不忘“輔線”，方得“全等”

柏素霞

證明三角形全等是解決線段與角相等或和、差、倍、分關(guān)系的重要方法，有時(shí)應(yīng)用“全等三角形”來(lái)解題時(shí)，原圖中并不存在全等三角形，需要添加輔助線進(jìn)行構(gòu)造，這是我們學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn).下面，就如何利用已有條件作輔助線構(gòu)造全等三角形和同學(xué)們進(jìn)行一些探索.

一、作旋轉(zhuǎn)圖形得全等

例1 如圖1，設(shè)點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PB=6，PA=8，PC=10，則∠APB的度數(shù)是_______.

圖1

【分析】本題中的PB、PA、PC的長(zhǎng)度分別為6、8、10，很容易讓我們想到直角三角形，又因?yàn)榈冗吶切沃蠦C、BA長(zhǎng)度相等且有公共的端點(diǎn)，所以可以運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形來(lái)解決.

解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC.

可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，則△BEA≌△BPC，連EP，如圖1.

∴BE=BP=6，AE=PC=10，∠PBE=60°，

∴△BPE為等邊三角形，

∴PE=PB=6，∠BPE=60°.

在△AEP中，AE=10，AP=8，PE=6，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°.

【方法點(diǎn)撥】本題的考點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì).我們利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，將已知線段相對(duì)集中，組合成特殊的直角三角形，同時(shí)又產(chǎn)生了等邊三角形，再進(jìn)行等量代換解決了問(wèn)題.

二、“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”得全等

例 2 如圖 2，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=CB，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AC=AB+BD.

圖2

【分析】從結(jié)論出發(fā)，要證明兩條線段之和等于第三條線段，就可以采取“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法.

證法一：如圖3所示，在AC上截取AE=AB，連接DE.

圖3

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.

在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAC，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠AED=∠B=90°，BD=ED.

又∵AB=BC，∴∠C=45°，

∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE，∴BD=CE，

∴AC=AE+EC=AB+BD.

證法二：如圖4所示，延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，連接DE.

∵∠ABC=90°，AB=BC，BE=BD，

∴∠C=∠CAB=45°，∠E=∠EDB=45°，

∴∠C=∠E.

圖4

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，

又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AE=AC，∴AC=AB+BE=AB+BD.

【方法點(diǎn)撥】所謂“截長(zhǎng)”，即在較長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條較短線段中的一條，再證明剩下的一段等于另一條線段；所謂補(bǔ)短，即把兩條短線段補(bǔ)成一條長(zhǎng)線段，再證它與長(zhǎng)線段相等.本題無(wú)論用哪種方法都是把證明線段和、差的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等問(wèn)題.

三、作平行線得全等

例3 如圖5，已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE.

圖5

圖6

【分析】過(guò)點(diǎn)D做DG∥AC，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再結(jié)合已知的相等線段以及題中隱含的對(duì)頂角，就順利構(gòu)造出了全等三角形.

證明：如圖6，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BC于G，

∴∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF，

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，∴DB=DG.

∵DF=EF，∠DFG=∠CFE，

∴△DGF≌△ECF，∴DG=CE.∴BD=CE.

【方法點(diǎn)撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).題中原來(lái)有一對(duì)相等的線段以及一對(duì)對(duì)頂角，所以依托這兩個(gè)條件可以思考再增加什么條件可構(gòu)成全等三角形，故想到作平行線構(gòu)造相等的角可證得.

四、倍長(zhǎng)中線得全等

例4 如圖7，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF.

圖7

【分析】如圖8，延長(zhǎng)中線至點(diǎn)G，使DG=AD，再連接BG，這樣就可以用“SAS”證明△ADC與△GDB全等，接下來(lái)問(wèn)題就明朗了.

圖8

證明：延長(zhǎng)AD到G，使得DG=AD，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDA，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴BG=AC，∠CAD=∠G，

∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠G=∠BEG.

又∵∠BEG=∠AEF，∴∠G=∠AEF，

∴∠CAD=∠AEF，∴AF=EF.

【方法點(diǎn)撥】題中若有中線，可以考慮將中線延長(zhǎng)一倍來(lái)構(gòu)造全等三角形，從而將分散的條件集中，這種方法通常稱為“中線倍長(zhǎng)法”.本題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，可見(jiàn)綜合運(yùn)用三角形知識(shí)思考問(wèn)題非常重要.見(jiàn)中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形應(yīng)根據(jù)具體的條件進(jìn)行選擇，也不能一味模仿應(yīng)用.