蘭茲綱領(lǐng)的開(kāi)端和出發(fā)點(diǎn)?；剡^(guò)頭看，朱歆文說(shuō)，在他們進(jìn)大學(xué)的時(shí)候，數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)20世紀(jì)60年代之后的專(zhuān)業(yè)細(xì)分，已經(jīng)開(kāi)始了聯(lián)系和統(tǒng)一的趨勢(shì)。只是每個(gè)數(shù)學(xué)家跨越進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)后，還要在專(zhuān)業(yè)化的歷史里跋涉很久，才能到達(dá)朗蘭茲綱領(lǐng)就已提出的“用一個(gè)領(lǐng)域的工具解決另一個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題”的地界。

到了美國(guó)，許晨陽(yáng)和惲之瑋都在普林斯頓，97級(jí)的倪億也在那里。3年后，00級(jí)的李馳在北大數(shù)學(xué)系讀完研究生院后，也將前往匯合。許晨陽(yáng)和惲之瑋繼續(xù)一起吃飯，打籃球，考駕照，住學(xué)校的公寓。他們大部分時(shí)間都待在數(shù)學(xué)系里，要么就是在圖書(shū)館，熬夜到一兩點(diǎn)。普林斯頓圖書(shū)館藏書(shū)豐富，許晨陽(yáng)愛(ài)看西方哲學(xué)，惲之瑋則喜歡古典明清小說(shuō)，還在許晨陽(yáng)的影響下開(kāi)始看金庸武俠。剛到不久的10月，他們見(jiàn)到仰慕已久的比利時(shí)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德利涅（Vicomte Pierre René Deligne），與格羅滕迪克有過(guò)交集的人物。在高等研究院的食堂里，數(shù)學(xué)家們都坐在一個(gè)長(zhǎng)桌上，其中一位數(shù)學(xué)家問(wèn)了德利涅一個(gè)問(wèn)題。德利涅聽(tīng)了后，一言不發(fā)，只是繼續(xù)邊吃邊想，沉默了5分鐘，然后回答說(shuō)“不知道”。惲之瑋說(shuō)，沉默經(jīng)常是德利涅談話的方式，在那5分鐘里，他的思維大概已經(jīng)歷了普通大腦幾年的時(shí)間。許晨陽(yáng)則記得，他們問(wèn)了很多如今看來(lái)很簡(jiǎn)單很傻的問(wèn)題，但德利涅都詳盡地做了回答。2016年，惲之瑋去普林斯頓，在代數(shù)幾何討論班上講他與張偉合作的那個(gè)問(wèn)題。剛要走進(jìn)數(shù)學(xué)系大樓，72歲的德利涅騎著自行車(chē)來(lái)了，問(wèn)惲之瑋討論班的教室怎么走。那兩天的報(bào)告德利涅都來(lái)聽(tīng)，這對(duì)年輕人來(lái)說(shuō)是莫大的鼓勵(lì)。

博士生所看到的數(shù)學(xué)又是另一番風(fēng)景，這時(shí)它已經(jīng)邁入當(dāng)代的門(mén)檻。朗蘭茲綱領(lǐng)就像“有人告訴你地球內(nèi)部有一個(gè)很深的洞，里面埋了一些東西，好奇心讓人想挖到下面去看個(gè)究竟”。于是他們從各自的隧道開(kāi)始往深處挖洞，這些隧道深幽，漸漸分岔出更細(xì)的隧道，與別的隧道相距甚遠(yuǎn)，不斷往深處去，可能有一天會(huì)與別的隧道打通。這與他們?cè)诖髮W(xué)里最喜歡談?wù)摰姆▏?guó)數(shù)學(xué)家格羅滕迪克的數(shù)學(xué)很不同。格羅滕迪克是個(gè)人英雄主義的，他無(wú)中生有地構(gòu)建出一幢理論大廈，廣泛而完整，是一直被津津樂(lè)道的傳奇。許晨陽(yáng)和惲之瑋曾經(jīng)是帶著這樣的憧憬向風(fēng)景深處行進(jìn)的，那是他們“想象中最美好的數(shù)學(xué)”。當(dāng)他們開(kāi)始讀研究生，卻發(fā)現(xiàn)從上世紀(jì)80年代開(kāi)始，當(dāng)代數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的是高度細(xì)分和技術(shù)化的景象，與想象中的數(shù)學(xué)有些差距。

惲之瑋在普林斯頓的導(dǎo)師羅伯特·麥克弗森（Robert MacPherson）是非常有眼光的數(shù)學(xué)家。朗蘭茲綱領(lǐng)前提成立的一個(gè)基石是基本引理，數(shù)學(xué)家們?yōu)樽C明它努力了近30年。麥克弗森將基本引理翻譯轉(zhuǎn)化為另一個(gè)可用許多工具去解決的問(wèn)題，越南數(shù)學(xué)家吳寶珠再在這個(gè)基礎(chǔ)上將其從數(shù)論翻譯成代數(shù)幾何問(wèn)題，最終將其證明。在惲之瑋心中，麥克弗森“有點(diǎn)像廟里的和尚，能給人指點(diǎn)迷津”，每次見(jiàn)他總有一種和“先知”“智者”的對(duì)話感。這位導(dǎo)師要求他從小的問(wèn)題入手，解決幾何表示論領(lǐng)域里的具體代數(shù)幾何問(wèn)題，然后再?gòu)男∽龅狡毡?。這對(duì)惲之瑋影響很大，改變了他過(guò)去追求普遍、漂亮定理的方式，開(kāi)始采取更現(xiàn)實(shí)的方式去做數(shù)學(xué)，“也許自然中并不存在想象中那么完美的數(shù)學(xué)，也許是時(shí)機(jī)未到。也許通過(guò)具體的努力，可以在未來(lái)看到統(tǒng)一的數(shù)學(xué)”。

這個(gè)時(shí)代一些最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，都把看到朗蘭茲綱領(lǐng)所描繪的統(tǒng)一未來(lái)視為需要付出幾代人努力才可能出現(xiàn)的景象。比如吳寶珠。2006年到2007年，吳寶珠到普林斯頓高等研究院做了一學(xué)期報(bào)告，能堅(jiān)持聽(tīng)下來(lái)的人從最先的10個(gè)人，最后只剩下一兩個(gè)人，惲之瑋是其中一個(gè)。他當(dāng)時(shí)博士三年級(jí)，正為如何找到自己的問(wèn)題而感到痛苦。一進(jìn)入普林斯頓，他們就像“被扔進(jìn)大?！?，“能否游到岸全靠你自己”。最難的就是獨(dú)立找到自己的問(wèn)題，導(dǎo)師只幫助判斷方向是否有前途——惲之瑋的整個(gè)博士階段都在學(xué)習(xí)找問(wèn)題。這時(shí)他發(fā)現(xiàn)吳寶珠的問(wèn)題可以與以前學(xué)習(xí)的表示論聯(lián)系起來(lái)，就決定做這個(gè)。當(dāng)時(shí)，吳寶珠證明了基本引理的酉群情形，想繼續(xù)證明它的普遍形式，這個(gè)階段正是他寫(xiě)作論文，不停舉行講座解釋自己想法的過(guò)程。吳寶珠在2008年5月最終證明了基本引理。在這之前，數(shù)學(xué)家們關(guān)于朗蘭茲綱領(lǐng)的研究，都建立在假設(shè)基本引理正確的基礎(chǔ)上;在這之后，所有這些研究成果都得以確立。數(shù)學(xué)家們?cè)瓉?lái)都在河對(duì)岸工作，等著有人能架好一座橋梁，現(xiàn)在橋梁架好了，每個(gè)人的工作都有了意義。惲之瑋目睹了這座橋梁架設(shè)的全過(guò)程，“把他的東西全部學(xué)下來(lái)，做任何東西都是新的”。

