張志勇 劉立輝 王 濤 段婧婧 田冠鎖 周 軍 潘建業(yè) 王 魁 王占濤

(1.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076； 2.北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100076)

1 引 言

飛行器在發(fā)射前通過外部定向瞄準(zhǔn)系統(tǒng)或自主對(duì)準(zhǔn)、傳遞對(duì)準(zhǔn)獲得自身慣性導(dǎo)航裝置測(cè)量坐標(biāo)系的初始方位角，這一過程常被廣義簡(jiǎn)稱為瞄準(zhǔn)。瞄準(zhǔn)精度不僅在飛行器純慣性導(dǎo)航飛行狀態(tài)下直接影響落點(diǎn)精度，即使在組合導(dǎo)航狀態(tài)下也與飛行器修正能力、末制導(dǎo)尋的能力等直接相關(guān)。

鑒于瞄準(zhǔn)結(jié)果對(duì)飛行器正確飛行的重要性，在研制階段，需要進(jìn)行充分的地面試驗(yàn)以驗(yàn)證飛行器系統(tǒng)具備的瞄準(zhǔn)精度；在執(zhí)行發(fā)射任務(wù)時(shí)，對(duì)于飛行器臨射前獲得的瞄準(zhǔn)數(shù)據(jù)，無論源自外部方位基準(zhǔn)還是自對(duì)準(zhǔn)，通常也均采取進(jìn)一步措施來保證其值在合格范圍內(nèi)。

2 瞄準(zhǔn)誤差的概率分布

飛行器的瞄準(zhǔn)誤差是隨機(jī)的。自然世界中隨機(jī)變量的分布規(guī)律多種多樣，正態(tài)(常態(tài))分布(normal distribution)(又名高斯分布(Gaussian distribution))是其中表現(xiàn)最為廣泛的一種形式，是自然科學(xué)研究的一個(gè)便捷模型。許多物理現(xiàn)象都被發(fā)現(xiàn)近似服從正態(tài)分布，盡管這些現(xiàn)象的根本原因經(jīng)常是未知的，理論上可以證明如果把許多微小作用疊加起來看作一個(gè)變量，那么這個(gè)變量服從正態(tài)分布(R.N.Bracewell在《Fourier transform and its application》中進(jìn)行了簡(jiǎn)單證明)；正態(tài)分布是一些離散分布和連續(xù)分布的極限分布[1]。

對(duì)于飛行器射前瞄準(zhǔn)結(jié)果，既可以源自簡(jiǎn)單的光學(xué)直接瞄準(zhǔn)，也可以由復(fù)雜的地面設(shè)備與飛行器上設(shè)備的測(cè)量數(shù)據(jù)綜合解算得到。為此選取兩種系統(tǒng)的實(shí)裝試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析瞄準(zhǔn)誤差與正態(tài)分布的相合性。

2.1 簡(jiǎn)單形式的光學(xué)直接瞄準(zhǔn)誤差

這一瞄準(zhǔn)形式為有依托陣地地面光學(xué)瞄準(zhǔn)儀器對(duì)準(zhǔn)飛行器導(dǎo)航裝置瞄準(zhǔn)棱鏡，涉及輸入量不到10個(gè)；標(biāo)準(zhǔn)值由基于相同原理的高精度儀器獲得。

試驗(yàn)使用多臺(tái)不同裝備，由不同人員，在不同地點(diǎn)、不同季節(jié)和時(shí)段開展，累計(jì)進(jìn)行93次瞄準(zhǔn)操作，解算獲得瞄準(zhǔn)誤差結(jié)果數(shù)據(jù)如下：

exS= [-12.2, 13.4, 28.6, 21.3, 21.1, 11.5, -0.1, -26.2, -17.7, -12.6, -5.3, -10.4, -39.0, -14.1, -14.0, 31.4, 12.3, 19.4, 17.2, 1.3, -13.3, -3.7, 55.4, -23.5, -17.6, -8.7, 5.7, -5.3, 11.2, -10.8, -18.8, 13.2, 1.8, -5.8, 7.7, 1.9, 16.7, 54.5, 55.3, 34.8, 28.7, 11.1, -37.2, -35.4, 2.2, -3.3, -5.6, 3.8, -2.5, -12.0, 2.9, 18.5, -9.1, -5.0, -3.1, -2.0, 23.9, 19.6, 4.6, 21.9, -4.1, -13.0, 22.9, 17.6, -11.6, -7.5, 3.2, -39.9, 15.2, 37.0, 3.2, 0.0, 29.8, 7.3, 3.7, 11.7, -38.8, -23.3, -23.5, 7.0, -4.3, 8.1, -6.0, 10.6, 0.3, -7.3, 10.4, -3.6, 4.2, 5.7, -5.3, -8.4, -11.5]

