蔡忠義, 項(xiàng)華春, 王 攀, 王澤洲, 李 超

(空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

貯存壽命是導(dǎo)彈的一項(xiàng)重要戰(zhàn)技指標(biāo),關(guān)系到導(dǎo)彈的戰(zhàn)備完好性和快速反應(yīng)能力。通常情況下,導(dǎo)彈在貯存期內(nèi)發(fā)生的失效是彈上多部件退化失效和突發(fā)失效之間競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果[1]。長(zhǎng)期修理經(jīng)驗(yàn)表明,貯存期內(nèi)彈上關(guān)鍵部件的失效占導(dǎo)彈失效的比例很高。通過(guò)對(duì)彈上部件的性能參數(shù)進(jìn)行定期測(cè)試、分析與評(píng)估,可以評(píng)估導(dǎo)彈的健康狀態(tài)[2-3]。關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)失效下多元退化建模研究可分為兩部分。

一是多元退化建模,即對(duì)多個(gè)性能參數(shù)的產(chǎn)品進(jìn)行退化建模[4-5],常見(jiàn)的處理方法有兩種。①將產(chǎn)品多個(gè)性能參數(shù)融合為一個(gè)可以描述產(chǎn)品一個(gè)整體退化狀態(tài)的性能參數(shù),一般可采用貝葉斯線性模型[6]、狀態(tài)空間模型[7-8]、支持向量機(jī)[9-10]等,建立產(chǎn)品的整體退化狀態(tài)與多個(gè)性能參數(shù)之間的關(guān)系模型。文獻(xiàn)[6]采用貝葉斯線性模型,建立了多個(gè)測(cè)試參數(shù)與其累計(jì)退化量之間的線性關(guān)系,但對(duì)于多個(gè)參數(shù)與退化量之間的非線性關(guān)系就難以適用。②直接建立多個(gè)性能參數(shù)的聯(lián)合壽命分布模型[11-12]。一般采用Copula函數(shù)[13-14]、多元正態(tài)分布[15]等,描述多個(gè)性能參數(shù)之間的相關(guān)性,Copula函數(shù)一般只適用于二元相關(guān)性退化建模。文獻(xiàn)[15]采用多元正態(tài)分布來(lái)描述多個(gè)性能參數(shù)之間的相關(guān)性,但使用前提是各性能參數(shù)的邊際分布為正態(tài)分布且存在線性相關(guān)性。

二是退化失效與突發(fā)失效之間的競(jìng)爭(zhēng)失效建模[16]。按照這兩種失效模式之間是否獨(dú)立,可分為兩種情況。一種是兩種失效模式之間獨(dú)立的研究[14,17],將產(chǎn)品的可靠性模型看作是簡(jiǎn)單的串聯(lián)模型,會(huì)降低導(dǎo)彈貯存可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確性；另一種是產(chǎn)品的突發(fā)失效受其性能退化影響的研究,一般采用比例危險(xiǎn)模型[18-19]、位置-尺度模型[20]、退化閾值-沖擊(degradation threshold-shock,DTS)模型[21]等,描述性能退化對(duì)突發(fā)失效率的定量影響關(guān)系,進(jìn)而建立退化失效與突發(fā)失效之間的相關(guān)性競(jìng)爭(zhēng)模型。文獻(xiàn)[21]采用DTS模型,建立了突發(fā)失效與性能退化、環(huán)境因素之間的定量關(guān)系模型,評(píng)估精度高,但建模過(guò)程較復(fù)雜。

因此,本文首先分析導(dǎo)彈失效模式,建立導(dǎo)彈競(jìng)爭(zhēng)失效模型;然后引入狀態(tài)空間模型,將彈上多個(gè)關(guān)鍵部件特征電壓轉(zhuǎn)化為一個(gè)整彈退化程度;最后采用多個(gè)隨機(jī)過(guò)程模型,建立整彈退化程度數(shù)據(jù)的退化模型;采用比例危險(xiǎn)模型,建立考慮性能退化影響的突發(fā)失效模型。

1 競(jìng)爭(zhēng)失效建模

1.1 基本假設(shè)

(1) 導(dǎo)彈失效是多個(gè)關(guān)鍵部件退化失效與突發(fā)失效之間競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果,多個(gè)關(guān)鍵部件退化數(shù)據(jù)可通過(guò)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為整彈退化程度數(shù)據(jù)。