向隧道深處走

袁新意到紐約一年后，張偉也來(lái)了。之前袁新意在郵件里告訴張偉很多關(guān)于哥倫比亞大學(xué)的好處。袁新意在哥大的出色表現(xiàn)，讓他的導(dǎo)師張壽武也欣然接受了張偉。在張壽武眼里，袁新意是一個(gè)“很沉穩(wěn)的人，不會(huì)輕易對(duì)新問(wèn)題下結(jié)論”，“他要先找很多反例，當(dāng)找不到反例時(shí)，他就把它做出來(lái)了”。而張偉想法很多，“給人天馬行空的感覺(jué)”，對(duì)文學(xué)、歷史什么都感興趣。張壽武最初時(shí)常提醒張偉，“不能到我辦公室胡說(shuō)八道，要好好做學(xué)問(wèn)”。而從另一個(gè)角度看，以大學(xué)同學(xué)朱歆文的視角，袁新意和惲之瑋都屬于計(jì)算能力和技術(shù)非常強(qiáng)大的人，而張偉直覺(jué)很強(qiáng)，經(jīng)常能做一些過(guò)度簡(jiǎn)化的發(fā)現(xiàn)，經(jīng)常還是對(duì)的。

朱歆文那一年去了加州伯克利，遠(yuǎn)離東海岸;劉若川到了麻省理工，00級(jí)獲國(guó)際數(shù)學(xué)奧賽金牌的還有吳忠濤，他也去了那里。

在普林斯頓，許晨陽(yáng)和惲之瑋，剛開(kāi)始仍像在北大時(shí)一樣，討論很多數(shù)學(xué)。隨著各自的研究越深，他們的領(lǐng)域和話題也逐漸越離越遠(yuǎn)。許晨陽(yáng)做的代數(shù)幾何，漸漸離數(shù)論更遠(yuǎn)一些，離幾何更近一些。惲之瑋所做的幾何表示論，處于代數(shù)幾何、數(shù)論和表示論之間。這個(gè)領(lǐng)域當(dāng)時(shí)剛?cè)〉昧撕艽筮M(jìn)展，狀況很活躍。惲之瑋告訴我，吳寶珠最關(guān)鍵性的突破，是在閱讀1987或1988年一本期刊時(shí)受到了啟發(fā)。他本來(lái)是想查閱導(dǎo)師拉爾·洛蒙（Gérard Laumon）的文章，在那本期刊中，排在洛蒙文章之后的，恰好是一位英國(guó)數(shù)學(xué)家關(guān)于楊-米爾斯場(chǎng)論的文章，與數(shù)論完全沒(méi)有關(guān)系，和理論物理的關(guān)系更大一些。他閱讀了那篇文章，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有產(chǎn)生靈感，但若干年后，他卻靠這篇文章取得了突破。吳寶珠發(fā)展的這套工具，可以用來(lái)解決基本引理剩下的其他問(wèn)題。惲之瑋開(kāi)始了漫長(zhǎng)的探索，到博士第四年時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以與表示論中的一些問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，產(chǎn)生一些新的結(jié)果。他說(shuō)，這些問(wèn)題是從來(lái)都沒(méi)有人到達(dá)過(guò)的地方，那種感覺(jué)有點(diǎn)像在荒原中獨(dú)自散步，很孤獨(dú)，但他很享受這種感覺(jué)，一步步推進(jìn)，向?qū)毑亟咏?p>

北大國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心教授許晨陽(yáng)，他即將到麻省理工任教

博士第四年的冬天，惲之瑋在高等研究院開(kāi)會(huì)。吃飯時(shí)，在與他人閑聊時(shí)，為了向別人解釋自己的想法，他的思維似乎要活躍一些，自言自語(yǔ)說(shuō)了幾句話，對(duì)方聽(tīng)沒(méi)聽(tīng)見(jiàn)他不知道，但自己突然覺(jué)得有所觸動(dòng)，獲得了靈感構(gòu)造一個(gè)新的群的表示。在這之前，很多框架性的東西已經(jīng)清楚了，現(xiàn)在找到了把那些東西表述出來(lái)的精確表達(dá)，后面就只是細(xì)節(jié)性的證明。他建立了整體斯普林格理論，這是他的博士論文。博士后階段，惲之瑋與吳寶珠合作，借鑒吳寶珠證明經(jīng)典跡公式的基本引理的想法，證明了自守形式相對(duì)跡公式的基本引理。

這樣的靈感時(shí)刻在2011年初再度到來(lái)。那時(shí)他在普林斯頓的高等研究院做博士后研究，吳寶珠和他，還有一位高等研究院的訪問(wèn)學(xué)者海因洛施（Jochen Heinloth）有一天聊起一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)還不知道如何解決。過(guò)了一個(gè)禮拜后，惲之瑋突然覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題和他之前做的另一個(gè)問(wèn)題有聯(lián)系，那是他和麻省理工一位教授正在合作的問(wèn)題。這兩個(gè)問(wèn)題看上去很不一樣，但這兩個(gè)問(wèn)題都在他腦子里，所以他很驚奇地發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)問(wèn)題非常有聯(lián)系。他把這個(gè)想法告訴了吳寶珠和海因洛施。這個(gè)聯(lián)系其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是“同一個(gè)對(duì)象會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)不同的問(wèn)題里”，“它不難，但發(fā)現(xiàn)它很困難”，一旦看透，后面的解決就順理成章了。吳寶珠他們將信將疑，不確定是不是會(huì)這么簡(jiǎn)單，需要構(gòu)造出一個(gè)例子才能肯定?；氐郊?，惲之瑋就驗(yàn)證了這個(gè)基本例子，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是對(duì)的，然后他們開(kāi)始了合作。這個(gè)合作一直到2010年春天，文章被《數(shù)學(xué)年刊》接收。

2010年暑假，惲之瑋在法國(guó)高等研究院訪問(wèn)，在那邊待了一個(gè)月。他想把文章中的方法推廣，解決塞爾問(wèn)題，但一個(gè)月沒(méi)有取得任何進(jìn)展。2011年2月，他已經(jīng)半年時(shí)間不怎么想這個(gè)問(wèn)題了，但在偶爾和研究生聊起這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，他們追問(wèn)他用這個(gè)方法能否做其他的事情，給了他一些啟發(fā)，他又重新拾起來(lái)。也是在麻省理工與人閑聊的時(shí)候，他獲得了構(gòu)造一個(gè)例子的靈感，成為解決問(wèn)題的突破口。這是一個(gè)完全意外的靈感。他突然發(fā)現(xiàn)，之前與吳寶珠他們合作的那個(gè)問(wèn)題的方法可以用來(lái)解決塞爾問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)家所熟悉的領(lǐng)域里，從特例到一般性其實(shí)并不難，往往最難的是找到那個(gè)特例。他很快構(gòu)造了一個(gè)特例來(lái)解決塞爾問(wèn)題。如果說(shuō)與吳寶珠和海因洛施合作的問(wèn)題，還只是建立了同一個(gè)分支上兩個(gè)方法之間的聯(lián)系的話，那么塞爾問(wèn)題的解決，則打通了不同分支。之前他與吳寶珠合作的領(lǐng)域，屬于幾何表示論的領(lǐng)域，以幾何為主，塞爾問(wèn)題則是一個(gè)更偏數(shù)論的問(wèn)題。這兩者之間通常有很多相似性，但很少有邏輯上的嚴(yán)格論證從一邊走向另一邊。解決塞爾問(wèn)題，就相當(dāng)于給出了這樣一種聯(lián)系的方法。惲之瑋說(shuō)，以前的數(shù)學(xué)家用寫(xiě)信來(lái)交流，有時(shí)候其實(shí)對(duì)方看不看沒(méi)關(guān)系，但數(shù)學(xué)家正是在這種表達(dá)過(guò)程中整理思路的，有些問(wèn)題想不明白，寫(xiě)出來(lái)就明白了。到了2014年的時(shí)候，丘成桐邀請(qǐng)他在哈佛的現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)展上做一個(gè)報(bào)告，張益唐和張偉也受邀去做報(bào)告。報(bào)告結(jié)束后，要寫(xiě)一個(gè)書(shū)面的論文，發(fā)表在報(bào)告的論文集里。他利用書(shū)面論文的機(jī)會(huì)，把一開(kāi)始和吳寶珠與海因洛施討論的例子，一直到后續(xù)發(fā)展，以及除了解決塞爾問(wèn)題之外，這套理論所解決的另兩個(gè)問(wèn)題，都寫(xiě)了出來(lái)，把它系統(tǒng)化地進(jìn)行了發(fā)展。