采用兩種方法對(duì)該樣本對(duì)應(yīng)的總體分布是否符合正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.1.1χ2檢驗(yàn)

設(shè)瞄準(zhǔn)誤差總體對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量ξS，其概率分布為F(x)。前述exS則為其中一個(gè)樣本的觀測(cè)量，其樣本均值MexS=2.0，樣本方差VexS=370.0。

檢驗(yàn)假設(shè)H0：ξS～ N(2.0, 370.0)，即

取6個(gè)分點(diǎn)將總體ξS分為 (-∞,t1], (t1,t2], (t2,t3],…, (t9, +∞)共7個(gè)區(qū)間，記Pi(i= 1,2,…,7)為總體ξS取值落入第i個(gè)區(qū)間的概率。

對(duì)于N(2.0, 370.0)，取

t1=-20,t2=-10,t3=0,t4=10,t5=20,t6=30

有

P1=0.126 4,P2=0.140 0,P3=0.192 2,P4=0.202 7,

P5=0.164 0,P6=0.101 9,P7=0.072 7

記mi為樣本觀測(cè)值exS落入第i個(gè)區(qū)間的頻數(shù)，有

m1=9,m2=14,m3=22,m4=18,m5=16,

m6=8,m7=6

建立統(tǒng)計(jì)量

(2)

取顯著性水平α=0.05，拒絕域?yàn)?/p>

(3)

而由(2)式有

χ2|exS=2.061 4

2.1.2 圖形檢驗(yàn)

建立前述樣本觀測(cè)值exS的分位數(shù)圖(QQ圖)，也可以直觀地看出簡(jiǎn)單形式瞄準(zhǔn)誤差是服從正態(tài)分布的。與按N(2.0, 370.0)生成隨機(jī)值建立的QQ圖比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)論。如圖1所示。

使用正態(tài)分布概率密度紙繪制簡(jiǎn)單形式瞄準(zhǔn)誤差樣本，同樣支撐前述結(jié)論。如圖2所示。

(a) 簡(jiǎn)單形式瞄準(zhǔn)誤差樣本(a) Simple pattern alignment error sample

(b) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)樣本(b) Standard normal random sample

圖2 正態(tài)分布概率密度紙繪制簡(jiǎn)單形式瞄準(zhǔn)誤差樣本Fig.2 Simple pattern alignment error sample plotted on normal P.D. paper

2.2 復(fù)雜形式的慣性+光學(xué)間接瞄準(zhǔn)誤差

這一瞄準(zhǔn)形式使用飛行器和地面兩套慣性測(cè)量裝置的陀螺儀與加速度計(jì)預(yù)標(biāo)和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)、自準(zhǔn)直光管預(yù)標(biāo)和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)、基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換裝置加速度計(jì)與棱鏡預(yù)標(biāo)和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)等，涉及輸入量超過100個(gè)；標(biāo)準(zhǔn)值由基于有依托陣地地面光學(xué)直接瞄準(zhǔn)原理的高精度儀器對(duì)準(zhǔn)飛行器導(dǎo)航裝置瞄準(zhǔn)棱鏡獲得。

試驗(yàn)使用多臺(tái)不同裝備，在不同地點(diǎn)、不同時(shí)段開展，累計(jì)進(jìn)行63次瞄準(zhǔn)操作，解算獲得瞄準(zhǔn)誤差結(jié)果數(shù)據(jù)如下：

exC=[ -52.4,7.3,52.6,-21.6,-32.5,-27.1, -38.1,-42.1,-30.2,-24.7,-51.3,-40.7,-45.2,-20.0,-33.5,-31.6,-42.1,-52.6,-29.7,-19.5,-43.8,-33.0,-40.6,-106.2,-100.4,-85.2,-30.8,-22.1,-0.8,-60.8,-58.4,-35.5,-54.8,-43.4,-35.0,-70.5,-16.1,-41.4,-38.4,-79.1,-53.1,-71.0,43.3,-46.3,-80.1,-83.2,20.0,-74.1,84.6,-74.1,-67.7,-61.2,-76.6,-83.3,-87.8,-64.9,-56.8,-79.3,-71.2,-9.9,-12.0,-9.0,-33.2]

