任衛(wèi)兵 徐明

[摘 要] 文中徐明老師采用“稚化思維”分解應(yīng)用題難點(diǎn)，通過追憶，點(diǎn)明兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：理清數(shù)量關(guān)系，引入變量并建模；通過動(dòng)手操作，突破變量引入的困惑點(diǎn)：以合適的角度設(shè)置邊、角、點(diǎn)等變量；不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)、啟發(fā)、點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)、矯正，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 應(yīng)用題教學(xué)；合作探究；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2017年4月28日，連云港市高中數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)軍人才培養(yǎng)對(duì)象第四次培訓(xùn)活動(dòng)在江蘇省海州高級(jí)中學(xué)舉行. 本次活動(dòng)的主題是“提高高考應(yīng)用題復(fù)習(xí)效益、切實(shí)解決應(yīng)用題教學(xué)問題、提高學(xué)生應(yīng)用題解題能力”. 應(yīng)用題是一類以實(shí)際問題為情境，圍繞客觀實(shí)際進(jìn)行設(shè)問的試題，它不僅涉及數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，還涉及生活、生產(chǎn)、社會(huì)和自然界中的問題，往往讓學(xué)生感到難以下手. 但由于應(yīng)用問題能比較全面地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，因而成為歷年江蘇高考的一道獨(dú)特風(fēng)景線.

本次活動(dòng)共有八位教師同上應(yīng)用題解題研究課，筆者作為培養(yǎng)對(duì)象，全程參與了聽課以及后面的專家點(diǎn)評(píng). 八位教師都精心地做了課前準(zhǔn)備，課堂教學(xué)過程精彩紛呈. 其中，讓筆者最受啟發(fā)的是江蘇省東?？h教師進(jìn)修學(xué)校徐明老師執(zhí)教的《應(yīng)用題破解策略》探究活動(dòng)課. 為了分解難點(diǎn)，逐個(gè)擊破，徐老師“稚化思維”，通過對(duì)小學(xué)和初中應(yīng)用題的追憶，點(diǎn)明解決應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：理清數(shù)量之間的關(guān)系，合理引入變量并建模；通過學(xué)生的動(dòng)手操作（“折紙”實(shí)驗(yàn)），突破變量引入的困惑點(diǎn)：選擇合理的動(dòng)因，以合適的角度設(shè)置邊、角、點(diǎn)等變量；在學(xué)生的活動(dòng)過程中，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)、啟發(fā)、點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)、矯正，讓學(xué)生充分體會(huì)解決應(yīng)用問題的基本流程和方式方法. 本文先給出徐老師的課堂實(shí)錄，再談?wù)劰P者對(duì)本節(jié)課的一些思考，有不當(dāng)之處敬請(qǐng)同行批評(píng)、指正.

■課堂實(shí)錄

1. 情境引入

師：應(yīng)用題是高考數(shù)學(xué)的必考題型，是決定學(xué)生成績(jī)高低的分水嶺. 你覺得求解應(yīng)用題的困難在什么地方？

師：很多學(xué)生都感覺應(yīng)用題難做，其實(shí)我們?cè)谛W(xué)時(shí)就已經(jīng)開始求解應(yīng)用題了. 比如“小學(xué)二年級(jí)1班有54人，二年級(jí)2班有48人，請(qǐng)問：（1）兩班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人”，大家回憶一下，當(dāng)時(shí)是如何解決這個(gè)問題的.

生1：第（1）問用加法，第（2）問用減法.

師：對(duì)了，我們當(dāng)初覺得它很難，因?yàn)樗呀?jīng)涉及“數(shù)量之間的關(guān)系”（板書），這正是我們今天求解應(yīng)用題首先要解決的問題. 小學(xué)四年級(jí)的時(shí)候，有這樣一個(gè)問題：小紅購(gòu)買2支鉛筆和3支圓珠筆共花去8元錢，小明購(gòu)買同樣的3支鉛筆和3支圓珠筆共花去9元錢，請(qǐng)問購(gòu)買1支鉛筆和1支圓珠筆各需多少元. 作為小學(xué)生的你，當(dāng)時(shí)是如何解決的？

生2：設(shè)每支鉛筆x元，每支圓珠筆y元，則2x+3y=8，3x+3y=9，解得x=1，y=2.所以每支鉛筆1元，每支圓珠筆2元.

