董正方， 朱紅云， 閆 超， 鄭 彬

(1.河南大學(xué) 巖土與軌道交通工程研究所，河南 開(kāi)封 475004；2.河南大學(xué) 循環(huán)與功能建材實(shí)驗(yàn)室，河南 開(kāi)封 475004)

一般情況下從震源到人工結(jié)構(gòu)所在位置的距離從幾公里到幾百公里，由于區(qū)域范圍過(guò)大、地球介質(zhì)和工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜，進(jìn)行包括斷層和工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析和計(jì)算基本是不可能的。一般是取出一個(gè)有限域進(jìn)行分析和計(jì)算，該有限域的邊界稱(chēng)為虛擬計(jì)算邊界。有限元建模時(shí)，必須對(duì)虛擬邊界進(jìn)行力學(xué)上的處理，以使得在虛擬邊界上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與原半無(wú)限空間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致。這方面的研究工作很多，其中力學(xué)上易于理解、有限元計(jì)算易于實(shí)現(xiàn)、并且表明具有足夠工程計(jì)算精度的做法是設(shè)置黏彈性邊界力學(xué)元件。

Lysmer等[1-2]開(kāi)展了較早的研究工作，劉晶波等[3-5]則完成了大量的卓有成效的工作，進(jìn)而使黏彈性邊界的理論得到了系統(tǒng)和全面的論述和實(shí)用化。雖然黏彈性邊界在計(jì)算精度上很高，并且目前使用也最廣[6-8]，但黏彈性邊界在使用過(guò)程中，假定外域介質(zhì)為均勻線彈性，并且在人工邊界處的有限元節(jié)點(diǎn)上需要設(shè)置一系列由線性彈簧與黏滯阻尼器并聯(lián)的彈簧-阻尼物理元件，所需要的計(jì)算工作量比較大并且比較繁瑣。

根據(jù)圣維南原理，只要虛擬計(jì)算邊界距離結(jié)構(gòu)物足夠遠(yuǎn)，則虛擬計(jì)算邊界處的具體情況對(duì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)影響就很小，而不必特別精確地處理。因此早期人工邊界就是將人工邊界的距離取得足夠遠(yuǎn)，在計(jì)算時(shí)間內(nèi)不包含邊界影響，即遠(yuǎn)置邊界。遠(yuǎn)置邊界至今還常用作其他邊界的校核。遠(yuǎn)置邊界操作簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，但側(cè)向邊界寬度越大，數(shù)值計(jì)算需要的時(shí)間也就越長(zhǎng)。遠(yuǎn)置邊界處的約束有三種情況：全部自由，全部約束，豎向約束、水平自由(也稱(chēng)簡(jiǎn)化邊界)，文獻(xiàn)[9]中認(rèn)為上述三種情況都具有足夠的可靠性，但需要的側(cè)向邊界寬度不同。對(duì)側(cè)向邊界寬度的取值還沒(méi)有解析解給出范圍，不同研究者對(duì)側(cè)向邊界寬度的認(rèn)識(shí)存在差異[10-11]。本文將討論平面地下結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化人工邊界側(cè)向邊界寬度的影響因素及其影響程度。

1 理論分析

從無(wú)限半平面中取出一有限部分，上部邊界取在地表，全部自由；下側(cè)假設(shè)剛性基巖，全部約束；側(cè)向邊界如果設(shè)置成黏彈性邊界，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

從式(1)可知，黏彈性邊界需要在邊界離散點(diǎn)上輸入應(yīng)力時(shí)程，工作量比較大；且黏彈性邊界應(yīng)用于非線

性問(wèn)題還有待研究。為了簡(jiǎn)化，側(cè)向邊界可取簡(jiǎn)化邊界，豎向約束、水平自由；基底垂直輸入剪切波作用，如圖1(a)所示，地震作用下相當(dāng)于遠(yuǎn)場(chǎng)側(cè)向邊界收到剪應(yīng)力的作用[12]。從平面模型中任取一個(gè)微元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖1(b)所示。中間任一微元體是純剪狀態(tài)，如果取在右側(cè)邊界處，則微元體右側(cè)存在一個(gè)豎向支座，其支座反力將等于剪應(yīng)力。如果側(cè)邊界取成全部約束或全部自由，則邊界處的應(yīng)力狀態(tài)將不符合自由場(chǎng)受剪切波作用下的應(yīng)力狀態(tài)，因此這種簡(jiǎn)化邊界比全部自由或約束要合理。

