福建省古田縣第一中學(xué) (352200)

蘭詩(shī)全

1 問(wèn)題緣起

筆者發(fā)現(xiàn)在一本教學(xué)參考書(shū)有以下一例并作了錯(cuò)因分析.

題目在鈍角三角形ΔABC中，a=1,b=2,c=t,且C是最大角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

2 筆者(甲方)的理解

筆者閱后進(jìn)行一番思考:以上錯(cuò)因分析擊中要害了嗎?為什么?

若按照以上錯(cuò)因分析的說(shuō)法,即用了余弦定理后,還要再考慮三邊能否構(gòu)成三角形.難道三邊滿(mǎn)足了余弦定理,還未必能構(gòu)成三角形?故筆者作以下探索.

證明:∵0

∴a+b>c.

所以不難有結(jié)論:若三邊滿(mǎn)足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個(gè)三角形.故參考書(shū)中的錯(cuò)因分析未能擊中要害,未揭示問(wèn)題的本質(zhì),易引起誤解.

那么,以上錯(cuò)解究竟錯(cuò)在哪里呢?關(guān)鍵是未將問(wèn)題作等價(jià)轉(zhuǎn)化.并提供以下正解.

最后點(diǎn)擊:千萬(wàn)別小看這小小的改動(dòng),它可擊中要害,是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解.數(shù)學(xué)解題一定要突出方法,突出問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律,這樣才能達(dá)到真正理解.

3 乙方的理解

(1)以上甲方的分析有一點(diǎn)自圓其說(shuō)、一廂情愿的意味．原來(lái)的解法只應(yīng)用了余弦定理，顯然沒(méi)有關(guān)注到這個(gè)三角形存在的條件．只有確保1、2、t三條線段能夠構(gòu)成一個(gè)三角形，才能使用余弦定理討論最大邊t應(yīng)滿(mǎn)足的條件，否則屬不嚴(yán)密．而不是甲方理解為“在應(yīng)用了余弦定理后還要再考慮三邊能否構(gòu)成三角形”，甲方未能正確理解別人意圖．甲方的分析有一個(gè)邏輯順序的問(wèn)題．

(2)如何滿(mǎn)足余弦定理？如此，是否不需要討論三角形任意兩邊之和大于第三邊的條件？后面的解答過(guò)程中，得到的t2<9，其實(shí)質(zhì)上還是三條線段的長(zhǎng)能夠構(gòu)成三角形的條件，何必多此一舉，人為復(fù)雜化．

(3)甲方前面的討論，有循環(huán)論證之嫌，值得推敲．甲方給出的解答，明顯的是簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化，不符合大多數(shù)人(有條有理、由淺入深、層層遞進(jìn))的思維習(xí)慣．甲方的解法非最簡(jiǎn)潔、最本質(zhì)．不值得提倡．

(4)對(duì)甲方的解答“擊中要害”，“是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解”，實(shí)在看不出來(lái)，只覺(jué)得沒(méi)有必要．

4 筆者(甲方)的再?gòu)?qiáng)調(diào)

(1)解題真的要注意邏輯順序問(wèn)題．乙方認(rèn)為，原來(lái)的解法只應(yīng)用了余弦定理，顯然沒(méi)有關(guān)注到這個(gè)三角形存在的條件．筆者認(rèn)為，若三邊滿(mǎn)足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個(gè)三角形，根本不必再檢驗(yàn)三邊是否滿(mǎn)足構(gòu)成三角形．?dāng)?shù)學(xué)解題中何時(shí)要檢驗(yàn)，何時(shí)不必檢驗(yàn)，這個(gè)邏輯順序問(wèn)題要清楚．

(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，不要只“意會(huì)”，要落實(shí)到具體的解題之中．原來(lái)的解法根本錯(cuò)在沒(méi)有用夠余弦定理，沒(méi)有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化造成的錯(cuò)解．

∵ΔABC是鈍角三角形且C是最大角,∴90°

后面的解答過(guò)程中，得到的t2<9，雖其最終還是三條線段的長(zhǎng)能夠構(gòu)成三角形的條件，但有個(gè)邏輯順序的問(wèn)題．這不是多此一舉，人為復(fù)雜化．

(3)甲方前面的討論，正是為了解決循環(huán)論證問(wèn)題．若三邊滿(mǎn)足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個(gè)三角形，根本不必再檢驗(yàn)三邊是否滿(mǎn)足構(gòu)成三角形．

(4)有條有理、由淺入深、層層遞進(jìn)的思維不是絕對(duì)的好思維習(xí)慣．全面考慮等價(jià)轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中往往更值得提倡．

“問(wèn)題將越辨越明，認(rèn)識(shí)將越分析越深刻．”“討論是學(xué)習(xí)，交流促進(jìn)步．”親愛(ài)的讀者朋友們，你認(rèn)為兩種理解哪種更合理？你還有哪些想法？希望能展開(kāi)熱烈的討論．