師：很好，但你用的是初中的解法，你小學(xué)時(shí)會(huì)做這道題嗎？

師：用小學(xué)知識(shí)求解，這是一道難題，但到初中，我們引入變量，列方程組，這就是一道簡(jiǎn)單題. 這說明，求解應(yīng)用題，適當(dāng)“引入變量，建立模型”（板書）至關(guān)重要，這也正是我們今天求解應(yīng)用題的第二個(gè)關(guān)鍵步驟.

2. 探究生成

師：我們一起來思考如下問題——如果將一個(gè)等腰直角三角形紙片的一角（非直角）折疊，使其頂點(diǎn)落在對(duì)邊上（如圖1），你能提出什么問題？（投影PPT）

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圖1

（經(jīng)過5分鐘的小組討論交流）

生3：（問題1）求S△DEP的最值.

生4：（問題2）求線段DE長(zhǎng)度的取值范圍.

生5：（問題3）求線段CD長(zhǎng)度的取值范圍.

生6：（問題4）求線段CE長(zhǎng)度的取值范圍.

師：非常好，同學(xué)們提出了很多問題. 那么，你知道這些問題的答案嗎？

（學(xué)生一時(shí)沒有結(jié)果）

師：請(qǐng)大家拿出一張等腰直角三角形紙片，自己動(dòng)手折疊，嘗試在折疊的過程中尋找問題的答案.

（經(jīng)過5分鐘的動(dòng)手操作和小組討論交流）

生7：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，S△DEP最小；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，S△DEP最大.

生8：線段DE長(zhǎng)度的最小值為■AB，最大值為■AB.

生9：線段CD長(zhǎng)度的最小值為■CA，最大值為CA.

生10：線段CE長(zhǎng)度的最大值為■CB，應(yīng)該也有最小值，但我不能確定它的值.

師：同學(xué)們通過折紙，探究出了一些結(jié)論，那么這些結(jié)論是否正確呢？我可以告訴大家，生7和生8的結(jié)論都是錯(cuò)誤的. 這節(jié)課我們選擇“（問題1）求S△DEP的最值”這一問題來進(jìn)行研究，其他問題留給同學(xué)們課后完成.

例題：（投影PPT）如圖1，在等腰直角三角形紙片ABC中，AB=AC=1，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，現(xiàn)沿DE所在直線將紙片折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊AB上（記為點(diǎn)P），求△PDE面積的最小值.

師：那么，如何求一個(gè)三角形的面積呢？

生11：常用的三角形面積公式有兩個(gè)，即S=■ah（a為底邊長(zhǎng)，h為高）和S=■absinC（a，b為兩邊長(zhǎng)，C為a，b邊的夾角）.

師：通過剛才的折紙過程，你能發(fā)現(xiàn)一些邊或者角之間的關(guān)系嗎？

生12：通過折紙可以發(fā)現(xiàn)，△CDE≌△PDE，所以有CD=DP，CE=EP，∠CDE=∠PDE， ∠CED=∠PED，∠DCE=∠DPE=■等.

師：生12說得非常好，通過折疊的過程我們發(fā)現(xiàn)了一些邊和角對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系. 請(qǐng)小組討論如何設(shè)置變量，將S△DEP表示出來.

生13：（方法一）我們小組設(shè)邊PD=CD=x，PE=CE=y（如圖2），則AD=1-x，EB=■-y. 因?yàn)椤螦=90°，所以AP=■=■，BP=1-■. 在△BPE中，由余弦定理EP2=BE2+BP2-2BE·BP·cosB，得y2=（■-y）2+（1-■）2-2（■-y）（1-■）·cos■，整理得y=■. 所以S△DEP=■·PD·PE·sin■=■，■≤x≤1.