圖1 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of model

2 影響因素分析

地下結(jié)構(gòu)采用平面模型計(jì)算地震反應(yīng)時(shí)，對(duì)于側(cè)向邊界的寬度大小的影響因素有土體阻尼比、結(jié)構(gòu)尺度、地震波特性、土體非線性等，這些因素中哪些是主要因素、哪些是次要因素、各自的影響程度大小等問(wèn)題，不能從理論分析中得到解析解答，也不可能通過(guò)大量模型試驗(yàn)得到試驗(yàn)解答，只能通過(guò)數(shù)值模型分析解決，下面應(yīng)用大型有限元軟件ABAQUS進(jìn)行數(shù)值模擬，在分析土體阻尼比、結(jié)構(gòu)尺寸、地震波特性對(duì)側(cè)向邊界的寬度的影響程度時(shí)土體考慮為線性。

2.1 典型案例

為了反映分析結(jié)果的一般性，案例選用三種不同的土層，分別為均勻土層、一般厚度(25 m)成層土和深厚土層(64 m)成層土，土層和結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)圖2。

圖2 土層及地下結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.2 Soillayer and underground structure parameters

土體單元為四結(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元，結(jié)構(gòu)為梁?jiǎn)卧馏w網(wǎng)格根據(jù)模型大小變化，均勻土層和一般厚度土層網(wǎng)格大小一致，括號(hào)內(nèi)的為深厚土層，距結(jié)構(gòu)1 000(500) m范圍內(nèi)為1 m×1 m，4 000 m范圍內(nèi)為5 m×1 m，8 000 m范圍內(nèi)為10 m×1 m，在網(wǎng)格尺寸變化處采用不超過(guò)1.5倍的網(wǎng)格尺寸進(jìn)行過(guò)度，模型示意圖見(jiàn)圖1(a)。采用由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣線性組合的瑞利阻尼，假定基巖剛性，地震波從基巖面垂直入射，地震動(dòng)參數(shù)見(jiàn)圖3，進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。

圖3 地震動(dòng)參數(shù)Fig.3 Ground motion parameters

為了衡量計(jì)算精度，取土層中的三個(gè)點(diǎn)A、B、C的位移的誤差的平均值，位置見(jiàn)圖2，b為土層寬度，H為土層厚度，定義最大值誤差和均方誤差分別為

(2)

(3)

式中：r0(t)為基準(zhǔn)模型的反應(yīng)；r(t)為虛擬計(jì)算邊界位置不同時(shí)的反應(yīng)。

2.2 土體阻尼比

土體選用均勻土層、一般厚度成層土和深厚土層成層土，土層參數(shù)見(jiàn)圖2，結(jié)構(gòu)選用結(jié)構(gòu)(a)，改變不同的阻尼比，阻尼比分別為0%、5%和20%，取第二階和第四階振型頻率確定模型參數(shù)，兩階振型的阻尼比取值相同。側(cè)向邊界寬度(單側(cè))分別置于50 m、200 m、500 m、1 000 m、2 000 m、4 000 m和8 000 m處，相對(duì)誤差以8 000 m模型為基準(zhǔn)?；鶐r處地震波采用Elcentro波，地震動(dòng)參數(shù)見(jiàn)圖3，峰值加速度為0.2g。土層反應(yīng)位移誤差見(jiàn)圖4，結(jié)構(gòu)反應(yīng)內(nèi)力誤差見(jiàn)圖5。

圖4 土層反應(yīng)位移誤差圖Fig.4 Soil displacement errors

由圖 4位移誤差分析可得：①無(wú)阻尼時(shí)所需寬度較大，阻尼比由5%增大到20%，所需邊界寬度變化不明顯；②從最大值誤差看，對(duì)于5%阻尼比，即使是深厚土層成層土，取b/H=6，誤差在2.5%以下；③從均方誤差看，側(cè)向邊界寬度要求大，這主要是波形累積的影響。

