廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800) 李桃

本文探討的“一邊一角”問題,指的是在三角形的一個角、及其對邊確定的情境下,研究某些量的最值問題.該類問題常作為客觀題的壓軸題出現(xiàn),難度較大.本文精選出多個典型題,并給出的解答,以饗讀者.

題1(2017屆高三廣州市模擬考試16題)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,則△ABC的周長的取值范圍是____.

解析利用余弦定理,將2cosC+c=2b化簡可得b2+c2?bc=1,所以cosA=.又因為a=1,符合“一邊一角”的問題情境,借助外接圓直觀分析.如圖1所示,其中 ∠A1CB= ∠A2BC=90°,點P是優(yōu)弧BC的中點,圓O是△ABC的外接圓.

圖1

點A在弧A1A2上運動時(不包含A1和A2),滿足△ABC是銳角三角形的要求.當(dāng)點A在A1或A2時,周長取最小值,當(dāng)點A運動到點P時,周長達到最大值3,因此銳角△ABC周長的取值范圍為

題2(2014年全國1卷理16題)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC,則△ABC面積的最大值為___.

解析由a=2且(2+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC,即(a+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC,由正弦定理得:(a+b)(a?b)=(c?b)c,所以b2+c2?a2=bc,故,所以 ∠A=60°.此時,角 A及對邊a確定,符合“一邊一角”的問題情境.聯(lián)想到圖1.△ABC面積(ha表示邊BC上的高),我們?nèi)菀字?當(dāng)點A運動到點P時,ha最大為所以面積最大值為

題3在△ABC中,A=60°,BC=2,則BC邊上的中線最大值為____.

解析如圖2所示,其中D是BC中點,O是外接圓圓心,PD⊥BC,圓O是△ABC的外接圓,AD為BC邊上的中線,AO+OD＞AD.所以,當(dāng)點A運動到點P時,中線有最大值PD,PD=R+OD=

圖2

變式在△ABC中,A=120°,BC=2,則 BC 邊上的中線最小值為___.

解析如圖3所示,其中D是BC中點,O是外接圓圓心,PD⊥BC,圓O是△ABC的外接圓,AD為BC邊上的中線,AD+DO＞AO=R.所以,當(dāng)點A運動到點P時,中線有最小值PD,PD=

圖3

題4(2017屆廣州市高中畢業(yè)班綜合測試(二)理16題)在平面四邊形ABCD中,連接對角線BD,已知CD=9,,則對角線AC的最大值為____.

解析對角線要更長,則角A應(yīng)該取銳角.如圖4所示,圓O是△ABD的外接圓,,點 A在優(yōu)弧BD(不包括端點)上運動.AO+OC ＞ AC.當(dāng)點A運動到點P時,對角線有最大值PC,PC=R+OC.在 △ODC 中,cos∠ODC=.由余弦定理可得,OC=17,所以PC=27.

圖4

題5(2016年河北省唐山市第二次模擬試題12題)在等邊三角形ABC中,M為三角形ABC內(nèi)一動點,∠BMC=120°,則的最小值是()

圖5

解析△BMC的∠BMC及對邊BC確定,所以其外接圓確定,.如圖5所示,圓O是△BMC的外接圓,點M 在劣弧BC(不包括端點)上運動.延長AM交圓O于N,連接CN.易知 ∠ACM= ∠MBC= ∠ANC,又∠NAC是公共角,則△AMC與△ANC相似,故.顯然,當(dāng)CN 最大時,分式有最小值.可知,CN 最大值為2R,AC=BC,所以最小值為

本文所借助的外接圓,實質(zhì)上利用的是正弦定理的幾何意義.這樣的解法可算得上是“神來之筆”.但是,我們要注意,直觀分析的方法局限于解客觀題.對于“一邊一角”的解答題,可由正弦定理的代數(shù)變形,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

[1]李桃.一道模擬試題的解法分析及推廣應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2017,2(上).