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圖2

師：設(shè)△PDE相鄰兩邊PD，PE為變量x，y，容易表示出△PDE的面積為■xysin■，難點(diǎn)是建立x，y之間的等量關(guān)系. 這里通過折疊前后的不變性，將x，y統(tǒng)一到△BPE中，通過余弦定理，用x表示y，進(jìn)而將S△DEP表示為關(guān)于x的函數(shù). 但你們是如何知道x的范圍是■≤x≤1的？

生13：因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)探究得到“線段CD長(zhǎng)度的最小值為■CA，最大值為CA”.

師：非常好，寫函數(shù)解析式時(shí)一定要注意定義域的范圍. 我們能用解題過程中的相關(guān)信息來確定x的取值范圍嗎？

生14：顯然x≤1，又1-x≤x，或■有意義，于是可得.

師：很細(xì)心！同學(xué)們還有其他表示S△DEP的思路嗎？

生15：（方法二）我們小組設(shè)PD=CD=x，∠PDE=∠CDE=θ，■≤θ≤■（如圖3），則在Rt△DAP中，DP=x，AD=1-x，∠ADP=π-2θ，所以cos（π-2θ）=■，即x=■=■. 在△DEC中，由正弦定理得DE=■=■，所以△DEP的面積S△DEP=■·DP·DE·sinθ=■，■≤θ≤■.

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圖3

師：生15通過設(shè)△PDE的邊PD為變量x，∠PDE=θ，用θ表示x，并通過正弦定理表示出DE，進(jìn)而將S△DEP表示為關(guān)于θ的函數(shù). 我想問，為什么θ的范圍是■≤θ≤■呢？

生15：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠CDE=■；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠CDE=■.

師：生13和生15準(zhǔn)確地把握住了影響△PDE面積變化的關(guān)鍵量，進(jìn)而合理設(shè)置自變量，利用折疊前后的不變量關(guān)系，建立關(guān)于△PDE面積的不同函數(shù)模型. 那么，同學(xué)們還有其他表示方法嗎？

（同學(xué)們一時(shí)沒有反應(yīng)）

師：大家想一想，你在折疊紙片時(shí)是如何達(dá)成“折疊后的C點(diǎn)恰好落在邊AB上的”？是不是先讓C點(diǎn)落在邊AB的某個(gè)位置上，再將紙片壓平，確定折痕DE的位置？這一操作過程對(duì)你有什么啟發(fā)？

生16：點(diǎn)C和點(diǎn)P關(guān)于DE對(duì)稱，DE是CP的垂直平分線，因此可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法求解.

師：觀察很敏銳，大家試試看！

生17：（小組討論后，方法三）如圖4，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（a，0），0≤a≤1，則直線DE的方程為y-■=ax-■，即y=ax+■. 令x=0，得D0，■，直線DE的方程與直線BC的方程x+y=1聯(lián)立，可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為■，所以S△DEP=■·CD·xE=■1-■·■=■，0≤a≤1.

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圖4

3. 反思提升

師：生13、生15、生17通過折紙發(fā)現(xiàn)了折疊型問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)——對(duì)稱. 通過邊的對(duì)稱和角的對(duì)稱，可以得到一些邊和角對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系，尤其不要忽視的是點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系. 通過大家的努力，我們通過不同的觀察角度：選邊、選角、選點(diǎn)，設(shè)置了不同的變量，得到了S△DEP的三種表示方式，下面只要用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值即可，這留給同學(xué)們課后完成.

通過今天的探究，同學(xué)們想一想處理最優(yōu)化應(yīng)用問題的一般步驟是什么.

生18：首先要讀懂題目意思，分清條件和結(jié)論，弄清楚數(shù)量關(guān)系，在題目意思難以理解的時(shí)候，可以借助生活實(shí)例、實(shí)物、圖形加以理解；根據(jù)題目條件和目標(biāo)設(shè)置變量，建立函數(shù)關(guān)系式，且要注意變量的限制條件；再利用單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等工具求解數(shù)學(xué)結(jié)論；最后，要根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行回顧，看看有沒有需要舍去的解，并且不要忘記作答.