2011年初那個(gè)時(shí)刻是他在數(shù)學(xué)上最幸福的時(shí)刻。獲得靈感時(shí)，他內(nèi)心的狂喜持續(xù)了一兩個(gè)禮拜。大多數(shù)時(shí)候，數(shù)學(xué)家在他的思想世界里都是在茫然前行，日常的情況是走彎路，走不通，最終回到原點(diǎn)，或者不清楚前方是否有意義，處于長(zhǎng)期的低谷。惲之瑋說(shuō)，那種幸福時(shí)刻雖然短暫，但它的極大樂(lè)趣，讓之前的這些沮喪都變得值得。

但能夠與他分享這些短暫狂喜的人很少，因?yàn)樗茈y向人去描述他在那里所看到的前所未有的奇景。惲之瑋告訴我，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之所以難以向人講解，是因?yàn)樗恳豁?xiàng)定義都過(guò)于復(fù)雜，將它們每個(gè)都展開(kāi)，需要太長(zhǎng)的時(shí)間，“就像面對(duì)跑著汽車(chē)的馬路，極少有人懂得每輛車(chē)?yán)锩總€(gè)零件的構(gòu)造”，那些零件才是與我們物質(zhì)世界經(jīng)驗(yàn)還能發(fā)生關(guān)聯(lián)的古典數(shù)學(xué)的概念，數(shù)學(xué)家則是那些開(kāi)車(chē)的人。其實(shí)，如果有足夠的耐心，有人愿意講也有人愿意聽(tīng)，這些極為抽象復(fù)雜的定義都可以一層層、一步步拆開(kāi)，最后回到最初那些古典概念。但現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)像一個(gè)以極快速度向前推進(jìn)的世界，讓普通大眾難以理解，大眾也失去了理解它的動(dòng)機(jī)。純數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)而慢慢成為數(shù)學(xué)家的專(zhuān)業(yè)趣味，而不是像古典數(shù)學(xué)一樣，可以與大眾分享興趣。

當(dāng)惲之瑋獲得了解決塞爾問(wèn)題的想法時(shí)，他第一個(gè)想告訴的人是哈佛大學(xué)的格羅斯（Benedict Gross）教授，他就是格羅斯-扎基亞公式的提出者之一。從發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》的那篇文章起，格羅斯就開(kāi)始注意到他。以前他們相互不認(rèn)識(shí)，通過(guò)這項(xiàng)工作就熟悉起來(lái)，他于是一直關(guān)注惲之瑋在做的這個(gè)問(wèn)題，也給了他很多鼓勵(lì)。惲之瑋也想與研究這個(gè)問(wèn)題的一些專(zhuān)家分享。對(duì)家人則要含蓄一點(diǎn)，無(wú)法想象向他們宣布一個(gè)發(fā)現(xiàn)，會(huì)收到反應(yīng)。那時(shí)他還沒(méi)有孩子，空余時(shí)間很多，任何時(shí)間都在想數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)論在何種環(huán)境中，在飛機(jī)上、火車(chē)上，都在想數(shù)學(xué)，靈感也比較多地接踵而至。靈感到來(lái)后，他并不廢寢忘食，也并不急于做出來(lái)，但每天結(jié)束工作時(shí)都知道第二天早晨起來(lái)有一個(gè)好的開(kāi)頭，知道自己要做什么，而不是茫然不知道從何開(kāi)始——那種感覺(jué)很好。

張偉一開(kāi)始并沒(méi)有找到自己的題目，2005年初，他的導(dǎo)師張壽武讓他嘗試解決一下庫(kù)達(dá)拉猜想中的模性（Modularity）問(wèn)題。據(jù)張壽武說(shuō)，本來(lái)的想法只是讓他忙著，沒(méi)想到2005年底，他不僅做出了例子，而且找到了獨(dú)創(chuàng)性的證明方法，做出了一般情況。張壽武當(dāng)時(shí)已經(jīng)在一些假設(shè)條件下證明了格羅斯-扎基亞公式，一個(gè)對(duì)解決BSD猜想有重要意義的公式。張壽武曾這樣描述庫(kù)達(dá)拉猜想與格羅斯-扎基亞公式這兩個(gè)問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)和路徑：要把這些假設(shè)條件去掉，做一般的公式，“就必須要有新的辦法，新辦法最重要的一步就是母函數(shù)的模性”。張偉把這一步做了出來(lái)，接下來(lái)，張壽武、袁新意和張偉合作完成了格羅斯-扎基亞公式的證明。三人最終的合作成果，以書(shū)的形式出版在《普林斯頓數(shù)學(xué)研究年刊》上。

張偉之后的工作，都是從這里繼續(xù)系統(tǒng)性地往前推進(jìn)。張壽武接著讓張偉做自守形式中相對(duì)跡公式下的基本引理。這是張壽武還在讀博士的時(shí)候，從他哥倫比亞的導(dǎo)師那里師承下來(lái)的問(wèn)題，他知道這個(gè)問(wèn)題對(duì)推廣格羅斯-扎基亞公式很重要。2008年的夏天，張偉在北京晨興參加張壽武組織的一個(gè)討論班，聽(tīng)到中科院數(shù)學(xué)所的田野給的一個(gè)報(bào)告，講賈凱特（Jacquet）的相對(duì)跡公式。他告訴我，當(dāng)時(shí)他并沒(méi)有完全理解，“因?yàn)榧?xì)節(jié)太繁瑣”?；氐矫绹?guó)大約兩個(gè)月之后，他在紐約和波士頓往返的三天時(shí)間里，旅途中無(wú)事可做，他突然想起田野的那個(gè)報(bào)告，“當(dāng)時(shí)大腦里已經(jīng)把大部分細(xì)節(jié)都忘記得差不多了，只剩下一個(gè)大致輪廓，這個(gè)輪廓變得容易理解，可以得心應(yīng)手地使用”。那三天時(shí)間里，他獲得了靈感，由此他第一次自己發(fā)現(xiàn)了一個(gè)研究方向。這項(xiàng)工作后來(lái)寫(xiě)成文章《算術(shù)基本引理》（Arithmetic Fundamental Lemmas），后來(lái)他的很多工作都是這篇論文的延續(xù)。在他的領(lǐng)域，這些工作都撥開(kāi)了新的路，讓后面的人可以繼續(xù)往前走。張壽武說(shuō)，張偉沒(méi)有做那么多東西，“他只做好了一個(gè)東西，但這個(gè)東西處于數(shù)論＼代數(shù)幾何和表示論所有這些領(lǐng)域的交叉中心”。張偉告訴我，做出算數(shù)基本引理后，隨之產(chǎn)生的問(wèn)題是，還不知道怎么把它轉(zhuǎn)化到函數(shù)域。這本來(lái)是他和惲之瑋合作的出發(fā)點(diǎn)，但他們?cè)诤献髦邪l(fā)現(xiàn)了意外的現(xiàn)象。這就是2014年在袁新意伯克利家里的那個(gè)突破性時(shí)刻。

