周桂蕓
(山東省淄博市第十七中學(xué) 255033)
立體幾何是幾何學(xué)的重要組成部分,對(duì)高中學(xué)生來(lái)講,學(xué)這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是初中的平面幾何,教學(xué)中注重把平面幾何的知識(shí)推廣到空間中來(lái),采用類(lèi)比推廣的方式,從二維平面過(guò)渡到三維空間,對(duì)突破教學(xué)難點(diǎn),開(kāi)拓學(xué)生的思維的廣度非常重要.下面看幾個(gè)例子.
平面幾何中: 等邊三角形有且只有個(gè)內(nèi)切圓與一個(gè)外接圓,其圓心為等邊三角形的中心.
如圖1等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a,則有以下四個(gè)結(jié)論:
空間幾何中:正四面體有且只有一個(gè)內(nèi)切球和一個(gè)外接球,其球心是正四面體的中心.如圖2若正四面體的棱長(zhǎng)為a,亦有上述類(lèi)似的四個(gè)結(jié)論:
下面求解一下.如圖2,過(guò)A作AO′⊥面BCD,垂足為O′.連結(jié)O′D.
在Rt△AO′D中:
∴正四面體的高
設(shè)正四面體的中心為O,則O即為其內(nèi)切球的球心,亦為外接球的球心,且OA=OD=R,OO′=r.
在Rt△OO′D中:OD2=OO′2+O′D2,
由此得出:R=3r.
空間中:(如圖四)正方體中:
空間中:正四面體的四個(gè)面面積為S,體積為V,在四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P,P到各面的距離分別為h1、h2、h3、h4,求證:h1+h2+h3+h4是定值.
分析高一學(xué)生在做此空間題目時(shí),幾乎無(wú)從下手,但只要回顧平面幾何中的證法,學(xué)生深受啟發(fā),對(duì)比如下:
簡(jiǎn)證在平面中
S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,
∴h1+h2+h3=h為定值.
空間中:V=VP-ABC+VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD,
二維平面 → 三維空間
圖形推廣:
直角三角形→三條棱兩兩垂直的棱錐
有以上知識(shí)做鋪墊、滲透,學(xué)生能寫(xiě)出結(jié)論猜想,這是一非常正確的結(jié)論.其證明方式很多,現(xiàn)介紹一種(教學(xué)中,此證明僅供有興趣的學(xué)生參考).
如右圖:由VA、VB、VC兩兩垂直,
既得出面VAB、面VBC、面VCA兩兩垂直;
作VO⊥面ABC,連接CO并延長(zhǎng)交AB于E.由VC⊥VB,VC⊥VA,可知:VC⊥面VAB,由VE?面VAB可知:
VC⊥VE,△VEC為直角三角形.
∴△ABC的面積的平方為:
證畢.
教學(xué)中運(yùn)用這類(lèi)比的思想,從二維空間到三維空間加以滲透,啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考.大膽猜想,然后嚴(yán)密證明,這符合數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練要求.我們?cè)诮虒W(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,多給學(xué)生一些有益的啟發(fā),然后指導(dǎo)學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn).
參考文獻(xiàn):
[1]王瑾,賀賢孝.數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10).
[2]羅增儒.數(shù)學(xué)證明的作用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2001(05).