師：生18總結(jié)得很完整. 我們可以概括為“理順數(shù)量關(guān)系、識(shí)別知識(shí)模塊、尋找問題動(dòng)因、巧設(shè)動(dòng)因變量、建立目標(biāo)函數(shù)、注意變量范圍、求解目標(biāo)函數(shù)、規(guī)范作答過程”. 同學(xué)們課后反思一下本節(jié)課的探究過程，希望對(duì)大家的應(yīng)用題解答有所幫助.

■幾點(diǎn)思考

1. 注重難點(diǎn)合理分解，稚化思維，逐個(gè)擊破

應(yīng)用題是江蘇高考的難點(diǎn)問題，難的原因主要有：文字多、背景陌生、信息量大，從而難以迅速把握題意. 另外，純數(shù)學(xué)題都有固定的知識(shí)模塊以及相應(yīng)的解題策略與方法，但應(yīng)用題需要通過分析，進(jìn)行模式識(shí)別，建立數(shù)學(xué)模型，沒有固定的套路.

為了分解難點(diǎn)，徐老師采用“稚化思維”的策略，通過回憶小學(xué)、初中一些應(yīng)用題的處理方法，讓學(xué)生感受“數(shù)量之間的關(guān)系”和“引入變量、建?！钡闹匾?，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的過程. 通過折紙操作，發(fā)現(xiàn)動(dòng)因，思考如何選擇變量建模，引導(dǎo)學(xué)生從不同的思考角度得到設(shè)邊、設(shè)角、設(shè)點(diǎn)等不同的變量設(shè)置方法，從而得到同一目標(biāo)的不同函數(shù)表示.

徐老師注重關(guān)鍵點(diǎn)處的點(diǎn)撥，比如課堂伊始，學(xué)生提出問題但暫時(shí)沒有辦法解決時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過折紙活動(dòng)來探究；在學(xué)生有了方法一和方法二后，引導(dǎo)學(xué)生通過點(diǎn)的對(duì)稱得到方法三這一解析法. 教師在學(xué)生的活動(dòng)過程中不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)、啟發(fā)、點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)、矯正，讓學(xué)生充分體會(huì)到解決應(yīng)用問題的基本流程和方式方法.

2. 合理設(shè)置探究活動(dòng)，關(guān)注過程，悟透本質(zhì)

應(yīng)用題的抽象性、生活性特點(diǎn)決定了它不能像解答立體幾何、解析幾何、數(shù)列那樣用固定的模式處理. 為了解決應(yīng)用題的抽象性，徐老師先引導(dǎo)學(xué)生提出問題，并設(shè)置“折紙”探究活動(dòng)幫助學(xué)生思考. 在課堂折紙活動(dòng)中，學(xué)生全都在折紙，我們部分聽課老師也在一起折紙?zhí)骄? 通過動(dòng)手折紙，還原了“原生態(tài)”的思考過程，明晰了問題的成因. 在經(jīng)歷“問題提出——問題思考——問題解決”的過程中，關(guān)注了過程與方法的并重、創(chuàng)新思維的生成、學(xué)習(xí)能力的提升，倡導(dǎo)學(xué)生自主思考的新課程理念，將解題教學(xué)過程變成一種指導(dǎo)學(xué)生自主探究、解決問題的過程. 有趣的折紙操作活動(dòng)和平等的師生對(duì)話形式，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的折疊過程中悟透“對(duì)稱”這一本質(zhì)，降低了應(yīng)用題本身帶給學(xué)生的心理壓力.