(2) 導(dǎo)彈在貯存期內(nèi)定期進(jìn)行測(cè)試時(shí),激勵(lì)信號(hào)無(wú)輸出或超出規(guī)定范圍,則判斷為突發(fā)失效,此次測(cè)試時(shí)間記為突發(fā)失效時(shí)間。

(3) 導(dǎo)彈突發(fā)失效時(shí)間服從Weibull分布,突發(fā)失效率與當(dāng)前時(shí)刻的退化程度有關(guān)。

1.2 競(jìng)爭(zhēng)失效模型

導(dǎo)彈貯存期內(nèi)失效是彈上多部件退化失效與突發(fā)失效相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果。通過(guò)分析導(dǎo)彈返廠修理情況,發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈中的轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)、穩(wěn)壓器、電源組件、陀螺儀等部件失效是整彈貯存失效的關(guān)鍵因素[22]。因此,選定這4個(gè)部件作為評(píng)估整彈健康狀態(tài)的關(guān)鍵部件。根據(jù)電子產(chǎn)品技術(shù)特點(diǎn),選定特征電壓作為上述部件的關(guān)鍵性能參數(shù)。通過(guò)定期測(cè)試貯存期內(nèi)導(dǎo)彈關(guān)鍵部件的特征電壓來(lái)估計(jì)出整彈退化程度。因此,導(dǎo)彈的失效時(shí)間T可表示為

T=min{Td,Tr}

(1)

式中,Td為導(dǎo)彈退化失效時(shí)間,可通過(guò)整彈退化程度數(shù)據(jù)估計(jì)出;Tr為導(dǎo)彈突發(fā)失效時(shí)間。

則在退化失效與突發(fā)失效的相關(guān)性競(jìng)爭(zhēng)失效場(chǎng)合下,貯存期(0,t]內(nèi)導(dǎo)彈可靠度R(t)可表示為

R(t)=P{T>t}=P{Td>t,Tr>t}=

P{Tr>t|Td>t}·P{Td>t}=Rr|d(t)·Rd(t)

(2)

式中,Rr|d(t)表示未發(fā)生退化失效條件下Tr的條件可靠度;Rd(t)為Td的可靠度。

導(dǎo)彈平均壽命ξ可表示為

(3)

2 多元退化失效建模

用彈上多個(gè)關(guān)鍵部件特征電壓數(shù)據(jù)來(lái)推斷出整彈退化狀態(tài),可視為多元退化建模問(wèn)題,其處理思路是先將多維部件特征電壓轉(zhuǎn)化為一個(gè)整彈退化參數(shù),然后采用一元隨機(jī)過(guò)程模型對(duì)轉(zhuǎn)化后整彈退化程度數(shù)據(jù)進(jìn)行退化建模。

2.1 將多部件特征電壓轉(zhuǎn)化為整彈退化參數(shù)

將引入狀態(tài)空間模型[8],利用彈上關(guān)鍵部件的特征電壓的定期測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)建整彈狀態(tài)特征矩陣,通過(guò)計(jì)算整彈正常狀態(tài)與當(dāng)前退化狀態(tài)之間相似程度,得到整彈的退化程度。

(1)構(gòu)建狀態(tài)特征矩陣

將測(cè)試得到的彈上關(guān)鍵電子產(chǎn)品的特征電壓作為其狀態(tài)信息,構(gòu)建特定狀態(tài)下導(dǎo)彈的狀態(tài)特征矩陣,表達(dá)式為

(4)

式中,X為狀態(tài)特征矩陣;xj=(x1j,x2j…,xnj)T為特征矢量;xij為第i(i=1,2,…,n)個(gè)特征在時(shí)刻j(j=1,2,…,m)的狀態(tài)數(shù)據(jù);n為特征個(gè)數(shù);m為測(cè)試點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(2) 建立狀態(tài)子空間

正常狀態(tài)與退化狀態(tài)下,導(dǎo)彈的狀態(tài)特征矩陣所蘊(yùn)含的狀態(tài)信息不同,表現(xiàn)在兩種狀態(tài)下的導(dǎo)彈狀態(tài)子空間存在一定的差異。采用核主成分分析法,從狀態(tài)特征矩陣中建立狀態(tài)子空間,具體如下:

利用非線性映射φ(·),將狀態(tài)特征矩陣X映射到高維特征空間F中,即

Xaφ(·):

φ(X)=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)]

(5)

式中,φ(X)表示F中狀態(tài)特征矩陣;φ(xj)(j=1,2,…,m)表示對(duì)應(yīng)于特征矢量xj的非線性特征矢量。

核主成分分析的特征方程為

mhα=Kα

(6)