由圖 5內(nèi)力誤差分析得：①對(duì)均勻土層最為明顯，無(wú)阻尼時(shí)所需寬度較大，阻尼比由5%增大到20%，所需邊界寬度變化不明顯；②對(duì)于5%阻尼比，誤差在1%以下時(shí)，均勻土層需要b/H=4，一般厚度成層土需要b/H=8，深厚土層成層土需要b/H=16。

圖5 結(jié)構(gòu)反應(yīng)內(nèi)力誤差圖Fig.5 Structural internal force errors

2.3 結(jié)構(gòu)尺度

為了研究結(jié)構(gòu)尺度對(duì)側(cè)向邊界寬度的影響，取長(zhǎng)50 m、寬30 m的結(jié)構(gòu)(a)，結(jié)構(gòu)埋深為地面以下5 m。土體阻尼比取5%，土層選用深厚土層成層土，土層參數(shù)見(jiàn)圖2。側(cè)向邊界寬度(單側(cè))分別置于50 m、200 m、500 m、1 000 m、2 000 m、4 000 m和8 000 m處。相對(duì)誤差計(jì)算以8 000 m模型為基準(zhǔn)。

土層反應(yīng)位移誤差和結(jié)構(gòu)反應(yīng)內(nèi)力誤差見(jiàn)圖6。

圖6 反應(yīng)誤差圖Fig.6 Reaction errors

由上圖位移誤差分析得：①大尺度結(jié)構(gòu)所需邊界寬度較大；②從最大值誤差看，取b/H=6倍時(shí)，大尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以上，而小尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以下；②從均方誤差看，取b/H=16倍時(shí)，大尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以上，而小尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以下。

由上圖內(nèi)力誤差分析得：①大尺度結(jié)構(gòu)所需邊界寬度較大；②從最大值誤差看，取b/H=6倍時(shí)，大尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以上，而小尺度結(jié)構(gòu)誤差在1%以下。

2.4 地震波特性

為了研究地震波特性對(duì)側(cè)向邊界寬度的影響，取三條不同特性(峰值不同，持時(shí)不同，頻譜特性不同)的強(qiáng)震記錄和一條脈沖波來(lái)做對(duì)比，側(cè)向邊界寬度(單側(cè))分別置于50 m、200 m、500 m和8 000 m處。相對(duì)誤差計(jì)算以8 000 m模型為基準(zhǔn)。地震動(dòng)參數(shù)見(jiàn)圖3，結(jié)構(gòu)埋深為地面以下5 m，土體阻尼比取5%，選用深厚土層和結(jié)構(gòu)(a)，參數(shù)見(jiàn)圖2。

土層反應(yīng)位移誤差見(jiàn)圖7，結(jié)構(gòu)反應(yīng)的內(nèi)力誤差見(jiàn)圖8。

圖 7 土層反應(yīng)位移誤差Fig.7 Soil displacement errors

圖8 結(jié)構(gòu)反應(yīng)內(nèi)力誤差Fig.8 Structural internal force errors

由圖7位移誤差分析得：①當(dāng)b/H較小時(shí)，各個(gè)地震波誤差離散大，隨著b/H的增大，誤差離散變??；②從最大值誤差看，b/H=6時(shí)，四條地震波的位移誤差在1%以下；③從均方誤差看，b/H=6時(shí)，四條地震波的位移誤差在5%以下。

由圖8結(jié)構(gòu)內(nèi)力誤差分析得：①當(dāng)b/H較小時(shí)，各個(gè)地震波誤差離散大，持時(shí)長(zhǎng)的隨著b/H的增大，誤差離散變?。虎趶淖畲笾嫡`差看，b/H=6時(shí)，四條地震波的內(nèi)力誤差在2.5%以下。

綜上，脈沖波和Cape波的頻譜特性比較簡(jiǎn)單，誤差較?。籈lcentro波持時(shí)較長(zhǎng)，誤差較大。

2.5 土體非線性

土體采用的是Davidenkov骨架曲線的土體動(dòng)力本構(gòu)，文獻(xiàn)[13]中提出了采用三參數(shù)A、B和γ0擬合G/Gmax-γ曲線的試驗(yàn)結(jié)果，阻尼取阻尼比值中的最小阻尼比，假定阻尼只與剛度有關(guān)，土體動(dòng)剪切模量比和阻尼比值見(jiàn)表1。

