王雅君

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所 西安 710068）

0 引言

無人機(jī)導(dǎo)引律是描述攻擊型無人機(jī)在攔截目標(biāo)時(shí)應(yīng)遵循的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律。要對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)施成功攔截，除了需要提高無人機(jī)自身的機(jī)動(dòng)能力，也對(duì)導(dǎo)引律提出了更高的要求。

Brierley和Longchamp[1]在1990年時(shí)最先將變結(jié)構(gòu)控制的思想引入空-空導(dǎo)彈制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，所得的制導(dǎo)律對(duì)于運(yùn)動(dòng)模型的不確定性、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等具有較強(qiáng)魯棒性。周荻等人[2-3]針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模趨近律，據(jù)此設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律有較高的命中精度。作者還將很難精確測(cè)得的目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度視為外界干擾，并證明了在干擾項(xiàng)有界的條件下，自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律對(duì)外界干擾和自身的參數(shù)攝動(dòng)有不變性。徐世許和馬建敏[4]引入了終端滑模面，即在滑模面中加入非線性項(xiàng)，既能保證系統(tǒng)軌跡較快地到達(dá)滑模面，又能使滑動(dòng)模態(tài)以較快的速度收斂到平衡點(diǎn)。

滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中，切換面的選擇至關(guān)重要。線性切換面只能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸進(jìn)收斂，而無法在有限時(shí)間內(nèi)使其嚴(yán)格收斂到零。為此，本文采用終端滑模面來設(shè)計(jì)控制律，即通過在切換面方程中引入非線性項(xiàng)，在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)期望值的完全跟蹤。

1 運(yùn)動(dòng)模型的建立

圖 1所示為縱向平面內(nèi)的無人機(jī)-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，模型建立在極坐標(biāo)系中，將無人機(jī)和目標(biāo)都視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其姿態(tài)控制問題，也不考慮自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)延遲問題。

圖1 二維無人機(jī)-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1中，無人機(jī)和目標(biāo)分別位于M和T處，它們之間的距離為r，二者連線MT就是視線（LOS，Line of sight），視線與參考方向的夾角q即為視線角，也叫做攻擊角。θm和θt分別是無人機(jī)和目標(biāo)的速度矢量與視線的夾角，即前置角。

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，可以建立如下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組：

對(duì)式（1）中的兩式分別求導(dǎo)，并令

可以看出，分別為無人機(jī)和目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度在視線法向的分量。uq即為無人機(jī)控制律，是施加在無人機(jī)上的指令加速度。而由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)通常無法精確獲知，因此在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中常將ωq作為一個(gè)有界的外部干擾來考慮。

對(duì)式（1）求導(dǎo)并將式（2）代入，化簡(jiǎn)可得用視線角速度表示的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

2 非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定

系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂指的是系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。設(shè)非線性系統(tǒng)有一個(gè)位于原點(diǎn)的 Lyapunov意義下穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，即

引理1[6]對(duì)于式（4）表示的非線性控制系統(tǒng)，若存在定義于的鄰域上的光滑函數(shù)V（x），并且存在實(shí)數(shù)使得上正定，且在上半負(fù)定，則以式（9）表示的系統(tǒng)在x=0處有限時(shí)間穩(wěn)定，系統(tǒng)的停息時(shí)間與初始狀態(tài)x0有關(guān)，有

其中，若則該系統(tǒng)在x=0處全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

3 非奇異快速終端滑模算法

快速終端滑?？梢杂梢韵碌囊浑A微分方程表示：

其中，α＞0，β＞0，0＜γ＜1?？梢钥闯?，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，αx起主要作用，使?fàn)顟B(tài)軌跡快速向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到平衡點(diǎn)附近時(shí)，起主要作用的一項(xiàng)變?yōu)橄到y(tǒng)狀態(tài)依然能夠快速收斂。因此，快速終端滑?？梢允瓜到y(tǒng)狀態(tài)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都保持較高的收斂速度，從而確保了系統(tǒng)優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能。

下面分析快速終端滑模的有限時(shí)間收斂性。對(duì)于式（5），選取 Lyapunov函數(shù)對(duì)其求導(dǎo)，并將式（5）代入，有

即是半負(fù)定的。令引理1中的常數(shù)則狀態(tài)軌跡從任意初始狀態(tài)出發(fā)，收斂至平衡點(diǎn)所需的時(shí)間滿足

其中，x0為系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)。

形如式（5）的快速終端滑模雖然能夠迅速收斂，但會(huì)產(chǎn)生奇異問題，這是由于終端滑模函數(shù)中的非線性項(xiàng)在求一階導(dǎo)后產(chǎn)生了負(fù)指數(shù)項(xiàng)，因此，可以通過合理選擇非線性項(xiàng)來避免奇異問題。非奇異的快速終端滑模函數(shù)表達(dá)式如下所示：

