傳送帶上物體的運動與能量問題

■重慶市潼南第二中學(xué)　

傳送帶是一種很重要的物理模型,以其為素材的物理問題是高中物理習(xí)題中較為常見的一類問題。此類問題涉及的知識點較多,包括受力分析、運動分析、牛頓運動定律、功能關(guān)系等,因此此類問題大都具有情景模糊、條件隱蔽、過程復(fù)雜的特點。物體在傳送帶上放置的條件不同,物體的受力情況不同,將導(dǎo)致物體的運動情況也不同。不管傳送帶如何運動,我們只要分析清楚物體所受摩擦力的大小、方向及其變化情況,就能準(zhǔn)確分析物體的運動過程及狀態(tài)變化。下面我們就從實例分析出發(fā)并加以拓展,相信對同學(xué)們求解此類問題必會有所啟發(fā)和幫助。

題目如圖1所示,水平傳送帶以恒定速度v=5m/s沿順時針方向運動,傳送帶兩端A、B間的距離L=7.5m,現(xiàn)在其左端A輕輕地放上一工件,已知工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,取g=10m/s2。求工件由傳送帶左端A運動到右端B所需的時間。

圖1

分析:工件被輕輕放在傳送帶左端A時,工件相對地面的初速度v0=0,傳送帶相對地面以恒定速度v=5m/s向右勻速運動,所以工件相對傳送帶向左運動,工件受到水平向右的滑動摩擦力f=μN=μmg作用。根據(jù)牛頓第二定律可得,工件的加速度a=因此工件相對地面向右做初速度為零的勻加速直線運動,其速度達(dá)到與傳送帶速度相等所經(jīng)過的時間1s,工件在勻加速運動過程中相對地面發(fā)生的位移因為x1=2.5m＜L,所以當(dāng)工件速度等于傳送帶速度時,工件受到的滑動摩擦力消失,工件與傳送帶保持相對靜止并一起向右以速度v=5m/s勻速運動,以后工件運動到傳送帶B端所用的時間因此工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間t=t1+t2=2s。

拓展一:若只將傳送帶A、B間的距離改為L=2.5m,其他條件不變,則工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間為多少?

分析:此條件下工件必一直做勻加速直線運動,由解得t=1s。

拓展二:若工件以對地速度v0=5m/s從傳送帶A端滑上傳送帶,其他條件不變,則工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間為多少?

分析:工件以對地速度v0=5m/s滑上傳送帶A端時,其與傳送帶相對靜止,因此工件與傳送帶間無摩擦力,工件做勻速直線運動,工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間

拓展三:若工件以對地速度v0=7m/s從傳送帶A端滑上傳送帶,其他條件不變,則工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間為多少?

分析:因為工件滑上傳送帶A端時的速度大于傳送帶的速度,即工件相對傳送帶向右運動,所以工件必受到傳送帶對它水平向左的滑動摩擦力作用,如圖2所示,工件相對于地面必向右做勻減速直線運動。當(dāng)工件速度等于傳送帶速度時,二者之間的滑動摩擦力消失,工件隨傳送帶一起勻速運動。工件做勻減速直線運動的時間0.4s,工件做勻減速直線運動相對地面發(fā)生的位移,工件做勻速直線運動所經(jīng)過的時間因此工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間t=t1+t2=1.42s。

圖2

拓展四:若工件以對地速度v0=3m/s從傳送帶A端滑上傳送帶,其他條件不變,則工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間為多少?

分析:因為工件滑上傳送帶A端時的速度小于傳送帶的速度,即工件相對傳送帶向左運動,所以工件必受到傳送帶對它水平向右的滑動摩擦力作用而相對于地面向右做勻加速直線運動。工件加速到與傳送帶速度相同所經(jīng)過的時間發(fā)生的位移之后工件與傳送帶一起做勻速直線運動所用的時間因此工件從傳送帶左端A運動到右端B的時間t=t1+t2=1.58s。