表1 土體動(dòng)剪切模量比和阻尼比值

為了反映分析結(jié)果的一般性，選用25 m厚的均勻細(xì)砂土和結(jié)構(gòu)(a)、64 m厚的深厚土層成層土和結(jié)構(gòu)(b)，細(xì)砂天然重度20.2 kN/m3，剪切波速298 m/s，泊松比0.30，深厚土層和結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)圖2。峰值加速度分別為0.03g、0.2g、0.8g，側(cè)向邊界寬度(單側(cè))分別置于25 m、50 m、100 m、200 m、500 m和1 000 m處，相對(duì)誤差計(jì)算以1 000 m模型為基準(zhǔn)。地震波采用圖3中的Anza波。本構(gòu)擬合參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 擬合參數(shù)

取土層中的三個(gè)點(diǎn)A、B、C的位移的誤差的平均值，位置見(jiàn)圖2，其中深厚土層中C點(diǎn)位置向下移1 m，均勻土層網(wǎng)格為1 m×1 m的均勻網(wǎng)格，深厚土層成層土網(wǎng)格為2 m ×2 m的均勻網(wǎng)格，土層反應(yīng)位移誤差見(jiàn)圖9，結(jié)構(gòu)反應(yīng)的內(nèi)力誤差見(jiàn)圖10。

圖 9 土層反應(yīng)位移誤差Fig.9 Soil displacement errors

圖10 結(jié)構(gòu)反應(yīng)內(nèi)力誤差Fig.10 Structural internal force errors

由圖9位移誤差分析得：①在三種峰值加速度情況下，均勻土層當(dāng)b/H=2時(shí)，位移誤差基本都在1%以下(除一個(gè)點(diǎn)外)；深厚土層成層土當(dāng)b/H=4時(shí)，最大值位移誤差在1.5%以下，當(dāng)b/H=8時(shí)，均方誤差在5%以下；②當(dāng)土體進(jìn)入非線性后，隨著非線性程度的增大對(duì)邊界寬度的影響并不敏感，這和之前討論阻尼對(duì)邊界寬度影響時(shí)規(guī)律一致。

由圖10結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析得：①?gòu)淖畲笾嫡`差看，b/H=8時(shí)，彎矩和剪力的誤差都在1.5%，軸力的誤差在2.5%；②當(dāng)土體進(jìn)入非線性后，隨著非線性程度的增大對(duì)邊界寬度的影響并不敏感。

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)典型案例進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，得出了地下結(jié)構(gòu)平面問(wèn)題中側(cè)向人工邊界的影響規(guī)律：

(1)阻尼比對(duì)邊界寬度有影響，無(wú)阻尼所需邊界寬度最大，阻尼到達(dá)一定值后，阻尼比的變化對(duì)邊界寬度的影響不敏感。土體非線性有跟阻尼比類(lèi)似的影響規(guī)律，線性情況下所需邊界寬度最大，非線性到達(dá)一定程度后，非線性程度的變化對(duì)邊界寬度的影響不敏感。

(2)結(jié)構(gòu)尺度對(duì)邊界寬度有影響，結(jié)構(gòu)尺寸越大所需邊界寬度越寬。

(3)地震波特性中的頻譜特性和持續(xù)時(shí)間對(duì)邊界寬度有較大影響；當(dāng)b/H較小時(shí)，各個(gè)地震波誤差離散大，隨著b/H的增大，誤差離散變小。

(4)從最大值誤差分析，當(dāng)阻尼比為5%時(shí)，考慮所有影響因素時(shí)取b/H=40時(shí)，誤差在1%以下，取b/H=16時(shí)，誤差在5%以下。

[ 1 ] LYSMER J, KUHLEMEYER R L.Finite dynamic model for infinite media[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1969, 95(4): 859-877.

[ 2 ] DEEKS A J, RANDOLPH M F. Axisymmetric time-domain transmitting boundaries[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1994,120(1): 25-42.

