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      六自由度組芯機器人逆運動學(xué)研究

      2018-03-30 08:13:48,*,
      安徽工程大學(xué)學(xué)報 2018年1期
      關(guān)鍵詞:旋量剛體位姿

      ,*,

      (1.安徽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,安徽 淮南 232001;2.南通鵬飛鑄造有限公司,江蘇 南通 226623)

      為了提高鑄造過程中組芯工藝的效率和精確性,在傳統(tǒng)工藝流程中引進組芯機器人替代人工在復(fù)雜工作環(huán)境下完成鑄造過程中的組芯工序已成為市場形勢所趨[1].目前,機器人在組芯工序中的應(yīng)用僅局限于對砂芯的浸涂,研究中的六自由度機器人則能實現(xiàn)將砂芯準確裝入砂箱,該工序不僅要求機器人工作中末端執(zhí)行器達到目標位置,也對執(zhí)行器的姿態(tài)精度提出較高要求.機器人逆運動學(xué)的求解問題是研究機器人運動控制和軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ),通過已知工具坐標系相對工作臺坐標系的期望位置和姿態(tài),求解機器人到達預(yù)期位姿的關(guān)節(jié)變量.該問題的求解過程存在方程參數(shù)多、解的非線性和強耦合性等問題,一直是國內(nèi)外研究的難點.通常情況下,機器人的運動學(xué)建模都會采用D-H矩陣參數(shù)法,但是該方法存在局部坐標系過多、幾何意義不明顯等缺點.因此,尋求一種高效、簡單的數(shù)學(xué)工具來進行機器人運動學(xué)建模成為當(dāng)前機器人領(lǐng)域熱點之一.

      旋量法[2]是用一組對偶矢量的螺旋來表示物體運動的角速度和線速度.相比于傳統(tǒng)D-H矩陣的參數(shù)法,旋量法的優(yōu)勢在于從整體上描述剛體的運動,避免局部坐標系描述時所造成的奇異性;對剛體運動進行幾何描述,可以簡化機構(gòu)的分析;具有明顯的幾何意義優(yōu)點,使用指數(shù)積進行逆解求解時,可以明確多解的條件與個數(shù).

      為求解機器人運動學(xué)逆解問題,首先要解決一般機器人設(shè)計中遇到的逆解子問題,然后設(shè)法將整個運動學(xué)逆問題分解成若干個解為已知的子問題.其中最著名的是Paden-Kahan子問題,建立于Kahan[3]的著作中.呂世增[4]等采用吳方法對一般機器人運動學(xué)方程進行消元,實現(xiàn)了計算機機械化求解.李盛前[5]等在旋量理論的基礎(chǔ)上引入sylvester結(jié)式進行逆運動學(xué)求解,并在數(shù)學(xué)符號化運算軟件Maple中實現(xiàn)了逆解算法過程.李悅[6]等利用旋量理論對RRRP機器人進行運動學(xué)建模并且獲得機器人逆解算法.錢東海[7]等利用Paden-Kahan子問題簡化旋量理論求解六軸機器人逆解問題過程,得到精確的機器人逆解.Akad Nankl[8]利用旋量理論模擬了機器人在空間中的運動情況.Dinesh[9]等利用常規(guī)消元法對6R機械臂進行逆運動學(xué)求解.李君[10]等利用旋量理論對StanFord臂進行運動學(xué)建模,并得到了Satnford臂的雅各比矩陣.

      研究基于旋量理論基礎(chǔ)對六自由度組芯機器人進行逆運動學(xué)分析,結(jié)合Paden-Kahan子問題算法對組芯機器人的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度進行求解.

      1 旋量理論

      在歐氏空間中,質(zhì)點的瞬心位置可相對于慣性坐標系來描述.根據(jù)chasles定理[11],任何剛體的運動都可以轉(zhuǎn)化為繞某一軸的轉(zhuǎn)動加上平行于該軸的移動來實現(xiàn),即為旋量運動.

      假設(shè)剛體坐標系B的原點相對于坐標系A(chǔ)的位置矢量為PAB∈R3,姿態(tài)矢量RAB∈SO(3)(SO(3) 是三維旋轉(zhuǎn)群),則系統(tǒng)由(RAB,PAB)確定,用齊次坐標可以表示為:

      (1)

      根據(jù)旋量理論,剛體的變換可以表示為運動旋量的指數(shù),其表達式為:

      (2)

      在剛體上的物體坐標系T相對于慣性坐標系S的位姿變換用gst(θ)表示,以gst(0) 表示剛體相對于慣性坐標系的起始位姿,那么,相對于慣性坐標系的最終位姿為:

      (3)

      因此,對于一個運動旋量來說,指數(shù)變換反映的是剛體的相對運動,運動旋量的指數(shù)可以理解為描述剛體由起始到最終位形的變換.