式中，

文獻(xiàn) 7詳細(xì)地給出了式（8）所示系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂性證明，但收斂用時(shí)的表達(dá)式和證明過程過于復(fù)雜，不便于實(shí)用，在后文中用到相關(guān)結(jié)論時(shí)，會(huì)根據(jù)具體的導(dǎo)引律，推導(dǎo)出更為簡(jiǎn)便的表達(dá)形式，因此將其證明過程略去。

4 攻擊角可控導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

將前文建立的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型式（3）結(jié)合圖 1中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可知無人機(jī)的指令加速度是施加在速度法向上的，因此控制量前需要加上一個(gè)方向余弦系數(shù)，式（3）變?yōu)?/p>

用qd來表示期望的攻擊角（qd為一定值），選擇視線角與期望攻擊角之間的偏差和視線角速率作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，即令可得

需要特別指出的是，快速終端滑模算法也可以用作趨近律設(shè)計(jì)。由于奇異問題是由指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)產(chǎn)生的負(fù)指數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致的，而式（5）不含有負(fù)指數(shù)項(xiàng)，因此不會(huì)產(chǎn)生奇異問題。

根據(jù)非奇異快速終端滑模算法式（8），設(shè)計(jì)滑模切換面如下：

其中該切換面具有與式（5）完全相同的形式，因此是全局快速收斂的，并且能夠避免產(chǎn)生奇異問題。

根據(jù)快速終端滑模算法式（6），設(shè)計(jì)趨近律如下：

其中，α＞0，β＞0，0＜γ＜1。根據(jù)式（11）及式（12），有ss’≤ 0，因此滑模切換面滿足到達(dá)條件，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面。

對(duì)式（11）求導(dǎo)并與式（12）聯(lián)立，將式（10）代入，ωq視為干擾項(xiàng)，可以解出控制律

即為帶攻擊角約束的有限時(shí)間收斂非奇異快速終端滑模導(dǎo)引律。

5 有限時(shí)間收斂性分析

滑模控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量要經(jīng)歷兩個(gè)運(yùn)動(dòng)階段：趨近運(yùn)動(dòng)階段和滑模運(yùn)動(dòng)階段。下面首先分析趨近運(yùn)動(dòng)階段的收斂特性。

選取 Lyapunov函數(shù)為V=s2，求導(dǎo)，并將導(dǎo)引律u代入其中，得到

至此，將按照目標(biāo)是否機(jī)動(dòng)（即ωq項(xiàng)是否為零），分兩種情況分別加以討論。

（1）目標(biāo)不機(jī)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于即目標(biāo)靜止或進(jìn)行勻速直線運(yùn)動(dòng)：

此時(shí)直接應(yīng)用引理 1，令其中c=2β，則狀態(tài)軌跡從任意初始狀態(tài)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到切換面所需的時(shí)間滿足

（2）目標(biāo)機(jī)動(dòng)，即

此時(shí)，式（14）可以改寫成以下形式：

在x2≠0時(shí)，只要調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)，保證s 2的系數(shù)為負(fù)，那么式（16）與情況（1）具有相同的形式，從而保證其有限時(shí)間收斂的性質(zhì)，直到s 2的系數(shù)變?yōu)檎Ｈ粢詅表示目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度ωq的上界，則系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能夠在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到切換面s=0兩側(cè)的小區(qū)域內(nèi)：

對(duì)于x2=0的情況，由于系統(tǒng)此時(shí)尚處于到達(dá)運(yùn)動(dòng)階段，因此系統(tǒng)狀態(tài)不可能位于區(qū)域|s|≤Δ內(nèi)，因此有x˙2≠0，這說明x2=0不是系統(tǒng)在到達(dá)運(yùn)動(dòng)階段的吸引子。綜上，在目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到區(qū)域|s|≤Δ以內(nèi)。

通過以上的分析可知，滑模導(dǎo)引律式（13）滿足切換面的到達(dá)條件，不論目標(biāo)是否機(jī)動(dòng)，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量均能夠在有限時(shí)間以內(nèi)從任意初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到切換面或其小領(lǐng)域內(nèi)。下面分析第二階段——滑模運(yùn)動(dòng)階段的收斂情況。