式中,α為權(quán)向量;h為φ(X)的協(xié)方差矩陣C的特征值;K為核矩陣,其定義如下:

Kij=〈φ(xi),φ(xj)〉=k(xi,xj)

(7)

式中,i,j=1,2,…,m;k(·)為核函數(shù)。

本文采用高斯核函數(shù),形式為

(8)

由式(6)計(jì)算出權(quán)向量α。

將協(xié)方差矩陣C的特征向量δ歸一化處理,得到其正交基向量ω,表達(dá)式為

(9)

選擇較大的特征值h所對(duì)應(yīng)的ω,建立狀態(tài)子空間S,即

S=span(ω1,ω1,…,ωr)

(10)

式中,r為狀態(tài)子空間維數(shù)。

(3) 計(jì)算子空間主夾角

設(shè)正常狀態(tài)下導(dǎo)彈的狀態(tài)子空間為S0,退化狀態(tài)下導(dǎo)彈的狀態(tài)子空間為S1,則S0與S1之間的相似性可通過(guò)子空間正交基向量之間的主夾角表示。主夾角越大,兩者之間的相似性越小。將基向量?jī)?nèi)積矩陣記為W,表示為

(11)

對(duì)(11)進(jìn)行奇異值求解,得到d個(gè)特征值κ1,κ2,…,κd,則主夾角θi表示為

θi=arccosκi,i=1,2,…,d

(12)

(4) 計(jì)算整彈退化程度

由式(12)可知,θi∈[0,π/2],θi越大,說(shuō)明S0與S1之間的相似性越小,導(dǎo)彈性能退化程度越大。由于最小的主夾角反映了兩個(gè)子空間最主要的相似性信息,因此將整彈退化程度Y定義為最小主夾角的正弦值,表示為

Y=sin[min(θi)]

(13)

2.2 退化模型

將導(dǎo)彈的退化程度Y(t)看作成一個(gè)隨機(jī)變量,擬采用一元Wiener、Gamma和Inverse-Gaussian過(guò)程進(jìn)行退化建模。

假設(shè)Y(t)服從Wiener過(guò)程,即

Y(t)=Y(0)+uΛ(t)+σB(Λ(t))

(14)

式中,u為漂移系數(shù);σ為擴(kuò)散系數(shù);B(·)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);Λ(t)為時(shí)間t的函數(shù),表征Y(t)在時(shí)間軸上的非線性特征;Y(0)為初始退化量,不失一般性情況下,令Y(0)=0。

根據(jù)Wiener過(guò)程性質(zhì),獨(dú)立平穩(wěn)增量ΔY(t)服從正態(tài)分布,即ΔY(t)～N(uΔΛ(t),σ2ΔΛ(t)),其中ΔY(t)=Y(t+Δt)-Y(t);ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t),則Y(t)的概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)為

(15)

設(shè)Y(t)退化失效閾值為D,Y(t)首次達(dá)到D的時(shí)間TD定義為TD=inf{t|Y(t)≥D},則TD服從Inverse-Gaussian分布,可推導(dǎo)出TD的可靠度函數(shù)為

(16)

當(dāng)Y(t)服從Gamma過(guò)程,則ΔY(t)服從Gamma分布,即ΔY(t)～Ga(uΔΛ(t),σ),其中u,σ分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù),則Y(t)的概率密度函數(shù)為

(17)

同理推導(dǎo)出TD的可靠度函數(shù)為

(18)

當(dāng)Y(t)服從Inverse-Gaussian過(guò)程,則ΔY(t)服從Inverse-Gaussian分布,即ΔY(t)～I(xiàn)G(uΔΛ(t),σΔΛ(t)2),其中u,σ分別為均值和尺度參數(shù),則Y(t)的PDF為

(19)

同理推導(dǎo)出TD的可靠度函數(shù)為

(20)

2.3 參數(shù)估計(jì)

現(xiàn)有M枚導(dǎo)彈進(jìn)行定期測(cè)試,測(cè)試時(shí)刻tij(i=1,2,…,M;j=1,2,…,Mi)處的退化程度記為Y(tij)。不失一般性情況下,令上述退化模型中Λ(t)=tc(c>0為待定常數(shù)),將未知參數(shù)集合記為θ1=(u,σ,c)。根據(jù)Y(t)的PDF,建立整彈退化程度數(shù)據(jù)樣本的似然函數(shù)如下:

(21)