      2 Paden-Kahan子問題

      2.1 子問題1

      設(shè)ξ為一個零節(jié)距的單位運動螺旋,p、q∈R3是空間兩點,點P繞軸旋轉(zhuǎn)θ角到達q點,如圖1所示.假定r是軸ξ上的一點,定義r與q之間的矢量為u=(p-r),r與q之間的矢量為v=(q-r),u′和v′分別為u,v在垂直于軸ξ平面上的投影.文獻[11]給出了該問題的求解公式:

      θ=atan(ωT(u′×v′),u′Tv′),

      (4)

      2.2 子問題2

      設(shè)ξ1和ξ2為兩個零節(jié)距、軸線相交的單位運動螺旋,p、q∈R3是兩點,點p先繞軸ξ1旋轉(zhuǎn)θ1角到達c點,然后繞軸ξ2旋轉(zhuǎn)θ2角到達q點,如圖2所示.若兩個軸線平行,則該問題退化為子問題1,且滿足θ1+θ2=θ的任意θ1,θ2都是正確解.如果兩個軸線不平行,設(shè)c滿足下式:

      (5)

      圖1 繞單軸的螺旋運動圖2 繞兩軸的螺旋運動

      定義向量u=(p-r),v=(q-r),z=(c-r),則得到:

      (6)

      因為‖u‖2=‖z‖2=‖v‖2,且ω1,ω2,ω3是線性獨立的,所以得到下式:

      z=αω1+βω2+γ(ω1×ω2),

      (7)

      (8)

      (9)

      (10)

      (11)

      式(11)存在0,1或2個實根的情況.在有根的情況下,將α,β,γ值代入即可求得z和c,然后利用子問題1可以求得θ1和θ2的值.

      3 組芯機器人逆運動學(xué)求解算法

      3.1 組芯機器人運動學(xué)建模

      六自由度組芯機器人機械結(jié)構(gòu)如圖3所示,各連桿坐標系結(jié)構(gòu)簡圖如圖4所示.此類機器人各關(guān)節(jié)通過轉(zhuǎn)動副連接.前3個關(guān)節(jié)確定手腕參考點位置,后3個關(guān)節(jié)確定手腕的姿態(tài).與D-H矩陣參數(shù)法不同,旋量法選取的坐標系是世界坐標系.設(shè)各連桿旋轉(zhuǎn)軸ξi的單位矢量為ωi(I=1,2,…,6) ,關(guān)節(jié)軸轉(zhuǎn)動的角度為θi,連桿i的坐標原點為θi.將各關(guān)節(jié)的運動加以組合,即得運動學(xué)正解映射為:

      (12)

      式(12)為機器人運動學(xué)正解的指數(shù)積公式.

      圖3 六自由度組芯機器人圖4 組芯機器人結(jié)構(gòu)簡圖

      3.2 組芯機器人逆運動學(xué)求解

      根據(jù)Pieper準則:相鄰關(guān)節(jié)的軸線相交于一點,或3個軸線相互平行,則對于任意給定的末端工具的位置和姿態(tài)都有運動學(xué)逆解.組芯機器人屬于六自由度關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動機器人,其4,5,6三軸的軸線均交于同一點,滿足Pieper準則,所以該機器人存在封閉解.

      給定機器人的末端工具坐標系T,機器人的基座慣性坐標系S,則機器人各個軸轉(zhuǎn)動角度為0時,基礎(chǔ)坐標系與工具坐標系的轉(zhuǎn)換為:

      (13)

      (1)θ1的求解.根據(jù)chalse定理:如果一點位于旋轉(zhuǎn)軸上,無論該點繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)多少角度,該點的坐標不變,即:

      (14)

      (15)

      將式(15)右乘qw,根據(jù)上述定理可得:

      (abc)T,

      (16)

      將式(16)展開得:

      L(c2s1s3+c3s1s2)-D(c2c3s1-s1s2s3)+m=a,

      (17)

      D(c1c2c3-c1s2s3)-L(c1c2s3+c1c3s2)+n=b,

      (18)

      D(c2s3+c3s2)+L(c2c3-s2s3)+k=c,

      (19)

      m=-s1[s2(l1+l2)-d1(c2-1)]-c2s1[Ls3-d1(c3-1)]-s1s2[d1s3+L(c3-1)]

      n=c1[s2(l1+l2)-d1(c2-1)]+c1c2[Ls3-d1(c3-1)]+c1s2[d1s3+L(c3-1)]

      k=-(l1+l2)(c2-1)-c2[d1s3+L(c3-1)]-d1s2+s2[Ls3-d1(c3-1)]

      式中,ci(i=1∶6)是cosθi的縮寫,si是sin(θi)的縮寫.