[ 3 ] 劉晶波，呂彥東.結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用問(wèn)題分析的一種直接方法[J]. 土木工程學(xué)報(bào)，1998,31(3):55-64.

LIU Jingbo, Lü Yandong. A direct method for analysis of dynami soil-structure interaction[J]. China Civil Engineering Journal, 1998,31(3):55-64.

[ 4 ] 劉晶波，杜義欣，閆秋實(shí). 黏彈性人工邊界及地震動(dòng)輸入在通用有限元軟件中的實(shí)現(xiàn)[C]∥南京工業(yè)大學(xué)第三屆全國(guó)防震減災(zāi)工程學(xué)術(shù)研討會(huì).南京：中國(guó)土木工程學(xué)會(huì)，2007.

[ 5 ] 杜修力，趙密，王進(jìn)廷. 近場(chǎng)波動(dòng)模擬的一種應(yīng)力人工邊界[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2006,38(1):49-56．

DU Xiuli, ZHAO Mi, WANG Jinting.A Stress artificial wave boundary in FEA for near-field problem[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006,38(1):49-56.

[ 6 ] 麻媛. 重力壩-基巖相互作用系統(tǒng)人工邊界動(dòng)力分析[J]. 人民黃河，2014,36(7):109-111.

MA Yuan. Dynamic artificial boundary analysis of dam-foundation rock interaction system[J]. Yellow River, 2014,36(7):109-111.

[ 7 ] 包銳，周叮，劉偉慶，等. 黏彈性人工邊界及其在盆地地震效應(yīng)研究中的應(yīng)用[J]. 世界地震工程，2013,29(4):133-140.

BAO Rui, ZHOU Ding, LIU Weiqing, et al. Viscou-spring artificial boundary and its application to study on seismic effect of basin[J]. Word Earthquake Engineering, 2013,29(4):133-140.

[ 8 ] 黃景琦，杜修力，田志敏,等. 斜入射SV波對(duì)地鐵車(chē)站地震響應(yīng)的影響[J]. 工程力學(xué)，2014,31(9):81-88.

HUANG Jingqi, DU Xiuli, TIAN Zhimin, et al. Effect of the oblique incidence of seismic sv waves on the seismic response of subway station structure[J]. Engineering Mechanics, 2014,31(9):81-88.

[ 9 ] 吳藝，房營(yíng)光.動(dòng)力邊界模型對(duì)土與結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)值計(jì)算影響的分析[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2007 ,7(15):3803-3810.

WU Yi, FANG Yingguang. Analysis of dynan is boundary model effects on soil structure nonliiear dynanic systan numerical calculation[J]. Science Technology and Engineeraig, 2007,7(15):3803-3810.

[10] 袁松，王崢崢，周佳媚. 隧道地震動(dòng)力計(jì)算邊界取值范圍研究[J]. 土木工程學(xué)報(bào)，2012,45 (11):166-172.

YUAN Song, WANG Zhengzheng, ZHOU Jiamei.Study on the model boundary determination in tunnel′s earthquakedynamic analysis[J]. China Civil Engineering Journal,2012,45 (11):166-172.

[11] 樓夢(mèng)麟，邵新剛. 應(yīng)用通用程序計(jì)算深覆蓋土層地震反應(yīng)的幾個(gè)問(wèn)題[J]. 振動(dòng)與沖擊，2015,34(4): 63-68.

LOU Menglin, SHAO Xingang. Several problems in seismic response calculationof soil layer with deep deposit using general software[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015,34(4):63-68.

[12] 片山 幾夫，足立 正信，嶋田 穰，等．地下埋設(shè)構(gòu)造物の実用的な準(zhǔn)動(dòng)的解析手法「応答震度法」の提案[C]∥土木學(xué)會(huì)年次學(xué)術(shù)講演會(huì)講演概要集.東京:土木學(xué)會(huì)土木圖書(shū)館，1985：737-738．

[13] 陳國(guó)興，莊海洋. 基于Davidenkov骨架曲線的土體動(dòng)力本構(gòu)關(guān)系及其參數(shù)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2005,27(8):860-864.

CHEN Guoxing, ZHUANG Haiyang. Developed nonlinear dynamic constitutive relations of soils based on davidenkov skeleton curve[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2005,27(8):860-864.