金晶

[摘 要] 能求和的數(shù)列和式中的項具備著自身的特征，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列、周期數(shù)列等. 不能求和的數(shù)列和式的項不具備這些特征. 我們以這些特征為轉(zhuǎn)化目標，以學(xué)過的知識為橋梁，逐項放縮，從而證明數(shù)列不等式成立.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列放縮法；放縮適度；放縮原理；有法可依

放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點，它題型靈活多變，技巧性高，使學(xué)生們望而生畏.

放縮法針對的題型是不能直接求和，需要通過逐項放縮才能求和的和式不等式. 放縮法解題的難點是放縮的技巧，常出現(xiàn)的問題是放縮過度. 前面的問題可以通過一些典型例題的解答模仿放縮技巧、探究放縮原理，從而做到以不變應(yīng)萬變. 后面的問題有兩個解決方案：修改放縮方法；保持一部分項不放縮.

■轉(zhuǎn)化為能拆項相消求和的和式

例1 證明：1+■+■…+■<2.

解法1：因為■<■，n≥2，

所以1+■+■…+■<1+■+■+…+■=1+1-■+■-■+…+■-■=1+1-■<2.

解法2：因為■<■=■，n≥2，

所以1+■+■…+■<■+■+■+…+■

=4■1-■+■■-■+■■-■+…+■■-■=21-■<2.

同理：利用■→■=■-■，配合個別項不放縮，都可以證明原式.其中，由a的值決定 “→”表示“<”還是“>”.

如：由■<■=■=3■-■，

若從第一項開始放縮得

所以1+■+■…+■<31-■+■-■+■-■+…+■-■=31-■

則不能得到要證的結(jié)果. 若保持第一項不放縮，從第二項起開始放縮，得

1+■+■…+■<1+3■-■+■-■+…+■-■

=1+3■-■=■-■<■<2，所以原式成立.

類似的還有：

立方型 1+■+■…+■

放縮方法■→■=■■-■，

其中，由a的值決定 “→”表示“<”還是“>”.

根式型 ？搖1+■+■…+■

放縮方法2（■-■）=■<■=■<■=2（■-■）.

指數(shù)冪加常數(shù)的分式型？搖 ■+■+■…+■

放縮方法■=■→■=■■-■，其中ab≠0且a≠1，根據(jù)b的符號決定“→”表示“<”還是“>”.

例如 求證：■+■+■+…+■<■.

分析：第一項不放，否則放縮過度.

解：因為■=■<■=■■-■，

所以■+■+■+…+■<■+■■-■+■-■+…+■-■=■+■■-■=■-■·■<■.

■轉(zhuǎn)化為能用公式求和的和式

例2 （1）證明：■+■+■+…+■<1.

證：因為■<■，

所以■+■+■+…+■<■+■+■+…+■=■=1-■<1.

（2）證明：■+■+■+…+■<2.

證：因為■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=21-■<2.

（3）證明：■+■+■+…+■+<■.

證：因為■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=■1-■<■.

（4）證明：sin■+sin■+sin■+…+sin■<■.

證：因為sinα<α，0<α<■，

所以sin■+sin■+sin■+…+sin■<■+■+■+…+■

=■=■1-■■<■.

放縮法的技巧很多，有無數(shù)變化，還常有新技巧出現(xiàn)，不可能一一列舉.正如莊子說：吾生也有涯，而知也無涯，以有涯隨無涯，殆已. 以有限的生命去追求無限的知識，是無法成功的.

那么我們應(yīng)該怎樣學(xué)習(xí)放縮法呢？從例題的解答中發(fā)現(xiàn)，對于不能直接求和的數(shù)列，是通過逐項放縮后求和，再證明不等式成立的. 由此可知，放縮法的難點在于把不能求和的和式放縮為能求和的和式，而數(shù)列求和的常用方法主要是公式法、分組求和、拆項相消、錯位相減、倒序相加等，這些方法針對的數(shù)列的項具有各自的特征，這就是放縮法逐項轉(zhuǎn)化的目標，我們順著這個方向分析題目所給和式中的項，借助學(xué)過的知識，思考出放縮方法.

同時在平時的學(xué)習(xí)中我們要不斷積累放縮技巧，靜心體會，厚積薄發(fā).就如一個劍手需要練熟基本動作，才可以由基本動作組合成無數(shù)劍招，方能見招拆招，無招勝有招.