2.2.1χ2檢驗(yàn)

設(shè)瞄準(zhǔn)誤差總體對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量ξC，其概率分布為F(x)。前述exC則為其中一個(gè)樣本的觀測(cè)量，其樣本均值MexC= -41.6，樣本方差VexC= 1 211.3。

按前述方法，取

t1=-80,t2=-64,t3=-48,t4=-32,t5=-16,t6=0

計(jì)算可得

χ2|exC=6.024 7

2.2.2 圖形檢驗(yàn)

通過exC的QQ圖，同樣可直觀地看出復(fù)雜形式瞄準(zhǔn)誤差也是服從正態(tài)分布的。與按N(-41.6, 1 211.3)生成隨機(jī)值建立的QQ圖比較，同樣進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)論。如圖3所示。

圖4是使用正態(tài)分布概率密度紙繪制復(fù)雜形式瞄準(zhǔn)誤差樣本的情況，亦支撐前述結(jié)論。

(b) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)樣本(b) Standard normal random sample

圖4 正態(tài)分布概率密度紙繪制復(fù)雜形式瞄準(zhǔn)誤差樣本Fig.4 Complex pattern alignment error sample plotted on normal P.D. paper

3 試驗(yàn)次數(shù)與精度可信度

瞄準(zhǔn)誤差是隨機(jī)變量，通過有限次數(shù)的試驗(yàn)、有限容量的樣本不能精確獲知包含未來的無限總體的數(shù)字特征?；诿闇?zhǔn)誤差服從正態(tài)分布，在總體期望(均值)與方差未知的情況下，可以按給定置信度對(duì)數(shù)字特征進(jìn)行估計(jì)。

理論上，系統(tǒng)的誤差均值可以通過方案設(shè)計(jì)(例如在線自調(diào)零)或生產(chǎn)、檢測(cè)工藝等途徑加以抑制，而方差表征系統(tǒng)輸出結(jié)果的離散程度，在通過有限次試驗(yàn)推斷將來系統(tǒng)正式工作時(shí)的精度表現(xiàn)方面尤為重要，故此對(duì)樣本方差的可信度展開分析。

則置信區(qū)間為

可見區(qū)間端點(diǎn)是試驗(yàn)次數(shù)(樣本容量)n的函數(shù)。

設(shè)自由度為ν的χ2分布關(guān)于上分位點(diǎn)α的累加函數(shù)為F(α|ν)，有

其中

(5)

設(shè)置信區(qū)間左端點(diǎn)關(guān)于n的函數(shù)為lci(n)、右端點(diǎn)關(guān)于n的函數(shù)為rci(n)，有

(6)式、(7)式函數(shù)曲線如圖5所示。

(a) 左端點(diǎn)函數(shù)(a) Left end-point function

圖5 方差置信區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)曲線
Fig.5Curves of variance confidence interval end-point function

可以看出，左端點(diǎn)函數(shù)關(guān)于n單調(diào)增加，值小于1；右端點(diǎn)函數(shù)關(guān)于n單調(diào)減小，值大于1。即試驗(yàn)次數(shù)越多，置信區(qū)間越窄，獲得的樣本方差表征總體方差越精確。

表1列出了若干試驗(yàn)次數(shù)對(duì)應(yīng)的總體方差0.997置信區(qū)間寬度系數(shù)，圖6為兩者關(guān)系的圖形化表示，可以看出，在試驗(yàn)次數(shù)少于100時(shí)，置信區(qū)間寬度受試驗(yàn)次數(shù)影響很大，其后增加試驗(yàn)次數(shù)，效果并不非常顯著。

表1方差0.997置信區(qū)間寬度與試驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系

Tab.1Relationbetweenvariance0.997confidenceintervalwidthandexperimentfrequency

類似地，可以建立服從t分布的隨機(jī)變量，對(duì)總體期望進(jìn)行估計(jì)。圖7為總體期望0.997置信區(qū)間寬度與試驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系曲線，可見前述關(guān)于方差的結(jié)論同樣適用。

