幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型,兩者的共同點(diǎn)是基本事件都是等可能的,不同點(diǎn)是基本事件的個(gè)數(shù)一個(gè)是無限的,一個(gè)是有限的。

求解概率問題的關(guān)鍵是弄清題中所研究的對(duì)象,準(zhǔn)確求出試驗(yàn)與所求事件分別包含的基本事件的個(gè)數(shù)。

求解幾何概型的概率問題時(shí),首先要準(zhǔn)確理解幾何概型的意義,構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形與度量區(qū)域(長度、面積或體積等),然后利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率。當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上,用長度比計(jì)算概率;當(dāng)考查對(duì)象為線段時(shí),一般用角度比計(jì)算概率;當(dāng)考查對(duì)象在某區(qū)域時(shí),用面積比計(jì)算概率;當(dāng)考查對(duì)象在某空間時(shí),用體積比計(jì)算概率。

一、古典概型

解決古典概型的概率的關(guān)鍵是列舉出所有可能的基本事件個(gè)數(shù)和符合條件的基本事件個(gè)數(shù),這些基本事件都是等可能的。

例1某單位欲從包括甲、乙在內(nèi)的5名應(yīng)聘者中招聘2人,如果這5名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等,則甲、乙2人中至少有1人被錄用的概率是____。

設(shè)其他3名應(yīng)聘者為a,b,c,則從5人中錄用2人的所有可能結(jié)果共有10種,列舉如下：(甲,乙), (甲,a),(甲,b),(甲,c),(乙,a),(乙,b), (乙,c),(a,b),(a,c),(b,c)。

其中甲、乙2人至少有1人被錄用的基本事件共有7種情況,列舉如下：(甲,乙), (甲,a),(甲,b),(甲,c),(乙,a),(乙,b), (乙,c)。

例2投擲2枚骸子,則2個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是6的概率為( )。

本題是一個(gè)古典概型問題。試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件是同時(shí)擲2枚骸子,共有6×6=36(種)等可能結(jié)果。而滿足條件的基本事件是2個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是6,共有5種等可能結(jié)果,列舉如下：(1,5) (2,4)(3,3)(4,2)(5,1)。

二、與長度有關(guān)的幾何概型

求解幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍。若一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果和某個(gè)事件A包含的結(jié)果(基本事件)都對(duì)應(yīng)一個(gè)長度,如線段長、時(shí)間的區(qū)間長、距離、路程等,那么需要先求出各自相應(yīng)的長度,然后運(yùn)用幾何概型的概率計(jì)算公式求出事件A發(fā)生的概率。

例3利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-1＞0”發(fā)生的概率為____。

本題是考查幾何概型概率的計(jì)算問題?？梢詫⑹录?a-1＞0”發(fā)生的概率轉(zhuǎn)化為長度之比。

由3a-1＞0,可得在0～ 1中對(duì)應(yīng)的長度為,故所求概率為

例4在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件發(fā)生的概率為( )。

本題是考查幾何概型概率的計(jì)算問題。

三、與角度有關(guān)的幾何概型

同學(xué)們在解答幾何概型問題時(shí),容易混淆幾何度量的比,尤其是角度比與長度比。當(dāng)題中涉及一個(gè)變量時(shí),可以觀察變量可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng),則幾何度量是長度;若變量在平面區(qū)域(或空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng),則幾何度量是面積(或體積)。

需要注意的是：當(dāng)考查對(duì)象為線段時(shí),一般用角度比計(jì)算概率;當(dāng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí),一般用長度比計(jì)算概率。

例5如圖1,四邊形A B C D為矩形,以A為圓心,1為半徑作圓弧D E交A B于E,在∠D A B內(nèi)任作射線A P,求射線A P與線段B C有公共點(diǎn)的概率。