張偉自認(rèn)為過(guò)去是個(gè)惰性和慣性比較強(qiáng)的人。小學(xué)畢業(yè)的暑假，要從他所在的四川大竹縣農(nóng)村去千里之外的成都參加數(shù)學(xué)夏令營(yíng)，他覺(jué)得蜀道難，并不希望去，是他的父親堅(jiān)決要帶他去參賽的。進(jìn)入大學(xué)和博士階段，他才漸漸擺脫了生來(lái)的惰性，這是他父親一次次不斷將他置于新環(huán)境的結(jié)果。他變得很努力。與所有數(shù)學(xué)家的日常狀態(tài)一樣，他大部分時(shí)間在卡殼，有時(shí)為驗(yàn)證一個(gè)想法通宵演算，偶爾發(fā)現(xiàn)想法其實(shí)是已有的，時(shí)常發(fā)現(xiàn)路不對(duì)而回到原點(diǎn)。在長(zhǎng)時(shí)間工作也不能有定論，或者睡覺(jué)前突然有了靈感時(shí)，他常常選擇先睡一覺(jué)。他的理論是，“即使在睡眠時(shí)，大腦似乎還在自行運(yùn)算，好比睡前輸入了一個(gè)程序，清早一覺(jué)醒來(lái)，答案自行浮出水面”。

在2017年“突破獎(jiǎng)”的晚宴上，張偉發(fā)言說(shuō)：“我的父母對(duì)我在做的事情很放心，他們以為我是在做與數(shù)字打交道的工作。但他們不知道，其實(shí)我一直在與虛擬的數(shù)字打交道?！蔽覇?wèn)他，當(dāng)代數(shù)學(xué)已成為需要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)訓(xùn)練才能理解的語(yǔ)言，無(wú)法與大眾溝通，那么它在數(shù)學(xué)之外更廣泛的意義何在？他回答說(shuō)，300多年前人們發(fā)現(xiàn)的微積分，100多年前才真正地被嚴(yán)格化和簡(jiǎn)化，而現(xiàn)在已經(jīng)是高中生就可以學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這期間經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間跨度。當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展起來(lái)的內(nèi)容，由于技術(shù)細(xì)節(jié)太繁瑣，暫時(shí)會(huì)被認(rèn)為與我們的經(jīng)驗(yàn)世界相去甚遠(yuǎn)，更難以與更普遍的文化思想產(chǎn)生關(guān)系，但是“數(shù)學(xué)如果按照現(xiàn)在的方向發(fā)展，復(fù)雜概念和原理會(huì)被簡(jiǎn)化。當(dāng)50年后的數(shù)學(xué)家回望今天的數(shù)學(xué)，也許會(huì)有與我們現(xiàn)在相同的困擾，但是他們也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，50年前的數(shù)學(xué)在新的框架下變得更容易理解”。

重逢

2008年到2009年，在張偉他們博士高年級(jí)的時(shí)候，張壽武在哥倫比亞大學(xué)舉行了一個(gè)非正式討論會(huì)，每次確定一個(gè)主題，每個(gè)人學(xué)習(xí)一部分，一起研討。除了袁新意、惲之瑋、張偉和朱歆文，還有00級(jí)數(shù)學(xué)系的陳琳，01級(jí)的肖梁和03級(jí)的劉亦峰來(lái)參加。他們討論一些熱點(diǎn)話題，提前幾個(gè)月確定主題，每個(gè)人學(xué)習(xí)一部分，在討論會(huì)上一起學(xué)習(xí)討論。張壽武之前做了些組織和資助，后來(lái)大家基本自費(fèi)來(lái)參加。2009年第一次討論主題是跡公式，2010年討論的主題是格羅滕迪克-卡茲猜想，中間還討論過(guò)一些別的主題。一次討論大概兩三天，強(qiáng)度很高。2014年張偉和惲之瑋合作用到的一些東西，恰好是第一次討論的內(nèi)容。當(dāng)時(shí)這六七個(gè)人都處于差不多的研究階段，思考的問(wèn)題有很多重合，又有不同側(cè)重，討論起來(lái)彼此的關(guān)注點(diǎn)和疑點(diǎn)都相契，彼此有些啟發(fā)。

袁新意在給本科生上微積分

張偉回憶說(shuō)，在那個(gè)階段，在不同方向上深鉆了很多年后，他們彼此之間有了比較多的共同問(wèn)題。同樣重要的是，他們相互理解起來(lái)很容易，“換人講同樣問(wèn)題我們可能就聽(tīng)不懂”。這個(gè)階段的高深數(shù)學(xué)，很大程度上取決于敘述的方式，在向另一個(gè)領(lǐng)域的人做解釋時(shí)，“可理解程度取決于講的人和聽(tīng)的人，如果這兩個(gè)人差距大，就完全無(wú)法理解”。

早在北大，他們?cè)谏鲜钇诎嗷驅(qū)ｎ}班的時(shí)候，就開(kāi)始接觸到快速增長(zhǎng)的新詞匯。到了美國(guó)，信息的節(jié)奏又陡然加快很多，他們發(fā)現(xiàn)，把所有問(wèn)題的證明搞清楚已經(jīng)是不可能的，每個(gè)證明都很繁瑣，“只能盡力搞懂語(yǔ)言”。他們很快適應(yīng)了在高度抽象的語(yǔ)言中快速學(xué)習(xí)、轉(zhuǎn)換和組合的能力。聽(tīng)惲之瑋和麻省理工學(xué)院的學(xué)生交流時(shí)，我聽(tīng)到他用了好幾次“故事”和“敘述”這樣的詞，也用了好幾次“自然”或“不自然”這樣的詞——后來(lái)張偉向我解釋?zhuān)安蛔匀弧钡囊馑季褪莾删湓捴g跳躍感太大。這讓我感到，當(dāng)代數(shù)學(xué)家在某種意義上，已經(jīng)是數(shù)學(xué)抽象語(yǔ)言的作家。他們?cè)谶M(jìn)行“寫(xiě)作”時(shí)，使用的是打包的概念和定義，而他們所體會(huì)到的“美感”，大概可以類(lèi)比我們?cè)陂喿x文字時(shí)所體會(huì)到的完美結(jié)構(gòu)和流暢表達(dá)。這種用抽象符號(hào)進(jìn)行閱讀的能力，很可能在他們大學(xué)的時(shí)候就已經(jīng)具備了。惲之瑋的同學(xué)們至今都流傳著他讀數(shù)學(xué)書(shū)如讀小說(shuō)的傳奇。當(dāng)惲之瑋告訴我，他在北大圖書(shū)館里，經(jīng)常通過(guò)閱讀書(shū)架上書(shū)的書(shū)名和目錄，了解數(shù)學(xué)前沿的時(shí)候，我意識(shí)到，這種高度抽象的閱讀方式可能在那時(shí)就已經(jīng)形成了。如果說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)定義可以展開(kāi)為一本書(shū)，我想象，每一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)家腦中，都有一個(gè)虛擬圖書(shū)館，他們的大腦像一個(gè)圖書(shū)管理系統(tǒng)一樣，通過(guò)書(shū)名調(diào)度每本書(shū)，并按不同的分類(lèi)法，將這些書(shū)在自己腦中組合排列。當(dāng)許晨陽(yáng)告訴我，他和惲之瑋的研究已經(jīng)相距甚遠(yuǎn)，但他還是會(huì)去聽(tīng)惲之瑋的講座時(shí)，我想，這對(duì)他來(lái)講，就是去翻閱另一個(gè)圖書(shū)館的館藏目錄吧。

即使已如此抽象，但在討論課上，講的人也不可能把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都過(guò)一遍，張偉告訴我，這個(gè)量太大。因此，講的人只能選一個(gè)關(guān)心點(diǎn)，而如果大家關(guān)心的點(diǎn)共同性比較強(qiáng)，那就可能相互對(duì)話了。他們之間幾乎80%到100%都是共同點(diǎn)，這非常奇妙。這讓他們能順暢地溝通和相互理解。