      式(17)乘以c1加上式(18)乘以s1得到下式:

      acosθ1+bsinθ1=0,

      解上述方程,可得:

      (20)

      (2)θ2和θ3的求解.組芯機器人的2軸和3軸是兩個平行的關(guān)節(jié),qn繞軸2旋轉(zhuǎn)θ2后到達點c,再繞軸3旋轉(zhuǎn)θ3角度后到達qw點,取qn=[qnxqnyqnz]T根據(jù)子問題2的方法,可得:

      φ1=arctan(-l2(qny-d1),-l2(l1-qnz)),

      (21)

      c,r23的夾角Δ1為:

      (22)

      則可求得θ2

      θ2=φ1±Δ1,

      (23)

      同理

      φ2=arctan(-l2(d2+d3),-l2l3),

      則可求得θ3

      θ3=φ2±Δ2,

      (24)

      (3)θ4和θ5的求解.根據(jù)得到的θ1,θ2和θ3值,由式(12)可得:

      (25)

      取在軸6上而不在軸4,5上的點qm=[0D+d4L]T

      將qm點帶入式(25)中,得:

      qmyqmz]T,

      (26)

      根據(jù)式(9),式(10),式(11)可得:

      (27)

      根據(jù)式(4)得:

      ×c),cTv)=arctan((γ-L)qmx,qmy(qmy-D)-(L-qmz)(L-γ)),

      (28)

      (29)

      (4)θ6的求解.將前面得到5個軸的轉(zhuǎn)動角度代入式(12)可得:

      (30)

      取不在軸6上的任意點(該點選取時盡量選擇較遠處點,u可近似等于u在ω垂直的平面投影) ,po=[ijk]T,將po點帶入式(30)中,得:

      根據(jù)子問題1的方法可求θ6

      arctan(i(L-poz)-pox(L-K),(D-j)(D-poy)+(L-K)(l-poz)+poxi).

      (31)

      4 逆解算法的實例驗證

      組芯機器人的具體參數(shù)如下:l1=404 mm,l2=100 mm,l3=780 mm,d1=170 mm,d2+d3=760 mm,d4=125 mm,具體求解六自由度組芯機器人逆解過程如下:

      (1)隨機給定每個關(guān)節(jié)的對應(yīng)轉(zhuǎn)動角度.

      θ1=-32.45°,θ2=-32.20°,θ3=-1.15°,θ4=0°,θ5=-58.66°,θ6=-32.42°.

      (2)根據(jù)機器人正運動學(xué)指數(shù)積公式計算末端執(zhí)行器的位姿.

      (3)應(yīng)用研究所給出的求解逆解的方法,在Matlab軟件中編制逆運動學(xué)算法程序,將數(shù)據(jù)代入后共得到8組逆解,如表1所示.

      表1 8組運動學(xué)逆解

      將上述8組逆解代入機器人正運動學(xué)公式,得到的位姿解與設(shè)定解相對誤差在0.2%以內(nèi),所以該逆解算法具有較高的精確度.

      5 結(jié)論

      基于旋量理論對六自由度組芯機器人進行運動學(xué)建模,針對組芯機器人結(jié)構(gòu)特殊性,利用Paden-Kahan子問題算法對逆解求解過程進行簡化,從而求得了機器人的位姿,并對結(jié)果進行了驗證.該逆運動學(xué)求解算法從整體上描述了機器人的運動,避免了傳統(tǒng)D-H參數(shù)方法求解過程中復(fù)雜的坐標轉(zhuǎn)換,簡化了運算過程,減少了控制系統(tǒng)運算的時間;同時描述了組芯機器人組芯作業(yè)時末端手爪的姿態(tài)和各軸的運動參數(shù),為組芯機器人精確組芯的控制提供了理論依據(jù).

      [1] 林祖盛.ABB機器人在鑄造組芯整體浸涂上的應(yīng)用[J].科技經(jīng)濟導(dǎo)刊,2016(33):74-75.

      [2] R S BALL.A treatise on the theory of screws[M].UK:Cambrige University Press,1900.

      [3] K HUNT.H kinematic geometry of mechanisms[M].UK:Oxford University press,1978.

      [4] 呂世增,張大衛(wèi),劉海年.基于吳方法的6R機器人逆運動學(xué)旋量方程求解[J].機械工程學(xué)報,2010,46(17):35-41.

      [5] 李盛前,謝小鵬.基于旋量理論和Sylvester結(jié)式法的6自由度機器人逆運動學(xué)求解分析[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報,2015,31(20):48-54.

      [6] 李悅,周利坤.基于旋量理論的RRRP機器人逆運動學(xué)分析與研究[J].機械科學(xué)與技術(shù),2014,33(6):820-824.

      [7] 錢東海,王新峰,趙偉,等.基于旋量理論和Paden-Kahan子問題的6自由度機器人逆解算法[J].機械工程學(xué)報,2009,45(9):72-77.

      [8] F M DIMENTBERG.Determination of the motion of spatial mechansims (Russian)[M].Moscow:Akad Nank,1950.

      [9] DINESH MANOCHA,F C JOHN.Efficient inverse kinematic for general 6R manipulator[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,1994,10(5):648-657.

      [10] 李君.基于旋量理論的Stanford臂的運動學(xué)分析[J].天津科技大學(xué)學(xué)報,2010,25(4):72-75.

      [11] 理查德.機器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M].北京:機械工業(yè)出版社,1994.

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