圖1

因?yàn)樵凇螪A B內(nèi)任作射線A P,則等可能事件為“在∠DA B內(nèi)作射線A P”,所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域Ω是∠DA B。當(dāng)射線A P與線段B C有公共點(diǎn)時(shí),射線A P落在∠C A B內(nèi),這時(shí)區(qū)域d為∠C A B=30°,所以射線A P與線段B C有公共點(diǎn)的概率為

例6如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),射線O T落在60°角的終邊上,任作一條射線O A,則射線O A落在∠x O T內(nèi)的概率是( )。

圖2

記“射線O A落在∠x O T內(nèi)”為事件M,射線O A落在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每個(gè)位置的可能性是一樣的。因?yàn)橹芙鞘?60°,∠x O T=60°,所以所求概率

四、與面積有關(guān)的幾何概型

與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一,歸納起來常見的命題方向主要是與三角形、矩形、圓等平面圖形的面積有關(guān)的問題。當(dāng)題設(shè)條件涉及兩個(gè)變量時(shí),一般與面積有關(guān)。求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),要注意總的基本事件與所求基本事件分別表示的區(qū)域?qū)?yīng)的面積。必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解。

例7甲、乙兩人約定上午9時(shí)至12時(shí)在某地點(diǎn)見面,并約定任何一個(gè)人先到之后等另一個(gè)人不超過一個(gè)小時(shí),若對(duì)方一小時(shí)之內(nèi)不來,則離去。如果他們兩人在9時(shí)到12時(shí)之間的任何時(shí)刻到達(dá)約定地點(diǎn)的概率都是相等的,求他們見面的概率。

考慮甲、乙兩人分別到達(dá)某地點(diǎn)的時(shí)間,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別用x軸、y軸表示甲、乙到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,用0時(shí)到3時(shí)表示9時(shí)至12時(shí)的時(shí)間段,則試驗(yàn)發(fā)生包含的條件是{(x,y)|0＜x＜3,0＜y＜3}。

兩人能見面的時(shí)間必須滿足|x-y|＜1,這就將所求問題化歸為幾何概型問題。

設(shè)9時(shí)后過了x小時(shí)甲到達(dá),9時(shí)后過了y小時(shí)乙到達(dá),取點(diǎn)Q(x,y),則0＜x＜3,0＜y＜3。

兩人能見面所包含的條件是{(x,y)|0＜x＜3,0＜y＜3,|x-y|＜1|}。作出兩部分對(duì)應(yīng)圖形的區(qū)域,如圖3所示。

五、與體積有關(guān)的幾何概型

對(duì)于以體積為度量的幾何概型問題,要根據(jù)空間幾何體的體積計(jì)算方法,把概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為體積計(jì)算。解答與體積有關(guān)的幾何概型問題時(shí),先分清題目中的條件,找出幾何體的形狀,并計(jì)算出總體積,以及所求的事件占有的幾何體的形狀,并計(jì)算出體積,然后利用體積之比求出概率。

例8在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體,一點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為( )。

這是一個(gè)與體積有關(guān)的幾何概型問題。由題意可得正方體的體積為V1=1。又球的直徑是正方體的對(duì)角線長,故球的半徑球的體積

六、幾何概型的綜合應(yīng)用

例9如圖4,在邊長為3m的正方形中隨機(jī)撒3000粒豆子,有800粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為____ m2。

圖4

根據(jù)幾何概型的概率的幾何意義,可得到關(guān)于陰影部分面積的等式,解之即可。

由題意可得正方形的面積S1=3×3=9(m2)。

設(shè)陰影部分的面積為S2。

因?yàn)殡S機(jī)撒3000粒豆子,有800粒落到陰影部分,所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可得解得S2=2.4(m2)。

例10已知函數(shù)f(x)=2x2-4a x+2b2,若a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為____。

要使函數(shù)f(x)=2x2-4a x+2b2有兩個(gè)零點(diǎn),即方程x2-2a x+b2=0要有兩個(gè)實(shí)根,則Δ=4a2-4b2≥0,即a≥b。

由a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},可知a,b的所有取法共有3×3=9(種),其中滿足a≥b的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共6種,所以所求概率為