◎林少云

概率是新教材的一個(gè)重要內(nèi)容，在每年高考中都占有一席之地。但是由于這部分內(nèi)容的概念比較多，相近概念容易混淆，在解題過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)一些表面看起來正確而實(shí)際上是錯(cuò)誤的解法。筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中如果能及時(shí)向?qū)W生剖析造成錯(cuò)解的原因，可以幫助學(xué)生更加透徹地理解這些概念，提高他們的辨別能力，減少錯(cuò)解的發(fā)生。下面就學(xué)生在解題中經(jīng)?；煜母拍钸M(jìn)行剖析。

一、“概率”和“頻率”

例1：把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則可認(rèn)為擲一次硬幣正面朝上的概率為______。

所以擲一次硬幣正面朝上的概率為0．496。

剖析：錯(cuò)誤的原因是混淆了概率和頻率的概念，事實(shí)上頻率是隨機(jī)的，做同樣的試驗(yàn)得到的頻率可能是不同的，如本題中的0．496是1000次試驗(yàn)中硬幣正面朝上的頻率；而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)。

正解：通過做大量的試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，硬幣正面朝上的頻率都在0．5附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，故擲一次硬幣，正面朝上的概率為0．5。

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生在小學(xué)時(shí)對事件發(fā)生的可能性的大小已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，可以從試驗(yàn)中歸納、總結(jié)得到一個(gè)事件發(fā)生的頻率，進(jìn)而可能就認(rèn)為這個(gè)頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率，通過該錯(cuò)解，讓學(xué)生區(qū)別兩者的不同：頻率是隨機(jī)的，概率是確定的，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在概率附近擺動(dòng)。

二、“非等可能”和“等可能”［1］

例1（古典概型）：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求出現(xiàn)“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率。

錯(cuò)解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有（正，正）、（正，反）、（反，反）共3種結(jié)果，所以

剖析：錯(cuò)誤的原因是以上3種結(jié)果不是等可能發(fā)生的，（正，反）包括（正，反）和

（反，正）兩種不同的情況，從而得出錯(cuò)誤的概率。

正解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有（正，正）、（正，反）、（反，正）、

例2（幾何概型）：在等腰RtΔABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM與線段AB交于點(diǎn)M，求AM ＜AC的概率。［1］［2］

錯(cuò)解：由于點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故可以認(rèn)為點(diǎn)M落在線段AB上任一點(diǎn)是等可能的，可以將長度作為測度。在線段

AB上截取AC＇＝AC＇。當(dāng)點(diǎn)M位于線段AC＇上時(shí)，AM＜AC

剖析：該解法錯(cuò)誤的原因也是不滿足等可能性。證明如下：以C為圓心，AC為半徑作四分之一圓，H為弧AB的中點(diǎn)，連結(jié)CH交AB于G，取弧AH的中點(diǎn)Q，連結(jié)CQ交AG于P，連結(jié)PH，則CH⊥AB，∠ACQ＝∠HCQ．又CA＝CH，CP＝CP，所以ΔHPC?ΔAPC，所以AP＝HP．在RtΔGHP中，HP＞GP，所以AP＞GP．也就是說當(dāng)射線CM在∠ACB內(nèi)部均勻分布時(shí)，所對應(yīng)的點(diǎn)M在線段AB上卻不是均勻分布的。

正解：在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在任何位置都是等可能的，在AB上取AC／＝AC，則∠ACC／＝67．5°，故滿足條件的概率為

三、“有序”和“無序”

例1、從5名乒乓球隊(duì)員中選3人參加團(tuán)體比賽，其中甲在乙前出場的概率為（ ）

剖析：題中“甲在乙前出場”已經(jīng)暗示了此題應(yīng)作為有序問題處理，所以此解法錯(cuò)誤的原因是把有序當(dāng)無序。

例2：從10件產(chǎn)品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。錯(cuò)解：從10件取4件共有種取法，設(shè)A＝“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有種結(jié)果，所以

剖析：在處理概率問題時(shí)，有些問題可以按“有序”處理，也可按“無序”處理，但處理時(shí)必須保證分子和分母的統(tǒng)一性。而該錯(cuò)解計(jì)算事件A所含基本事件的個(gè)數(shù)是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序；而計(jì)算基本事件的總數(shù)時(shí)是用排列的方法，即考慮了抽取的順序。

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正解：（1）都用排列方法

（2）都用組合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，總共含有個(gè)基本事件，A包含有個(gè)基本事件。

點(diǎn)評(píng)：碰到抽取問題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，確定是“有序問題”還是“無序問題”，如果是可有可無的順序問題，在實(shí)際處理時(shí)，必須保證分子和分母的統(tǒng)一性

四、“互斥”和“對立”