到了2009年，這幫同學(xué)都陸續(xù)集聚到了波士頓，這樣的討論形式也延續(xù)了下來(lái)。波士頓作為數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)重鎮(zhèn)，聚集了涵蓋數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的專(zhuān)家，研究氛圍極其活躍。張偉說(shuō)，回想起來(lái)，波士頓最吸引他的一點(diǎn)是，這里在任何時(shí)刻都有一大批來(lái)自世界各地的活躍學(xué)者，不一定是成名已久的大學(xué)問(wèn)家。這批流動(dòng)的人員帶來(lái)新鮮的思想，互相啟發(fā)。許晨陽(yáng)、袁新意、惲之瑋、朱歆文和張偉，在取得博士學(xué)位之后都先后來(lái)到這里，他們是那幾年在波士頓的許多年輕學(xué)者的一部分。

剛到波士頓的第一年，袁新意、許晨陽(yáng)和張偉一起在薩默維爾租了一個(gè)三居室，地點(diǎn)距離哈佛和麻省理工差不多一樣，朱歆文則住在劍橋。張偉和袁新意各買(mǎi)了一輛自行車(chē)，每天騎車(chē)從薩默維爾穿過(guò)畢肯，再到哈佛科學(xué)中心的同一間辦公室。這條路上有一棟看上去有些破舊的樓房，騎了很多次，發(fā)現(xiàn)竟然是美國(guó)科學(xué)與藝術(shù)學(xué)院的所在地。袁新意買(mǎi)了一輛很炫的自行車(chē)，沒(méi)多久就被偷走了，張偉的自行車(chē)幸存了一年之后，也被偷走了。

一年之后，袁新意離開(kāi)波士頓，惲之瑋則從高等研究院來(lái)到麻省理工。張偉搬到劍橋，住在與朱歆文相鄰的樓，而許晨陽(yáng)則和惲之瑋合租了一個(gè)兩居室。秋季學(xué)期，張偉教了一門(mén)跡公式的課，每次課后，他、朱歆文，以及另外幾位旁聽(tīng)的訪問(wèn)學(xué)者，會(huì)一起去吃午飯。他們開(kāi)始回憶起，在北大食堂吃飯時(shí)，中午經(jīng)常很擁擠，需要端著買(mǎi)來(lái)的飯菜等座位，那時(shí)他倆還暗自想，“要等我倆座的這位運(yùn)氣實(shí)在不大好”。再一年之后，張偉和許晨陽(yáng)離開(kāi)波士頓，張偉去了哥倫比亞，許晨陽(yáng)去了猶他。朱歆文和惲之瑋還有一年才離開(kāi)，朱歆文先后去了西北大學(xué)和香港科大，惲之瑋去了斯坦福。張偉和許晨陽(yáng)離開(kāi)的那個(gè)夏天，他們?nèi)チ艘患也宛^慶祝。服務(wù)員為張偉和許晨陽(yáng)自動(dòng)倒上了酒，朱歆文和惲之瑋等了一會(huì)兒，忍不住請(qǐng)服務(wù)員為他們也倒上。服務(wù)員要求查看他們的身份證，因?yàn)樗麄兛雌饋?lái)還不到喝酒的年齡。

他們的生活有了更多的交集。他們之間長(zhǎng)期以來(lái)形成的友誼，讓他們能夠自由交流思想。如果說(shuō)在北大的時(shí)候，他們因?yàn)楹茈y跟其他人討論數(shù)學(xué)問(wèn)題而結(jié)成了一個(gè)共同體，那么現(xiàn)在，他們?cè)跀?shù)學(xué)世界里，因?yàn)橄嗷ブ?，又恰好是有?lián)系的不同方向，彼此互補(bǔ)，這讓他們能夠自由討論問(wèn)題。惲之瑋告訴我，他們?cè)谝黄稹笆菦](méi)有壓力的討論”，而跟其他同行討論，“怕自己的想法不夠好，也怕自己不夠成熟的想法被別人拿去，多少有一些競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系”。他們從大學(xué)在一起就無(wú)話不談，“沒(méi)有什么保留，也不會(huì)因?yàn)樽约翰恢朗裁淳筒缓靡馑肌?。惲之瑋說(shuō)，即使是一個(gè)教授，也可能會(huì)有一個(gè)基本的概念沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)，在其他同行面前可能會(huì)不好意思承認(rèn)這一點(diǎn)，“但我們之間沒(méi)有這種不好意思，完全可以直接說(shuō)‘這個(gè)我不懂，‘這個(gè)怎么定義的？”。

在這幾年里，他們有了許多交流。2011年，在一次交談中，惲之瑋告訴張偉，他有了一些想法，但因?yàn)椤叭狈?shù)論的眼光”，還不能精確地描述，張偉也不肯定是否是對(duì)的。三年后，在伯克利，張偉突然意識(shí)到，惲之瑋那時(shí)的直覺(jué)是對(duì)的，他精確定義了惲之瑋的猜想。

2011年，許晨陽(yáng)在德國(guó)上沃爾法赫小鎮(zhèn)遇到在普度大學(xué)的李馳，發(fā)現(xiàn)李馳的微分幾何工具，可以用來(lái)解決許晨陽(yáng)的代數(shù)幾何問(wèn)題。那一次他們用代數(shù)幾何中的“極小模型綱領(lǐng)”解決了田剛在1997年提出的“K-穩(wěn)定性猜想”。2014年，也是在伯克利的一次學(xué)期活動(dòng)上，劉若川和朱歆文之間的研究有了一些交集，前者的數(shù)論工具可以解決后者的表示論問(wèn)題。劉若川發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)時(shí)候離東海岸數(shù)學(xué)中心熱點(diǎn)和潮流較遠(yuǎn)的朱歆文，是位類(lèi)型不多見(jiàn)、可以縱覽全局的數(shù)學(xué)家，如同有“吸星大法”，很快就能吸收別人很長(zhǎng)時(shí)間的技術(shù)積累。

分岔的小徑

2014年在袁新意家發(fā)生的那個(gè)時(shí)刻里，袁新意扮演著盡地主之誼的主人角色，在數(shù)學(xué)問(wèn)題討論的話語(yǔ)中卻始終不在場(chǎng)。張偉曾邀請(qǐng)?jiān)乱?，三個(gè)人一起合作。對(duì)他的缺席，惲之瑋說(shuō)：“一開(kāi)始袁新意本來(lái)要和我們一起寫(xiě)這篇文章，但他因?yàn)橐銎渌麊?wèn)題，就退出了。”

最初張壽武、張偉和袁新意從L函數(shù)出發(fā)，一起做格羅斯-扎基亞公式，初衷是打開(kāi)通往BSD猜想的路徑。但在做這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，袁新意對(duì)這條路徑有了些不同的想法。如果說(shuō)BSD猜想猜的是1米=3尺，從格羅斯-扎基亞公式出發(fā)，包括張偉在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們一步步開(kāi)山辟路的工作，走到了把它轉(zhuǎn)化為證明1米=3.28英尺。這是一個(gè)很重要的轉(zhuǎn)化。1米相當(dāng)于BSD猜想等式的左邊，但等式的右邊，尺與英尺如何之間換算，還不知道。但它構(gòu)造了一個(gè)繞路，可以通過(guò)證明3尺=3.28英尺，來(lái)證明1米=3尺。這條繞路里，3尺本來(lái)含有一個(gè)與1米相等的條件假設(shè)，在證明1米=3.28英尺的過(guò)程中，用到了3尺中含的這個(gè)假設(shè)，也就是說(shuō)1米=3.28英尺是一個(gè)有假設(shè)條件的結(jié)果。但如果能夠證明3.28英尺=3尺，就能夠自動(dòng)證明假設(shè)成立。