若Y(t)服從Wiener過(guò)程,將式(15)代入式(21),可得

(22)

分別令式(22)關(guān)于u,σ2的一階偏導(dǎo)數(shù)為零,求得u,σ2的極大似然估計(jì):

(23)

(24)

由于式(23)、式(24)的求解依賴于c的取值,采用兩步極大似然估計(jì)法[23],借助Matlab軟件中的fminsearch函數(shù)可解決此問(wèn)題。

當(dāng)Y(t)服從Gamma過(guò)程和Inverse-Gaussian過(guò)程時(shí),同理求解出θ1估計(jì)值以及對(duì)應(yīng)的lnL(θ1)值。將赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion,AIC)作為選擇Y(t)的隨機(jī)過(guò)程類型的判斷準(zhǔn)則,即將AIC取最小值所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程作為Y(t)的最優(yōu)隨機(jī)過(guò)程類型。其計(jì)算公式為

AIC=2p-2lnL(·)

(25)

式中,p為未知參數(shù)個(gè)數(shù)。

3 突發(fā)失效建模

3.1 突發(fā)失效模型

導(dǎo)彈為典型的機(jī)電一體化產(chǎn)品,一般認(rèn)為其突發(fā)失效時(shí)間Tr服從雙參數(shù)威布爾分布,則不考慮性能退化影響的突發(fā)失效率函數(shù)λr0(t)為

(26)

式中,m為形狀參數(shù);η為尺度參數(shù)。

采用比例危險(xiǎn)模型[19],描述突發(fā)失效率與時(shí)間、整彈退化程度之間的正相關(guān)函數(shù)關(guān)系。假設(shè)到時(shí)刻t時(shí)導(dǎo)彈仍未失效,此時(shí)導(dǎo)彈突發(fā)失效率記為λr[t,Y(t)],可表示為

λr[t,Y(t)]=λr0(t)·q(Y(t))

(27)

式中,λr0(t)為q(Y(t))=1時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)危險(xiǎn)函數(shù);q(Y(t))≥1為比例系數(shù),其常用函數(shù)形式為q(Y(t))=exp(βY(t)),其中β為待定系數(shù)。

為保證t時(shí)刻導(dǎo)彈不發(fā)生退化失效(即未達(dá)到失效閾值D),將式(27)改寫(xiě)為

(28)

在未發(fā)生退化失效條件下Tr的條件可靠度函數(shù)和條件PDF分別為

(29)

fr|d(t)=λr[t,Y(t)]·Rr|d(t)

(30)

3.2 參數(shù)估計(jì)

現(xiàn)有N枚導(dǎo)彈發(fā)生突發(fā)失效,突發(fā)失效時(shí)刻分別記為t1,t2,…,tN,對(duì)應(yīng)的退化程度分別記為Y(t1),Y(t2),…,Y(tN)。將上述模型中未知參數(shù)集合記為θ2=(m,η,β)。根據(jù)fr|d(t),建立導(dǎo)彈突發(fā)失效樣本的似然估計(jì)函數(shù)為

(31)

對(duì)于上述似然函數(shù)同樣是采用兩步極大似然估計(jì)法進(jìn)行求解,即先確定β,再求解m,η。

4 實(shí)例分析

已知現(xiàn)有一批16枚某型導(dǎo)彈,貯存期為8年,每半年測(cè)試彈上轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)、穩(wěn)壓器、電源組件、陀螺儀這4個(gè)關(guān)鍵產(chǎn)品的特征電壓情況。其中,一組彈上關(guān)鍵部件特征電壓數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)規(guī)范,當(dāng)部件的特征電壓值漂移量超過(guò)±10%時(shí),則判定為退化失效;當(dāng)部件的特征電壓為0或者超過(guò)1倍,則判定導(dǎo)彈突發(fā)失效。

為便于對(duì)比分析,將本文提出的退化失效與突發(fā)失效之間相關(guān)的競(jìng)爭(zhēng)建模方法記為M1;將退化失效與突發(fā)失效之間獨(dú)立的競(jìng)爭(zhēng)建模方法記為M2;將僅考慮退化失效建模方法記為M3。

表1 某導(dǎo)彈關(guān)鍵部件的特征電壓值

4.1 整彈退化程度計(jì)算

根據(jù)失效判據(jù)可知,在測(cè)試期內(nèi)這批導(dǎo)彈中有6枚導(dǎo)彈發(fā)生突發(fā)失效,采用狀態(tài)空間模型,計(jì)算出突發(fā)時(shí)間時(shí)整彈退化程度值如表2所示。