在教學(xué)過程中，教師通過觀察、操作、思考、交流、探究等形式，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，在“做數(shù)學(xué)”中理解數(shù)學(xué)，明白其中的道理. 教學(xué)時(shí)我們應(yīng)盡可能創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生親身感受學(xué)習(xí)的過程，積極開展以探究式教學(xué)為主的靈活多樣的教學(xué)方法，通過動(dòng)手操作等活化數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 在充分理解教學(xué)要求、教學(xué)理念的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的教學(xué)情境，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

課堂教學(xué)是為了讓學(xué)生在考試中取得優(yōu)異的成績(jī)，這是主要目的，但不是最終目的. 我們教學(xué)更重要的目的是“育人”，是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng). 教師要在教學(xué)中適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，在小組合作探究中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主生成，在自主交流中發(fā)展學(xué)生的思維能力. 學(xué)生一個(gè)人的思考有時(shí)是不全面的，甚至是不深入、不到位的，因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生相互交流、集思廣益，相互討論，完善方法. 教師更重要的價(jià)值在于：在學(xué)生有困惑時(shí)能給予恰如其分的點(diǎn)撥，能以恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生思考，能把教師對(duì)問題的理解轉(zhuǎn)化為學(xué)生的理解，使學(xué)生悟透本質(zhì)，自我提升.

3. 激勵(lì)學(xué)生提出問題，解決問題，提升素養(yǎng)

蘇霍姆林斯基說過，學(xué)生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 這指明了學(xué)生提出問題的內(nèi)部動(dòng)力——好奇心、認(rèn)知沖突和質(zhì)疑精神. 對(duì)于探究課的課堂教學(xué)，教師不僅自己要準(zhǔn)備合適的問題，更要引導(dǎo)學(xué)生提出問題.

要上好探究課，教師首先要善于提出好問題. 所謂好問題，不是復(fù)述性問題，而是有思維容量的問題，但學(xué)生經(jīng)過思考又是可以回答的問題，至少是有一些學(xué)生能夠回答、大部分學(xué)生能夠聽懂的問題. 提問題，有多種提法：直問、曲問、反問、激問、引問、追問（唐士凱《數(shù)學(xué)教學(xué)基本技能》）等. 調(diào)整性提問，先問一個(gè)籠統(tǒng)點(diǎn)的問題，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有困難，再提一個(gè)具體些的問題. 先大后小的提問，有時(shí)候比直接提小問題，更能激發(fā)學(xué)生的思維. 先小后大的提問方式，則有層層推進(jìn)的作用.

在“探究生成”環(huán)節(jié)，徐老師問學(xué)生：“你能提出什么問題？”這是開放性提問，是激發(fā)學(xué)生提問的大問題. 讓學(xué)生提出問題，是探究課的目的之一. 數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，就是喚醒和激勵(lì)學(xué)生內(nèi)心的潛在能量. 教師要尊重和愛護(hù)學(xué)生的好奇心，充分理解他們?cè)谔岢鰡栴}時(shí)的緊張感和焦慮感，并給予更多的鼓勵(lì)和關(guān)注，讓他們敞開心扉，自由地展現(xiàn)其靈性和個(gè)性. 數(shù)學(xué)課堂中思維的火花不斷地迸發(fā)，提出問題成為一種愉快的心理體驗(yàn)，學(xué)生在問題的提出和解決過程中，逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍的世界.

實(shí)踐活動(dòng)是學(xué)生形成問題的基礎(chǔ)和源泉，從中可以受到一定的啟發(fā)而提出問題. 采用折紙這種簡(jiǎn)單有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，能讓解題思想和方法在學(xué)生手中“油然而生”. 通過對(duì)折紙過程進(jìn)行分析和思考，學(xué)生心里的問題會(huì)得到解決，對(duì)折疊的“對(duì)稱”性質(zhì)也就有了深刻的認(rèn)識(shí). 教師在教學(xué)中應(yīng)放開雙手，放松心態(tài)，讓學(xué)生自己去經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)，讓他們?cè)谔岢鰡栴}和解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 這些核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)體. ”這些核心素養(yǎng)，在應(yīng)用題的解決過程中都有體現(xiàn). 高中數(shù)學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，著力創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過程.