但在這里，有一條分叉的小路：通過(guò)直接證明假設(shè)，也可以最終得證。那么證明假設(shè)更可能，還是證明等式的右邊更有可能？這就像在沒(méi)有標(biāo)識(shí)過(guò)的岔路口，僅能憑直覺(jué)判斷。2008年到2009年，當(dāng)張偉和惲之瑋在哥倫比亞大學(xué)張壽武組織的非正式研討會(huì)上發(fā)現(xiàn)了彼此研究的互補(bǔ)時(shí)，袁新意也繼續(xù)在做格羅斯-扎基亞公式，和另一個(gè)領(lǐng)域——阿萊克勒夫（Arakelov）幾何的一些問(wèn)題。但隨著時(shí)間推移，他有了一些不同的判斷。

加州理工學(xué)院的校園內(nèi)

2012年，袁新意搬到伯克利，生活發(fā)生了一些變故。雖然外部看起來(lái)運(yùn)轉(zhuǎn)如常，事實(shí)上，日常里不足為人道的煩擾，深潛于生活的表層之下，不易察覺(jué)，改變著無(wú)數(shù)毛細(xì)血管般細(xì)小的時(shí)刻上所做的選擇與方向。2014年張偉和惲之瑋在袁新意家討論時(shí)，袁新意說(shuō)他想去做其他問(wèn)題。那時(shí)他經(jīng)歷了一段時(shí)間的低潮，婚姻變故后，他一邊上課、做研究，一邊獨(dú)自照顧年幼的兒子，被生活纏繞。他說(shuō)，那時(shí)他對(duì)一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題想不進(jìn)去，而需要找到一個(gè)具有英雄主義氣質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，來(lái)吸引他的注意力。

他與數(shù)學(xué)世界的關(guān)系若即若離了一段時(shí)間。從中學(xué)時(shí)代親近數(shù)學(xué)開(kāi)始，美國(guó)是數(shù)學(xué)世界的中心這個(gè)觀念就不知不覺(jué)植入了他腦中，成為順理成章的目的地。他幾乎是急不可耐地來(lái)到這里。然而，生活的意外侵入既定的軌道，美國(guó)對(duì)他來(lái)講有了新的意義——這個(gè)數(shù)學(xué)家的棲居地，開(kāi)始變成人生的異鄉(xiāng)。在象牙塔里，幸運(yùn)的人可以一路順著理性之光向高處與深處探索漫溯;但生活不可捉摸的偶然性，會(huì)向人突然呈現(xiàn)出另一重空間里自我投射出的未曾被察覺(jué)的軌跡。那條軌跡只有在與數(shù)學(xué)之路發(fā)生牽扯與相悖的張力時(shí)，才清晰揭示出它自身的意義。前兩年，父母接連病倒，牽引他去留美國(guó)的力量再一次超出了數(shù)學(xué)世界的維度，生活的選擇差點(diǎn)試圖將他帶離數(shù)學(xué)的中心。在他失眠的時(shí)候，他就思考獨(dú)辟蹊徑的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題吸附了他的專(zhuān)注力，即使想不出來(lái)，心情也可以平靜下來(lái)。

加州理工學(xué)院的校園內(nèi)

張偉有時(shí)會(huì)告訴袁新意，做學(xué)問(wèn)要順勢(shì)而為，有什么工具就解決什么問(wèn)題，在“欲出”時(shí)“呼出來(lái)”。袁新意很贊同張偉，理智也告訴他該這么做，然而，這違背了他的本性。當(dāng)初他義無(wú)反顧選擇數(shù)學(xué)，正是基于他“從不做兩手準(zhǔn)備，走不下去再走別的路”的人生哲學(xué)。比如，他發(fā)現(xiàn)一位前輩數(shù)學(xué)家多年來(lái)時(shí)不時(shí)地持續(xù)關(guān)注過(guò)一個(gè)更難的問(wèn)題，但那位前輩做出的許多出色結(jié)果都不在這個(gè)問(wèn)題上;袁新意覺(jué)得自己無(wú)法這樣選擇。對(duì)另一些數(shù)學(xué)家而言，數(shù)學(xué)的極致樂(lè)趣甚至可以令他們拋開(kāi)生活中的責(zé)任，但袁新意也不做這樣的選擇。他在等待不僅是數(shù)學(xué)，也是生活所給予的啟示?；貞浧鸬讲死笞钚腋５臅r(shí)刻，袁新意說(shuō)，是看到孩子可以與新的家庭融洽相處，“感動(dòng)涌上心頭”。

那天我與袁新意從餐廳走出來(lái)，收款臺(tái)上方的電視機(jī)正播放金州勇士隊(duì)對(duì)火箭隊(duì)的NBA常規(guī)籃球賽，他駐足看了一小會(huì)兒。他說(shuō)，2012年他曾經(jīng)買(mǎi)過(guò)一張票，準(zhǔn)備去看金州勇士隊(duì)的比賽。恰逢一位臺(tái)灣學(xué)者來(lái)伯克利訪問(wèn)，也很喜歡NBA，他就把票送給了對(duì)方。他心想自己就住在加州，以后還有很多看球賽的機(jī)會(huì)。沒(méi)想到2012年那一年，過(guò)去經(jīng)常勝少負(fù)多的金州勇士隊(duì)扭轉(zhuǎn)了這一局面，之后就一飛沖天，連連大勝，一躍成為全美籃球隊(duì)的明星。他發(fā)現(xiàn)自己再也買(mǎi)不起球賽的票了，夠得上的票都是“根本分不清誰(shuí)是誰(shuí)”的最外場(chǎng)。說(shuō)到這兒，他以慣常的樂(lè)觀對(duì)這無(wú)常付之一笑。

無(wú)常與偶然

2009年12月中旬，北大數(shù)學(xué)系的這幫同學(xué)在哈佛大學(xué)舉行的小范圍討論班上再次相聚，討論格羅滕迪克-卡茲猜想。未曾想到，相聚有時(shí)也蘊(yùn)藏著離別。

那一次，陳琳也從紐約來(lái)到波士頓。他從加州洛杉磯分校博士畢業(yè)后，在紐約州立大學(xué)石溪分校做博士后。幾個(gè)人聚在一起，他聊了很多偏數(shù)論的東西。在北大的時(shí)候，陳琳是從物理系轉(zhuǎn)到00級(jí)數(shù)學(xué)系班上來(lái)的，他對(duì)數(shù)學(xué)一直很感興趣。惲之瑋回憶，他們熟悉起來(lái)，是在大三以后了，“他同時(shí)是我所在的代數(shù)討論班和我完全不懂的弦討論班的積極參與者”。在惲之瑋的記憶里，陳琳說(shuō)話“總是帶著自然的微笑”，他們經(jīng)常在一起“發(fā)發(fā)牢騷，縱論天下”。2004年來(lái)到美國(guó)后，惲之瑋和他偶爾通過(guò)電子郵件互問(wèn)信息，陳琳同時(shí)跟隨劉克峰教授和肥田晴三教授從事幾何和數(shù)論兩個(gè)完全不同領(lǐng)域的研究。最初，他告訴惲之瑋他想同時(shí)跟兩個(gè)導(dǎo)師做不同方向的東西時(shí)，惲之瑋半信半疑，“后來(lái)他竟在兩個(gè)方向都寫(xiě)出了艱深的文章，我才完全信服”。在北大時(shí)，張偉與他已是一見(jiàn)如故。陳琳也是個(gè)多才多藝興趣廣泛的人，有很多有趣的想法，來(lái)美國(guó)以后，他倆每次見(jiàn)面總得長(zhǎng)談許久。