圖7 期望0.997置信區(qū)間寬度與試驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系Fig.7 Relation between expectation 0.997 confidence interval width and experiment frequency

4 射前瞄準(zhǔn)精度保障措施

根據(jù)前述分析，對(duì)飛行器瞄準(zhǔn)精度的確定需要大容量樣本支撐，這在工程上可能難以實(shí)現(xiàn)。對(duì)此，在執(zhí)行飛行試驗(yàn)任務(wù)時(shí)，可采取配置瞄準(zhǔn)校準(zhǔn)系統(tǒng)的措施來進(jìn)一步控制飛行器瞄準(zhǔn)精度。

設(shè)飛行器射前方位對(duì)準(zhǔn)(瞄準(zhǔn))允差為εT，飛行器瞄準(zhǔn)系統(tǒng)(A)誤差指標(biāo)為εA(εA<εT)、當(dāng)次瞄準(zhǔn)結(jié)果為zA，瞄準(zhǔn)校準(zhǔn)系統(tǒng)(C)誤差指標(biāo)為εC(εC≤εA)、當(dāng)次瞄準(zhǔn)結(jié)果為zC，|zA-zC|的判別閾值為th。(注：關(guān)于誤差的指標(biāo)均取正值。)

對(duì)于判別閾值的設(shè)置，可以采取極值處理方法，本文也提出基于概率的處理方法。

4.1 基于極值的閾值

對(duì)于同一個(gè)指標(biāo)，控制漏判和錯(cuò)判不能兼顧。為確保發(fā)射后飛行任務(wù)成功，判據(jù)(判別閾值)選擇以保證飛行器射前不出現(xiàn)漏判為原則。

設(shè)定飛行器方位對(duì)準(zhǔn)結(jié)果zA與校準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)果zC的差值的合格判據(jù)為不大于th=εT-εC，則在zC誤差達(dá)到極值且zA、zC誤差同向的最差情況下，也能夠保證不出現(xiàn)漏判，為飛行器導(dǎo)航提供可接受的方位初值；另一方面，在一定程度上，例如zA誤差不大于th-εC(不小于0)、zC誤差達(dá)到極值且zA、zC誤差反向時(shí)，也能夠保證不會(huì)錯(cuò)判。

4.2 基于概率的閾值

圖8 描述同一物理量的兩個(gè)隨機(jī)變量Fig.8 Random variables describing the same physical quantity

為保證瞄準(zhǔn)系統(tǒng)的輸出結(jié)果可用，應(yīng)有

Tr∈[zA-εT,zA+εT]

(8)

現(xiàn)以更高精度的ζC描述(8)式的概率，有

P{ζC≤zA+εT|zC}-P{ζC≤zA-εT|zC}=0.997

(9)

(9)式概率值與兩個(gè)隨機(jī)變量均值的間距(|zA-zC|)相關(guān)而與變量均值的位置無關(guān)，可簡(jiǎn)述為th=f(εT,εC)。在εT和εC確定后，可利用MATLAB工具計(jì)算出th值。

可進(jìn)一步驗(yàn)證，基于概率確定的合格判據(jù)(th值)相比基于極值確定的判據(jù)略為寬松，在真實(shí)世界更具合理性，在依概率保證精度的同時(shí)，也提升了飛行器發(fā)射流程的順利性。

5 結(jié)束語

通過以上分析，表明無論簡(jiǎn)單或是復(fù)雜的飛行器瞄準(zhǔn)系統(tǒng)，所得瞄準(zhǔn)結(jié)果服從正態(tài)分布；為更準(zhǔn)確地通過樣本表征正態(tài)總體，瞄準(zhǔn)系統(tǒng)精度試驗(yàn)應(yīng)充分開展(宜不少于100次)；通過配置瞄準(zhǔn)校準(zhǔn)系統(tǒng)，基于正態(tài)分布概率確定對(duì)瞄準(zhǔn)結(jié)果的判別閾值，能夠更有效地保證飛行器發(fā)射任務(wù)的圓滿完成。

[1] rns521. 正態(tài)分布[EB/OL]. (2011-11-09) [2017-10-20]. http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591.

[2] MathWorks. MATLAB Product HelpDoc[CP/DK]. U.S.: The MathWorks, Inc, 2015.