系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入?yún)^(qū)域|s|≤Δ后，系統(tǒng)開始滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)假設(shè)s=τ，其中|τ|≤Δ。將其代入切換面式（11），可改寫為以下形式：

它與切換面式（12）具有相同的結(jié)構(gòu)，這說明系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將一直收斂，直到條件不再滿足，因此x2能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域同理，視線角偏差x1能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域

綜上所述，以式（13）所示的形式設(shè)計(jì)導(dǎo)引律，能夠保證：對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止目標(biāo)，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到切換面上，進(jìn)入切換面后，視線角偏差θ和視線角速度也能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，全程不會(huì)發(fā)生奇異問題；

對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到切換面的鄰域|s|≤Δ內(nèi)，進(jìn)入切換面后，θ和也能夠在有限時(shí)間內(nèi)分別收斂到區(qū)域|s| ≤|Δθ|和|s| ≤ |Δq|內(nèi)，全程不會(huì)發(fā)生奇異問題。

6 仿真分析

將式（13）所示的導(dǎo)引律記為 NFSMG，本節(jié)將其與普通的滑模制導(dǎo)律（記為SMG1）分別仿真并對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果。后者采用線性滑模面及自適應(yīng)趨近律。仿真的初始條件如下：

（1）無人機(jī)初始位置為（0km，0km），初始航向角 90°，飛行速度 800m/s；目標(biāo)初始位置為（12km，5km），初始航向角 120°，飛行速度 500m/s；

（2）NFSMG 仿真參數(shù)：k1= 1，k2= 2，a1= 2，a2= 1.5，α= 750，β= 750，γ= 0.5；

（3）目標(biāo)進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)加速度為對(duì)于無人機(jī)的制導(dǎo)系統(tǒng)，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)情況是未知的，將其視作外界擾動(dòng)。

兩種導(dǎo)引律對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截情況如圖2所示。

表1中列出了目標(biāo)進(jìn)行未知機(jī)動(dòng)時(shí)兩種導(dǎo)引律在不同期望攻擊角下的脫靶量和攔截用時(shí)。

表1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)不同期望攻擊角下的脫靶量和攔截用時(shí)比較

可以看出，NFSMG的脫靶量和攔截時(shí)間都明顯小于SMG1，說明在對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截上，本文提出的NFSMG相較于傳統(tǒng)的滑模制導(dǎo)律，具有更高的命中精度、更短的打擊時(shí)間和更少的燃料消耗。這一優(yōu)勢(shì)也能從攔截軌跡上直觀地體現(xiàn)出來。

圖3所示為30°期望攻擊角下兩種導(dǎo)引律需用過載的變化情況對(duì)比。

圖3 需用過載的變化情況

從圖3中可以看出，NFSMG的需用過載在開始時(shí)刻和命中點(diǎn)附近出現(xiàn)了峰值，達(dá)到了可用過載的極限，這是由于在這兩個(gè)區(qū)間無人機(jī)導(dǎo)引律需要進(jìn)行大幅度的轉(zhuǎn)向。而SMG1的需用過載曲線不僅在大部分時(shí)間都達(dá)到了可用過載的最大值，而且有很多個(gè)突變點(diǎn)，這說明指令加速度的方向在頻繁地改變。因此NFSMG在末制導(dǎo)階段所需的燃料量遠(yuǎn)小于SMG1的量。

從以上兩個(gè)場(chǎng)景的仿真中可以看出，本章提出的NFSMG導(dǎo)引律在攔截用時(shí)、命中精度、收斂速度、燃料消耗等各項(xiàng)指標(biāo)上，都擁有優(yōu)良的性能，尤其在對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截方面，優(yōu)勢(shì)更加突出。

7 總結(jié)

本文應(yīng)用快速終端滑模算法，設(shè)計(jì)了一種能夠快速收斂且不會(huì)發(fā)生奇異問題的滑模制導(dǎo)律，在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)視線角偏差和視線角速率都能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近的小鄰域。仿真結(jié)果說明該導(dǎo)引律擁有優(yōu)越的動(dòng)態(tài)性能，滿足攻擊角約束的條件，并且航跡平直，能量消耗較少。后續(xù)的研究可以考慮對(duì)無人機(jī)自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)延遲進(jìn)行補(bǔ)償，并將質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)引律擴(kuò)展到三維空間。

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