表2 導(dǎo)彈突發(fā)失效時(shí)的退化程度

采用狀態(tài)空間模型,計(jì)算出余下10枚整彈退化程度數(shù)據(jù)如圖1所示。根據(jù)退化失效判據(jù),計(jì)算出導(dǎo)彈退化失效時(shí)的整彈退化程度值為4.120,即失效閾值D。由此可知,這10枚導(dǎo)彈中有3枚導(dǎo)彈退化失效(圖1中藍(lán)線退化軌跡),失效時(shí)間分別為7、8、8年。

圖1 10枚整彈退化程度數(shù)值曲線Fig.1 Ten missiles degradation degree value curves

4.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

依據(jù)10枚整彈退化程度數(shù)據(jù),給定θ1中參數(shù)c的初值為1.10,利用fminsearch函數(shù),對(duì)式(21)進(jìn)行遍歷搜索,得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 退化模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表3可以看出,Y(t)服從Wiener過(guò)程時(shí),計(jì)算出的AIC值最小,說(shuō)明Y(t)最優(yōu)隨機(jī)過(guò)程類型是Wiener過(guò)程。經(jīng)置信水平為0.95的正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn),接受整彈退化程度增量ΔY(t)服從正態(tài)分布的結(jié)論,進(jìn)一步說(shuō)明整彈退化程度服從Wiener過(guò)程是可信的。

依據(jù)6枚導(dǎo)彈突發(fā)失效時(shí)間及對(duì)應(yīng)的退化程度數(shù)據(jù),給定θ2中參數(shù)β的初值為0.25,利用fminsearch函數(shù),對(duì)式(31)進(jìn)行遍歷搜索,得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果為

(32)

經(jīng)置信水平為0.95的威布爾分布假設(shè)檢驗(yàn),接受導(dǎo)彈突發(fā)失效時(shí)間服從威布爾分布的結(jié)論。

4.3 貯存壽命評(píng)估分析

根據(jù)上述參數(shù)估計(jì)值,由式(2)計(jì)算出競(jìng)爭(zhēng)失效場(chǎng)合下導(dǎo)彈貯存可靠性函數(shù)R(t),繪制出不同方法下導(dǎo)彈貯存可靠度曲線如圖2所示。與M2、M3的可靠度曲線相比,M1的可靠度曲線偏保守,符合工程上的做法。

圖2 3種方法下可靠度曲線Fig.2 Reliability curve by three methods

根據(jù)這批導(dǎo)彈所記錄的失效時(shí)間或截尾時(shí)間,計(jì)算出這批導(dǎo)彈的貯存壽命統(tǒng)計(jì)值,即

式中,Tr,Td,tn分別為突發(fā)失效時(shí)間、退化失效時(shí)間、測(cè)試截止時(shí)間;rr,rd分別為突發(fā)、退化失效數(shù)。

實(shí)際上,由于導(dǎo)彈失效時(shí)間應(yīng)該是介于當(dāng)前測(cè)試失效時(shí)間與上一次測(cè)試時(shí)刻之間,因此ξ*值應(yīng)在[12.61，13.11]。

圖3 不同方法下導(dǎo)彈貯存剩余壽命值Fig.3 Missile storage remaining life by different methods

5 結(jié) 論

(1)引入狀態(tài)空間模型,將多維部件特征電壓轉(zhuǎn)化為一維整彈退化參數(shù),采用多個(gè)隨機(jī)過(guò)程模型對(duì)整彈退化程度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,將AIC值最小所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程模型作為其最優(yōu)選擇,能較好地?cái)M合整彈退化程度的退化特征;

(2)采用比例危險(xiǎn)模型,建立了考慮整彈退化程度影響的導(dǎo)彈突發(fā)失效模型,能客觀描述導(dǎo)彈性能退化對(duì)其突發(fā)失效的影響;

(3)采用兩步極大似然估計(jì)法,借助fminsearch函數(shù),求解出模型中多個(gè)參數(shù)估計(jì)值,為解決參數(shù)個(gè)數(shù)多于方程組個(gè)數(shù)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題提供了一種可行途徑。

(4)結(jié)合某批次導(dǎo)彈貯存實(shí)例,評(píng)估了導(dǎo)彈的平均壽命與剩余壽命值,并與現(xiàn)有方法的評(píng)估結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析,進(jìn)一步證實(shí)了本文所提出方法具有較好的評(píng)估精度,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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