張 麗， 高娟娟

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 陜西 西安 710127； 2.西北大學(xué) 非線性科學(xué)研究中心 陜西 西安 710069)

0 引言

考慮兩分支Novikov系統(tǒng)Cauchy問題：

(1)

其中：t>0;x∈R；m=u-uxx. 文獻[1]首先提出了帶有1個哈密頓結(jié)構(gòu)模型的兩分支Novikov系統(tǒng).當式(1)中ρ=0時，該系統(tǒng)就變?yōu)镹ovikov方程，文獻[2]證明了該方程擁有雙哈密頓結(jié)構(gòu)和守恒量的無窮序列.文獻[3]證明了該模型解的局部適定性和爆破條件，利用守恒律為該系統(tǒng)提出了兩個爆破條件.目前還有很多學(xué)者對方程解的解析性進行了研究，比如兩分支Camassa-Holm系統(tǒng)[4]、兩分支b-family系統(tǒng)[5]等.

以兩分支Novikov系統(tǒng)解的局部適定性為基礎(chǔ)，接下來證明式(1)的Cauchy問題解的解析性.

1 解析性的證明

現(xiàn)將初值問題(1)轉(zhuǎn)化成下面的非局部形式：

(2)

其中：t>0；x∈R；u0，ρ0∈Cω(R).

?tρ=-g(u)P1ρ-ρuP1u,

接下來，令u1=u,u2=P1u,u3=ρ,u4=P1ρ，可得

?tu3=-u4g(u1)-u1u2u3≡G3(u1,u2,u3,u4)，?tu4=-P1[u1u2u3+u4g(u1)]≡G4(u1,u2,u3,u4).

因此可把初值問題(1)轉(zhuǎn)化為：

(3)

定義U≡(u1,u2,u3,u4)和G(U)=G(u1,u2,u3,u4)≡(G1(u1,u2,u3,u4),G2(u1,u2,u3,u4),G3(u1,u2,u3,u4),G4(u1,u2,u3,u4)).得到

(4)

為了證明定理1，需要定義一個如下的合適度量Banach空間，對任意s>0，定義

引理1[6]令00,使得對任意的函數(shù)u,v∈Ys，有

uvs≤Cusvs，這里C=C(r)僅依賴r.

對任一s>0，任意的u,v∈Ys，g(u)=u2，下面的結(jié)論成立.

g(u)-g(v)s=u2-v2s≤Cu+vsu-vs.

引理2[6]對任一0

用以上兩個引理來對定理2證明.

證明對任意uj,vj∈B(0,R)?Ys(j=1,2,3,4),得到

分別對A1、A2、A3、A4來做估計.

接下來用以上方法，依次來估計A2,A3,A4，得到：

定理1可由Cauchy-Kowalevski定理得出.

s.探討方程的Cauchy 問題：

(5)

令T,R與C都是正數(shù)，并假設(shè)式(5)中的函數(shù)G滿足下面的3個條件：

2) 對任意的0

當方程組(3)或(4)變成方程組(5)的零初值條件時，定理3中的條件1)和3) 很容易得到證明.由定理2可知，方程組(3)或(4)滿足定理3中的條件2).從而方程組(3)或(4)滿足了定理3中的3個條件，因此就證明了兩分支Novikov系統(tǒng)Cauchy問題的解關(guān)于空間變量是全局解析的，關(guān)于時間變量是局部解析的.即定理1就得到了證明.

參考文獻：

[1] POPOWICZ Z. Double extended cubic peakon equation[J]. PHYS LETT A, 2015, 379(18-19): 1240-1245.

[2] HONE A N W, WANG J P. Integrable peakon equations with cubic nonlinearity[J]. J PHYS A： MATH THEOR, 2008, 41(37): 4359-4380.

[3] LUO W, YIN Z. Local well-posedness and blow-up criteria for a two-component Novikov system in the critical Besov space[J]. Nonlinear analysis, 2015, 122: 1-22.

[4] 鄭曉翠, 高曉紅. 兩分支Camassa-Holm系統(tǒng)Cauchy問題解的解析性[J]. 西北大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版), 2016, 46(2): 14-18.

[5] LIU J, YIN Z. On the Cauchy problem of a two-component b-family system[J]. Nonlinear analysis real world applications, 2011, 12(6): 3608-3620.

[6] YAN K, YIN Z. Analytic solutions of the Cauchy problem for two-component shallow water systems[J]. Mathematische zeitschrift, 2011, 269(3/4): 1113-1127.

[7] HIMONAS A A, MISIOLEK G. Analyticity of the Cauchy problem for an integrable evolution equation[J]. Mathematische annalen, 2003, 327(3): 575-584.