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      微專題之數(shù)列分類偶討論試題研究

      2018-03-26 08:02:48趙軍
      魅力中國 2018年31期
      關(guān)鍵詞:奇數(shù)偶數(shù)通項

      趙軍

      高考背景:(2014·高考課標全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an }的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,

      anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).

      (1)證明:an+2-an=λ;

      (2)是否存在λ,使得{an }為等差數(shù)列?并說明理由.

      [解] (1)證明:由題設知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1,

      由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

      (2)由題設知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

      由(1)知,a3=λ+1.

      令2a2=a1+a3,解得λ=4.

      故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;

      {a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.

      所以an=2n-1,an+1-an=2,

      因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

      小結(jié):

      (1)判斷等差數(shù)列的解答題,常用定義法和等差中項法,而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷.

      (2)用定義證明等差數(shù)列時,常采用兩個式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2”,否則n=1時,a0無定義.

      (3)第二問分奇偶討論,達到同一性。

      通過該試題,可見全國卷比較喜歡考查學生分類討論的數(shù)學思想,而數(shù)列這章的知識通常會考查n分奇偶來討論問題,很多學生對此會感覺較為困難,沒有方向,本文就通過一些有代表性的習題來探索一下這類問題的規(guī)律。

      1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S19=( )

      A.10 B.9

      C.17 D.16

      解析:選A.S19=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17—18+19=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)+(—18+19)=1+1+1+…+1=10.

      思考:還可改編成求Sn的解答題

      必須討論n的奇偶性,否則難以順利解答!

      當n為偶數(shù),Sn=—,當n為奇數(shù),

      所以,

      2.在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,則S60的值為( )

      A.990 B.1 000

      C.1 100 D.99

      解析:選A.n為奇數(shù)時,an+2-an=0,an=2;n為偶數(shù)時,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.

      3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2 017=( )

      A.22 017-1 B.21 010-3

      C.3·21 009-1 D.3·21 009-2

      解析:選B.

      所以.所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列;a2,a4,a6,…成等比數(shù)列,

      所以S2 017=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 015+a2 016+a2 017=(a1+a3+a5+…+a2 015+a2 017)+(a2+a4+a6+…+a2 016)==21 010-3.故選B.

      4.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos(n+1)π,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 017=________.

      解析:因為an+1+(-1)nan=cos(n+1)π=(-1)n+1,所以當n=2k,k∈N*時,a2k+1+a2k=-1,所以S2 017=a1+(a2+a3)+…+(a2 014+a2 015)+ (a2 016+a2 017)=1+(-1)×1 008=-1 007.

      答案:-1 007,(隨著時間的改變,該題可以相應改變)

      5.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),數(shù)列{a2n-1}是首項為1的等差數(shù)列,數(shù)列{a2n}是首項為2的等比數(shù)列,且滿足S3=a4,a3+a5=a4+2.

      (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)求S2n.

      解 (1)設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,

      則a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,

      所以解得d=2,q=3.

      所以an=(k∈N*).

      (2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)

      =(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)

      6.若數(shù)列{bn}對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列,如數(shù)列{cn},若則數(shù)列{cn}是公差為8的準等差數(shù)列.設數(shù)列{an}滿足a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.

      (1)求證:{an}為準等差數(shù)列;

      (2)求{an}的通項公式及前40項和S40.

      [解] (1)證明:因為an+1+an=2n, ①

      所以an+2+an+1=2n+2. ②

      由②-①得an+2-an=2(n∈N*),

      所以{an}是公差為2的準等差數(shù)列.

      (2)已知a1=a,an+1+an=2n(n∈N*),

      所以a1+a2=2,即a2=2-a.

      所以由(1)可知a1,a3,a5,…,成以a為首項,2為公差的等差數(shù)列,a2,a4,a6,…,成以2-a為首項,2為公差的等差數(shù)列.

      所以當n為偶數(shù)時,

      當n為奇數(shù)時,

      S40=a1+a2+…+a39+a40

      =(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a39+a40)

      =2×1+2×3+…+2×39=2×=800

      7.(2014·高考山東卷)在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項.

      (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)設bn=,記Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.

      解:(1)由題意知(a1+d)2=a1(a1+3d),

      即(a1+2)2=a1(a1+6),

      解得a1=2,

      所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.

      (2)由題意知

      所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).

      因為bn+1-bn=2(n+1),

      可得當n為偶數(shù)時,

      Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)

      當n為奇數(shù)時,

      小結(jié):數(shù)列問題是高頻考點中的高頻,歷年來是命題專家命題的熱點,每年的考題都是在以基礎知識為起點上的推陳出新,似有歲歲年年花相似、年年歲歲題不同之感,然而始終會是以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體考查數(shù)學思想和方法,重點是函數(shù)與方程及分類討論,本文就分類討論這一方向做了歸納和探索。常見的題型有這兩個考察方向:

      1.出數(shù)列的前n項的和Sn ,求它的通項公式時,忽略了n=1的情形;

      2.求等比數(shù)列的前n項和Sn,,忽略對公比q=1及q≠1進行分類討論;證明等比數(shù)列時,忽略證明an≠0;

      這類習題只要練習到位,一般是沒問題的,但本文選的試題對于大部分學生而言是有一定的難度的,老師必須要引導學生分析其規(guī)律,很好的體會這樣操作的目的,并加以強化才能得到很好的突破。

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