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      用類(lèi)比思想來(lái)認(rèn)識(shí)初、高中幾何的幾個(gè)結(jié)論

      2018-05-09 05:58:19周桂蕓
      數(shù)理化解題研究 2018年4期
      關(guān)鍵詞:正四面體內(nèi)切圓三維空間

      周桂蕓

      (山東省淄博市第十七中學(xué) 255033)

      立體幾何是幾何學(xué)的重要組成部分,對(duì)高中學(xué)生來(lái)講,學(xué)這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是初中的平面幾何,教學(xué)中注重把平面幾何的知識(shí)推廣到空間中來(lái),采用類(lèi)比推廣的方式,從二維平面過(guò)渡到三維空間,對(duì)突破教學(xué)難點(diǎn),開(kāi)拓學(xué)生的思維的廣度非常重要.下面看幾個(gè)例子.

      一、等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓(二維平面)和正四面體的內(nèi)切球與外接球(三維空間)

      平面幾何中: 等邊三角形有且只有個(gè)內(nèi)切圓與一個(gè)外接圓,其圓心為等邊三角形的中心.

      如圖1等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a,則有以下四個(gè)結(jié)論:

      空間幾何中:正四面體有且只有一個(gè)內(nèi)切球和一個(gè)外接球,其球心是正四面體的中心.如圖2若正四面體的棱長(zhǎng)為a,亦有上述類(lèi)似的四個(gè)結(jié)論:

      下面求解一下.如圖2,過(guò)A作AO′⊥面BCD,垂足為O′.連結(jié)O′D.

      在Rt△AO′D中:

      ∴正四面體的高

      設(shè)正四面體的中心為O,則O即為其內(nèi)切球的球心,亦為外接球的球心,且OA=OD=R,OO′=r.

      在Rt△OO′D中:OD2=OO′2+O′D2,

      由此得出:R=3r.

      二、正方形的內(nèi)切圓和外接圓(二維平面)與正方體的內(nèi)切球和外接球(三維空間)

      空間中:(如圖四)正方體中:

      三、平面中,正三角形內(nèi)的任一點(diǎn)到各邊的距離和為定值;正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離和為定值

      空間中:正四面體的四個(gè)面面積為S,體積為V,在四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P,P到各面的距離分別為h1、h2、h3、h4,求證:h1+h2+h3+h4是定值.

      分析高一學(xué)生在做此空間題目時(shí),幾乎無(wú)從下手,但只要回顧平面幾何中的證法,學(xué)生深受啟發(fā),對(duì)比如下:

      簡(jiǎn)證在平面中

      S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,

      ∴h1+h2+h3=h為定值.

      空間中:V=VP-ABC+VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD,

      四、平面中的勾股定理推廣到空間中是什么結(jié)論呢

      二維平面 → 三維空間

      圖形推廣:

      直角三角形→三條棱兩兩垂直的棱錐

      有以上知識(shí)做鋪墊、滲透,學(xué)生能寫(xiě)出結(jié)論猜想,這是一非常正確的結(jié)論.其證明方式很多,現(xiàn)介紹一種(教學(xué)中,此證明僅供有興趣的學(xué)生參考).

      如右圖:由VA、VB、VC兩兩垂直,

      既得出面VAB、面VBC、面VCA兩兩垂直;

      作VO⊥面ABC,連接CO并延長(zhǎng)交AB于E.由VC⊥VB,VC⊥VA,可知:VC⊥面VAB,由VE?面VAB可知:

      VC⊥VE,△VEC為直角三角形.

      ∴△ABC的面積的平方為:

      證畢.

      教學(xué)中運(yùn)用這類(lèi)比的思想,從二維空間到三維空間加以滲透,啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考.大膽猜想,然后嚴(yán)密證明,這符合數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練要求.我們?cè)诮虒W(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,多給學(xué)生一些有益的啟發(fā),然后指導(dǎo)學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn).

      參考文獻(xiàn):

      [1]王瑾,賀賢孝.數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10).

      [2]羅增儒.數(shù)學(xué)證明的作用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2001(05).

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