例：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩事件是（ ）

A．至少有1個(gè)白球與都是白球 B．至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)紅球

C．至少有1個(gè)白球與都是紅球 D．恰有1個(gè)白球與恰有2個(gè)紅球

錯(cuò)解：C

剖析：本題錯(cuò)誤在于把“互斥”與“對立”混同，要準(zhǔn)確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對立概念只適用于兩個(gè)事件；

（3）兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生。

正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，也可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)選C。

點(diǎn)評(píng)：該錯(cuò)解除了讓學(xué)生搞清對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別之外，也讓他們知道判斷兩事件的關(guān)系，應(yīng)先判斷兩者是否互斥，若不互斥，則肯定也不對立；若互斥，則進(jìn)一步判斷它們是否對立。

五、“互斥”和“相互獨(dú)立”

例：甲投籃命中率為0．8，乙投籃命中率為0．7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯(cuò)解：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，

剖析：本題錯(cuò)誤原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成了互斥事件。

正解：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件A×B，于是P（A×

點(diǎn)評(píng)：“互斥”和“相互獨(dú)立”是不同的概念，互斥事件是指同一試驗(yàn)下的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生與否沒有影響，這兩個(gè)事件事件是兩次或更多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的，它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同的。而且兩者的概率公式也不同：若A、B為互斥事件，則P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；若A、B相互獨(dú)立，則P（AB）＝P（A）P（B）。

六、“條件概率”與“積事件的概率”［2］

例1、100件產(chǎn)品中有10件次品，隨機(jī)不放回取兩次，每次取一件，求在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率．

錯(cuò)解：設(shè)第一次取得正品為事件A，第二次取得正品為事件B，則在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品為事件AB，所以所求的概率為

剖析：解題的錯(cuò)誤是由于對條件概率的定義理解不深刻，“第一次取得正品后第二次又取得正品的概率”與“在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率”的意義是不相同的，前者是積事件的概率，而后者的意思是在第一次取得正品已經(jīng)預(yù)先發(fā)生的條件下，再來進(jìn)行第二次試驗(yàn)而取得正品的條件概率．

例2、袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．

錯(cuò)解：記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，則

剖析：本題錯(cuò)誤也是在于對積事件的概率與條件概率的含義沒有弄清，對“第二次才取到黃球”這一事件，并不是“第一次取到白球”已經(jīng)預(yù)先發(fā)生，而是與“第二次取到黃球”同時(shí)發(fā)生，所以它不是條件概率而是積事件的概率．

正解：第二次才取到黃球的概率為 P（C）＝P（AB）＝P（A）·

點(diǎn)評(píng)：條件概率與積事件概率本來是意義非常明確的兩個(gè)不同概念，但是初學(xué)者在一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的問題中卻往往將這兩種概率張冠李戴，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果．對此，筆者在多年的教學(xué)中感到這是概率中解題差錯(cuò)率較高的部分，應(yīng)予足夠的重視。事實(shí)上，設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)對應(yīng)的樣本空間Ω中的兩個(gè)事件。必須注意：P（A1A2）是A1，A2同時(shí)發(fā)生的概率，而是在A已經(jīng)發(fā)生的條件下，A2發(fā)生的概率。從樣本空間的角度來看，這兩種事件所對應(yīng)的樣本空間發(fā)生了改變，求P（A1A2）時(shí)，我們?nèi)栽谠瓉淼碾S機(jī)試驗(yàn)所對應(yīng)的樣本空間Ω進(jìn)行討論；求時(shí)，所考慮的樣本空間就不是Ω了，這是因?yàn)榍疤釛l件中已經(jīng)知道了一個(gè)條件（即A1已發(fā)生）。這樣所考慮的樣本空間的范圍必然縮小了。因此。事件“A1A2”與事件“”是兩種截然不同的事件，但它們也不是一點(diǎn)聯(lián)系都沒有，乘法公式就給出了這兩種事件概率之間的聯(lián)系。

通過對上述問題的錯(cuò)解剖析，可以看到概念在解題中有著不可忽視的作用，這就要求教師自身要加強(qiáng)概率中概念的學(xué)習(xí)和反思，真正的將抽象的概率知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的概念知識(shí)。同時(shí)在教學(xué)中，要善于利用教材中的典型例題，讓學(xué)生能看到一般概念的實(shí)際背景，弄清知識(shí)的來龍去脈，將不同概念區(qū)別開來。［3］［4］

參考文獻(xiàn)：

［1］彭錦平．高中立體幾何解題教學(xué)研究與實(shí)踐．［J］湖南師范大學(xué)．2015－06－01

［2］星漢．高中概率題中的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用［J］科學(xué)大眾（科學(xué)教育）．2017－02－20

［3］顧澤多．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)過程中解題思路初探研究［J］教育現(xiàn)代化．2017－12－11

［4］曾劍明．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生主體參與意識(shí)的教學(xué)策略［J］教育現(xiàn)代化．2017－12－11