拓展五:若將原題目數(shù)據(jù)改為傳送帶兩端A、B間的距離L=10m,傳送帶以恒定速度v=2m/s運動,現(xiàn)將一小物體無初速度地放在傳送帶左端A處,則經(jīng)過6s小物體運動到傳送帶B端。若要求小物體用最短的時間運動到B端,求傳送帶的最小速度。

分析:小物體放在傳送帶A端時必受到傳送帶對它水平向右的滑動摩擦力作用而相對于地面向右做勻加速直線運動,小物體一般會經(jīng)歷先加速后勻速的過程,當(dāng)小物體達(dá)到與傳送帶具有共同速度時,二者間的摩擦力為零,之后兩者相對靜止,小物體勻速向B端運動。若傳送帶速度較大或傳送帶長度較短,則小物體可能只會出現(xiàn)一直向右做勻加速直線運動的情況。設(shè)小物體由靜止經(jīng)過時間t1的勻加速直線運動(設(shè)加速度為a)即與傳送帶達(dá)到共同速度,則之后小物體勻速運動到B端的時間為6st1,則10m,解得小物體的加速度a=1m/s2。若要求小物體運動的時間最短,則要求小物體一直做加速運動,即要求小物體與傳送帶一直存在相對運動,故傳送帶的最小速度就是小物體持續(xù)加速運動到達(dá)B端的速度vB。由v2B=2aL解得vB=25m/s,即傳送帶的最小速度為25m/s。

圖3

附:分析此問題若利用小物體的速度—時間圖像(如圖3所示)圍成的幾何圖形的面積表示傳送帶的長度則更形象直觀,其中t3時間對應(yīng)著傳送帶的最小速度。

圖4

拓展六:若將原題目改成傳送帶與水平面間的傾角θ=37°,如圖4所示,其他條件不變,那么工件從傳送帶A端滑到B端的時間為多少?

分析:比較動摩擦因數(shù)μ與tanθ的大小關(guān)系,因為μ=0.5,tanθ=0.75,所以μ＜tanθ,即μmgcosθ＜mgsinθ。無論傳送帶沿順時針還是逆時針方向運動,工件相對于地面一定沿傳送帶向下滑動。因為傳送帶沿順時針方向運動,當(dāng)工件剛放在A端時工件相對傳送帶必向上運動,所以工件受到的滑動摩擦力必沿傳送帶向下,則工件相對于地面的加速度10m/s2,工件相對于地面向下做勻加速直線運動到與傳送帶速度相等所用的時間0.5s,發(fā)生的位移當(dāng)工件與傳送帶具有共同速度時,工件受到的合力并不為0而等于mgsinθ,且與此時的速度同向,故工件必繼續(xù)加速運動使得工件的對地速度大于傳送帶的對地速度,之后工件必受到沿傳送帶向上的滑動摩擦力作用。工件的加速度2m/s2,故工件相對于地面向下做勻加速直線運動,其到達(dá)B端的位移x2=L-x1=6.25m,此過程所用的時間滿足關(guān)系式x2=解得s(舍去)。因此工件從傳送帶A端滑到B端的時間

拓展七:在拓展六中,當(dāng)傳送帶以恒定速度v=5m/s沿逆時針方向運動,其他條件不變時,工件從傳送帶A端滑到B端的時間為多少?

分析:工件相對傳送帶必向下運動,所以工件所受滑動摩擦力的方向始終沿傳送帶向上,工件相對于地面一直向下做勻加速運動直至到達(dá)傳送帶B端。工件的加速度a=由L=解得工件從傳送帶A端滑到B端的時間

拓展八:對傳送帶上痕跡的討論——只有工件與傳送帶存在相對運動,工件才會在傳送帶上留下因摩擦而產(chǎn)生的痕跡。

“題目”中傳送帶上的痕跡:由對地位移的幾何關(guān)系可知,痕跡長度等于傳送帶對地的位移減去工件對地的位移,即Δx=x2-x1=vt1-x1=2.5m。

“拓展六”中傳送帶上的痕跡:t1=0.5s時間內(nèi),工件相對于地面的位移x1=1.25m,傳送帶相對于地面的位移x1'=vt1=2.5m,因此工件在傳送帶上留下的痕跡長度Δx1=x1'-x1=1.25m。此后直到工件到達(dá)傳送帶B端的過程中,工件相對于地面的位移x2=6.25m,傳送帶相對于地面的位移x2'=vt21=5.13m,因此工件與傳送帶的相對位移Δx2=x2-x2'=1.12m。因為Δx2＜Δx1,表明在后一段時間中工件相對于傳送帶還在前一段時間內(nèi)工件在傳送帶上留下的痕跡中運動,所以工件最終在傳送帶上留下的痕跡長度Δx=Δx1=1.25m。