那次小范圍討論班休息的時(shí)候，每天晚上，陳琳、惲之瑋和肖梁都要去張偉、袁新意和許晨陽(yáng)在波士頓三人合租的三居室住處，大戰(zhàn)幾回合Wii里面的虛擬網(wǎng)球游戲，擠住在一起。星期一的晚上，他們?cè)谝黄鸫蚱古仪?。臨睡前，他們還聊到了卡夫卡。惲之瑋說(shuō)，他看過(guò)《變形記》，但不知道它究竟要表達(dá)什么意思。陳琳回答說(shuō)：“假如你是一個(gè)家庭的頂梁柱，突然之間病垮了，你就成了家庭的累贅;直到最后死了，對(duì)你的親人們而言才算是個(gè)解脫?！泵總€(gè)人都以為，那不過(guò)是又一次尋常的相聚。2009年初，他們這些職業(yè)數(shù)學(xué)家都找到了理想的博士后工作。夏天，陳琳還開(kāi)著那輛令他們艷羨的二手寶馬，橫穿美國(guó)，從洛杉磯開(kāi)到紐約長(zhǎng)島。經(jīng)過(guò)普林斯頓時(shí)，他到高等研究院找朋友玩，碰巧在例行的茶點(diǎn)時(shí)間認(rèn)出了惲之瑋。一聲熟悉的“老惲”，“我轉(zhuǎn)過(guò)頭去，看到了久違了的卻又能一眼認(rèn)出來(lái)的形象”。就在不久前的11月份，惲之瑋應(yīng)邀到紐約州立石溪做討論班報(bào)告，陳琳去火車(chē)站接他，他們一起吃了幾頓飯，聊了不少數(shù)學(xué)。

那次聚會(huì)臨別，陳琳告訴張偉，波士頓的鬼天氣太冷，接下來(lái)幾天要暫時(shí)放下數(shù)學(xué)問(wèn)題，和朋友去溫暖的地方放松一下。張偉和他一起去過(guò)拉斯維加斯，“他常常旅行，我知道，不論郊游還是遠(yuǎn)足，他都有豐富的經(jīng)驗(yàn)”。聽(tīng)起來(lái)，這只是他再平常不過(guò)的一次旅行罷了。陳琳和袁新意一起從波士頓回紐約，那時(shí)袁新意每周要回新澤西的家中。袁新意邀請(qǐng)他圣誕去家中聚聚，陳琳告訴他，他馬上要?jiǎng)由砣ゲǘ嗬韪鳌?/p>

幾天之后的一個(gè)下午，他們所有人都陸續(xù)接到了用他的手機(jī)打來(lái)的電話，與他隨行的朋友到處尋找他父母的聯(lián)系方式。他們才知道，陳琳潛水出了事，人已經(jīng)不在。張偉說(shuō)：“這算是我這輩子接到的最悲傷的一個(gè)電話吧。”之后的幾個(gè)月里，他完成了算術(shù)基本引理的文章，就把這篇文章獻(xiàn)給陳琳，表達(dá)自己的哀思。

陳琳的死訊讓所有人都陷入悲傷中。惲之瑋一向是個(gè)穩(wěn)沉和情感深藏不露的人，但那一刻，情緒統(tǒng)攝了他。在那篇他寫(xiě)給陳琳的紀(jì)念文章里，他用少見(jiàn)的感性文字寫(xiě)道：“悲傷襲來(lái)，就像墨汁浸潤(rùn)畫(huà)布，最初是扎眼的黑點(diǎn)，爾后迅速蔓延，浸透我的身心。陳琳，你的朋友們正如虔誠(chéng)的納美人一樣，舞動(dòng)雙臂，為你招魂?！彼f(shuō)，那天晚上他再也無(wú)法思考數(shù)學(xué)。從數(shù)學(xué)選擇了惲之瑋開(kāi)始，他從來(lái)沒(méi)有懷疑過(guò)數(shù)學(xué)的意義，他一直認(rèn)為數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造是他人生最大的意義所在。那次討論班結(jié)束的時(shí)候，惲之瑋還建議陳琳去查一篇文章，或許對(duì)他有用?！翱墒乾F(xiàn)在，有用沒(méi)用，又有什么意義呢？”在面對(duì)生離死別時(shí)，惲之瑋突然在某個(gè)瞬間懷疑，在人作為一個(gè)人的需求面前，自己所做的數(shù)學(xué)是不是微不足道？但最終他仍然寄哀思于，在欣賞到數(shù)學(xué)世界的風(fēng)景時(shí)，陳琳也能感應(yīng)與分享。

陳琳的去世，與所有人的人生都突然產(chǎn)生了一個(gè)意義的交集，這無(wú)常超乎理性統(tǒng)攝的數(shù)學(xué)世界。數(shù)學(xué)是絕對(duì)的，但生活時(shí)常呈現(xiàn)不可預(yù)料的偶然性。

張偉因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，小學(xué)快畢業(yè)時(shí)給成都七中的校長(zhǎng)寫(xiě)了一封信。他心想多半也收不到，沒(méi)想到校長(zhǎng)卻回了信，歡迎他去七中讀書(shū)。他告訴我，這是他父親出的主意。那時(shí)他身邊的小孩都要干農(nóng)活，他父母也要干這些，但他不僅積極讓他從村小學(xué)轉(zhuǎn)入鄉(xiāng)小學(xué)，而且堅(jiān)決要讓他去千里外的成都參加數(shù)學(xué)夏令營(yíng)，又鼓勵(lì)他給成都七中寫(xiě)信。張偉一直是一個(gè)慣性很強(qiáng)的人，對(duì)這每一步都不是很積極，但他的父親有一種非凡的膽魄。他說(shuō)，在膽魄方面，他不及自己的父親。而那封信放到一位名校校長(zhǎng)的辦公桌上，被校長(zhǎng)閱讀，并回復(fù)，回復(fù)的內(nèi)容是“歡迎”的概率，在今天幾乎為零。

袁新意也一樣。他初中升高中時(shí)，因?yàn)閿?shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)從麻城保送黃岡中學(xué)。他比較偏科，語(yǔ)文和英語(yǔ)都比較差，初到大學(xué)時(shí)普通話說(shuō)得不好，同學(xué)跟他說(shuō)話一半都聽(tīng)不懂。他說(shuō)，如果沒(méi)有競(jìng)賽和保送，他可能進(jìn)不了北大，更有可能是去武大或華中理工的數(shù)學(xué)系。而在這個(gè)奧賽競(jìng)賽軌道里，如果不是因?yàn)樗『貌恍枰饬秃芨信d趣，經(jīng)過(guò)那一套培訓(xùn)體系，可能對(duì)數(shù)學(xué)已經(jīng)感到厭倦。

惲之瑋告訴我，他在高一進(jìn)入冬令營(yíng)其實(shí)有很多周折，只是他當(dāng)時(shí)一無(wú)所知。那一次冬令營(yíng)選拔賽，有一道分?jǐn)?shù)很重的大題，他一直以為自己做出來(lái)了。他的高中數(shù)學(xué)老師讓他把那道題的答案原原本本寫(xiě)下來(lái)，讀了一遍覺(jué)得沒(méi)有問(wèn)題，雖然和標(biāo)準(zhǔn)答案很不一樣，但應(yīng)該是滿分的證明。多年后他才知道，那道題判卷時(shí)沒(méi)有給他分，是他的高中老師通過(guò)閱卷和省里管競(jìng)賽的老師申訴要來(lái)的。中間經(jīng)過(guò)很多周折，還從大學(xué)請(qǐng)來(lái)教授判卷，才要來(lái)了分?jǐn)?shù)。他順利進(jìn)了冬令營(yíng)，代表江蘇省參加全國(guó)聯(lián)賽。如果那一年他沒(méi)有進(jìn)入冬令營(yíng)，他可以高二時(shí)再參加，但他就不會(huì)高二提前保送北大，也就不會(huì)進(jìn)入00級(jí)數(shù)學(xué)系。如果他進(jìn)入01級(jí)，他可能還會(huì)與朱歆文、許晨陽(yáng)和劉若川他們結(jié)成數(shù)學(xué)共同體，像01級(jí)肖梁那樣。但如果不是因?yàn)樗蛷垈ネ?jí)，他們還會(huì)在2008年至2009年的哥倫比亞大學(xué)，因?yàn)楸舜怂伎嫉臇|西正好處于那個(gè)契合的階段，因各自腦海中的問(wèn)題相互映照而產(chǎn)生研究上的交集嗎？