同學(xué)們不妨自己試著求解其他拓展問題中的痕跡長度。

拓展九:由工件和傳送帶組成的系統(tǒng)獲得的內(nèi)能及帶動傳送帶的主動輪對傳送帶多做的功的問題——系統(tǒng)獲得的內(nèi)能Q=fs相,主動輪對傳送帶多做的功可由系統(tǒng)能量的變化求出,也可由功的定義求出。

“題目”中:設(shè)工件的質(zhì)量m=1kg,則由工件和傳送帶組成的系統(tǒng)獲得的內(nèi)能Q=fs相=μmg·Δx=12.5J。在工件從傳送帶左端A運動到右端B的過程中,傳送帶主動輪對傳送帶多做的功一部分轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)的內(nèi)能Q=12.5J,另一部分轉(zhuǎn)化成了工件的動能,故主動輪對傳送帶多做的功ΔW=Q+(為了維持傳送帶的勻速運動主動輪必對傳送帶多施加的作用力f'=f=μmg=5N,在工件與傳送帶相對運動的t1=1s時間內(nèi),傳送帶相對于地面的位移x1'=vt1=5m,故主動輪對傳送帶多做的功ΔW=f'x1'=25J。)

“拓展六”中:設(shè)工件的質(zhì)量m=1kg,則在t1=0.5s時間內(nèi)由工件和傳送帶組成的系統(tǒng)獲得的內(nèi)能Q1=f·Δx1=μmgcosθ·Δx1=5J,主動輪要對傳送帶施加沿傳送帶向下的力f'=f=4N才能維持傳送帶做勻速運動,傳送帶相對于地面的位移x1'=2.5m,故主動輪對傳送帶多做的功ΔW1=f'x1'=10J。在工件以加速度a2=2m/s2勻加速運動到傳送帶B端的過程中,系統(tǒng)獲得的內(nèi)能Q2=f·Δx2=μmgcosθ·Δx2=4.48J,為了維持傳送帶的勻速運動主動輪必對傳送帶施加的阻力f″=f=4N,傳送帶相對于地面的位移x2'=5.13m,故主動輪對傳送帶多做的功ΔW2=-f″x2'=-20.52J。在工件從傳送帶A端滑到B端的過程中,主動輪對傳送帶多做的功ΔW=ΔW1+ΔW2=-10.52J。

拓展十:傳送帶上的碰撞與運動問題。

如圖5所示,水平傳送帶兩端A、B間的距離L=8.3m,質(zhì)量M=1kg的木塊隨傳送帶一起以速度v=2m/s沿逆時針方向運動(傳送帶的傳送速度恒定),木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。當(dāng)木塊運動至傳送帶左端A點時,一顆質(zhì)量m=20g的子彈以水平向右的速度v0=300m/s正對木塊射入并穿出,子彈穿出木塊時的速度v1=50m/s,以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊。設(shè)子彈射穿木塊的時間極短,且子彈每次射入木塊的點各不相同,取g=10m/s2。求:

圖5

(1)木塊在被第二顆子彈擊中前,向右運動離A點的最大距離是多少?

(2)木塊在傳達(dá)帶上最多能被多少顆子彈擊中?

(3)在木塊被第一顆子彈射中直到木塊最終離開傳送帶的過程中,由子彈、木塊和傳送帶組成的系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能是多少?電動機消耗的電能是多少?