2009年，朱歆文的父親生病，他也曾短暫考慮過(guò)回國(guó)。如果不是因?yàn)楦赣H身體的好轉(zhuǎn)，“并不關(guān)心美國(guó)人想什么”，在美國(guó)過(guò)著中式生活的他，會(huì)去加州理工嗎？我問(wèn)他，外部世界有沒(méi)有讓他動(dòng)搖過(guò)做數(shù)學(xué)家的想法。他說(shuō)，如果當(dāng)年遇到一個(gè)特別懂計(jì)算機(jī)的人給他講計(jì)算機(jī)是什么樣的，或者遇到一個(gè)懂金融的人把金融描繪得很有趣，“我也不知道當(dāng)時(shí)我會(huì)做出什么樣的選擇”。一個(gè)個(gè)偶然性成就了他們，也險(xiǎn)些把他們拉離這條軌道，這些偶然性讓天賦的實(shí)現(xiàn)和交匯變成一個(gè)撲朔迷離的概率事件。

許晨陽(yáng)告訴我，他的一篇論文寫(xiě)出來(lái)，可能有兩位數(shù)的讀者，但真正讀得很懂的人也就不超過(guò)20個(gè)，而且這20個(gè)人還大部分是他認(rèn)識(shí)的人。于是我問(wèn)他，當(dāng)代數(shù)學(xué)的意義是什么？他桌上的文件堆里有一本書(shū)，阿爾布雷希特·弗爾希的《愛(ài)因斯坦傳》，也許他還沒(méi)來(lái)得及讀，也許已經(jīng)讀過(guò)了，但他一定通過(guò)愛(ài)因斯坦思考過(guò)這個(gè)關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)意義的問(wèn)題。他回答說(shuō)，當(dāng)愛(ài)因斯坦最開(kāi)始提出相對(duì)論時(shí)，全世界只有幾個(gè)人聽(tīng)得懂和贊同，不懂的公眾會(huì)覺(jué)得相對(duì)論并沒(méi)有什么意義。愛(ài)因斯坦在發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論時(shí)，用到了黎曼幾何，而黎曼幾何提出來(lái)的時(shí)候，大多數(shù)人都不能理解?；剡^(guò)頭去看，愛(ài)因斯坦所生活的時(shí)代，物理學(xué)界有那么多文章，但只有幾篇引起了愛(ài)因斯坦的想法，而那幾篇文章卻早已沒(méi)人看了。但這就是搭建科學(xué)和知識(shí)大廈必經(jīng)的一個(gè)過(guò)程。每個(gè)一流天賦的人都在這座大廈上添了一點(diǎn)磚，但至于哪塊磚能夠讓一位曠世天才改變現(xiàn)實(shí)世界，那將是偶然中的偶然。

吳軍：數(shù)學(xué)，為人生之題解出漂亮的答案

如果用當(dāng)下比較流行的說(shuō)法來(lái)概括吳軍的身份，他便是會(huì)攝影、會(huì)寫(xiě)作的計(jì)算機(jī)科學(xué)家中最?lèi)?ài)發(fā)微博的投資人——幾乎很難用一句話涵蓋“吳軍博士”（吳軍的微博昵稱(chēng)）會(huì)做什么、想做什么、在做什么。更不用提他履歷上諸多煊赫的標(biāo)簽，譬如“清華”“約翰·霍普金斯”“谷歌”“騰訊”“硅谷風(fēng)投”以及“文津圖書(shū)獎(jiǎng)”……其實(shí)跨界本身并不稀奇，但是像吳軍一樣跨界并在每一界中都取得成功，才會(huì)引來(lái)眾人的注意力與好奇心。

不過(guò)擁有多重炫目身份的吳博士卻常常公開(kāi)表示：成功“跨界”的要義并不在于多與快，而是在于精，在于經(jīng)過(guò)觀察與思考后看到每個(gè)行業(yè)的本質(zhì)。至于本質(zhì)如何抵達(dá)，則需要工作中果斷拋開(kāi)細(xì)枝末節(jié)的魄力、在新行業(yè)中迅速搭建知識(shí)架構(gòu)的能力。

誠(chéng)然，吳博士對(duì)新技術(shù)與新趨勢(shì)的敏銳一定不僅僅來(lái)源于他的老本行：計(jì)算機(jī)科學(xué)。但是專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)與鉆研對(duì)他行動(dòng)和思考的影響，一定是毋庸置疑的。當(dāng)然，數(shù)學(xué)對(duì)他的教益更不能不提。在著作《數(shù)學(xué)之美》中，吳軍曾對(duì)數(shù)學(xué)的魅力和實(shí)用性大加贊美。于他而言，數(shù)學(xué)不但是“解決信息檢索和自然語(yǔ)言處理的最好工具”，還能“非常清晰地描述這些領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題并且給出漂亮的解決辦法”。

或許沒(méi)有誰(shuí)會(huì)否認(rèn)，在我們?nèi)缃袼幍男畔r(shí)代，懂?dāng)?shù)學(xué)、懂計(jì)算機(jī)科學(xué)幾乎是行走于時(shí)代前沿必備的核心技能?！八惴ā迸c“邏輯”不但是時(shí)代先行者們看待世界所用的濾鏡，更是創(chuàng)新能力的源泉。

借用吳軍自己的話來(lái)講：“你最終能走多遠(yuǎn)，取決于見(jiàn)識(shí)。”至于見(jiàn)識(shí)到底怎樣獲得，對(duì)數(shù)學(xué)的理解、對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的掌握究竟如何指導(dǎo)見(jiàn)識(shí)的積累，就只有吳博士本人才能一一道來(lái)了。

您是如何理解數(shù)學(xué)的？在工作與事業(yè)中，對(duì)數(shù)學(xué)的理解與掌握扮演了怎樣的角色？

數(shù)學(xué)是各種科學(xué)的基礎(chǔ)（不僅僅是自然科學(xué)，甚至包含社會(huì)科學(xué)，比如說(shuō)歷史的研究方法就和數(shù)學(xué)有一定的相似性……）。對(duì)科學(xué)家們來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)可以說(shuō)是進(jìn)行研究所使用的一種工具，例如人工智能從本質(zhì)上來(lái)講就是數(shù)學(xué)模型。對(duì)大眾來(lái)講，生活中似乎用不上那么多數(shù)學(xué)——但是我們還是要學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)椤?/p>

您怎樣評(píng)價(jià)當(dāng)今的高等數(shù)學(xué)教育？在對(duì)專(zhuān)業(yè)計(jì)算機(jī)人才的教育與培訓(xùn)中，您覺(jué)得我們現(xiàn)階段面臨著什么挑戰(zhàn)？

一個(gè)問(wèn)題是大家進(jìn)大學(xué)以后學(xué)的難度一樣，哪怕是優(yōu)秀的學(xué)校，學(xué)生們的水平也會(huì)有所不同，我認(rèn)為應(yīng)該在選課上把這些差別體現(xiàn)出來(lái)。至于今天中國(guó)計(jì)算機(jī)教學(xué)最大的問(wèn)題，坦率來(lái)講是作業(yè)量不夠……

有什么關(guān)于數(shù)學(xué)/邏輯/思考的經(jīng)典書(shū)籍比較適合大眾閱讀？

《從一到無(wú)窮大》《時(shí)間簡(jiǎn)史》與《給世界的答案》。