解析:(1)在第一顆子彈射入并穿出木塊的過程中,由子彈與木塊組成的系統(tǒng)的動量近似守恒,設(shè)第一顆子彈穿出木塊后木塊的速度為v1',則mv0-Mv=mv1+Mv1',解得v1'=3m/s。之后木塊必將受到水平向左的滑動摩擦力作用并以向左的加速度a=μg=5m/s2做勻減速運動,第一顆子彈穿出木塊直至木塊的對地速度減為0的過程所用時間,所以木塊在被第二顆子點最遠(yuǎn),最大距離

(2)在第二顆子彈射中木塊前1s時間內(nèi),木塊向左做加速運動的時間t2=1st1=0.4s,木塊在被第二顆子彈射中瞬間的對地速度v2=at2=2m/s,方向向左并恰與傳送帶的速度相同,在t2時間內(nèi)木塊相對于地面向左的位移,因而在彈擊中前向右勻減速運動到速度為0時離A第一顆子彈穿出木塊后的1s時間內(nèi),木塊相對于最初位置A的位移大小為s1-s2=0.5m,方向指向B端且木塊與傳送帶恰達(dá)到相對靜止。對以后各子彈與木塊的作用過程可同理分析并得出在兩顆子彈射中木塊的時間間隔內(nèi),每次木塊相對于子彈射入時的初位置的位移大小s0=s1-s2=0.5m,方向指向B端,木塊與傳送帶均有相同大小和方向的速度。設(shè)木塊在傳送帶上最多被n顆子彈擊中,則第n顆子彈擊中木塊前,木塊向右移動的位移s=(n-1)s0,第n顆子彈擊中木塊后,木塊將不能再向右移動0.9m,故木塊相對地面的總位移需要滿足條件s總=s+0.9m＞8.3m,解得n＞15.8。因此木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中。

在第一顆子彈與木塊作用后的1s時間內(nèi),木塊對傳送帶的摩擦力f=μMg=5N,方向始終向右,為了維持傳送帶以恒定速度勻速運動,則電動機必須對傳送帶施加一個大小為5N,方向水平向左的作用力,傳送帶相對于地面向左的位移x=vt=2m,因而電動機對傳送帶做的功W0=fx=10J。在第16顆子彈射入木塊前,電動機對傳送帶做的功W=15W0=150J。第16顆子彈擊穿木塊后,木塊將在傳送帶上向右勻減速運動t3=0.4s到達(dá)B端,傳送帶相對于地面的位移x'=vt3=0.8m,電動機對傳送帶做的功W0'=fx'=4J。因此在全過程中電動機消耗的電能E=W+W0'=154J。

小結(jié):求解傳送帶上力學(xué)問題的前提是根據(jù)兩者相對運動的速度關(guān)系正確分析物體的受力情況,特別需要引起注意的是明確在運動的過程中物體的運動方向和受到的摩擦力可能會反向。傳送帶上的能量問題是傳送帶問題中較復(fù)雜的問題之一,求解此類問題的關(guān)鍵是弄清楚物體的動能變化、物體重力勢能的變化、電動機做的功,以及摩擦生熱間的關(guān)系。若傳送帶和物體保持相對靜止則不會出現(xiàn)摩擦生熱,若物體和傳送帶間存在相對滑動則因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=fs(s是兩者間的相對位移)。

跟蹤訓(xùn)練

一傳送帶裝置如圖6所示,其中傳送帶經(jīng)過AB段時是水平的,經(jīng)過BC段時變?yōu)閳A弧形,經(jīng)過CD段時變成傾斜的,AB和CD段都與圓弧相切。現(xiàn)將大量質(zhì)量均為m的小貨箱一個一個地在A處放到傳送帶上,小貨箱的初速度均為零,經(jīng)傳送帶運送到D處,D、A兩點的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶的速度不變,CD段上各小貨箱等距排列,相鄰兩貨箱間的距離為L,每個貨箱在到達(dá)B點之前都已相對傳送帶靜止,且以后也不再相對傳送帶滑動(忽略小貨箱在BC段上的微小滑動)。已知在一段相當(dāng)長的時間T內(nèi),共運送小貨箱的數(shù)目為N,這個裝置由電動機帶動,傳送帶與輪子間無相對滑動,不計輪軸處的摩擦,求電動機的平均輸出功率P。

圖6

參考答案: