石鵬

[摘 要] “任意角”是蘇教版必修四“三角函數(shù)”的起始課，也是三角函數(shù)的重要概念，借助于“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”模式，設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的必要性和興趣；設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究角的定義、角的概念的推廣、象限角等，體驗(yàn)自主探究過(guò)程的樂(lè)趣；設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究終邊相同角，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程拓展性；設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)鞏固新課知識(shí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的應(yīng)用性，讓學(xué)生最終掌握相關(guān)的知識(shí)并提高相應(yīng)的能力.

[關(guān)鍵詞] 任意角；活動(dòng)導(dǎo)學(xué)；自主探究

■基本情況

1. 學(xué)情分析

授課班級(jí)為某一重點(diǎn)高中的高一實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，課堂教學(xué)氣氛比較活躍，絕大多數(shù)學(xué)生敢于質(zhì)疑，勇于表達(dá)自己的思想，同時(shí)也能大膽地回答問(wèn)題或者提出問(wèn)題；同學(xué)間相互討論、相互研究、相互合作的氣氛濃厚，但也有少部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)參與性欠缺，在課堂上作教師和其他同學(xué)忠實(shí)的聽(tīng)眾，這需要教師在日常的教學(xué)中加以引導(dǎo)和培養(yǎng). 由于筆者在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中利用了活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)模式，在教學(xué)過(guò)程中設(shè)置了相應(yīng)的活動(dòng)讓學(xué)生探索新的知識(shí)，因此在探索活動(dòng)中，學(xué)生的思維過(guò)程得到了暴露，學(xué)生開(kāi)放性地接收到了新的知識(shí).

學(xué)生在蘇教版必修一的課本中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等相關(guān)概念，他們對(duì)概念的學(xué)習(xí)已有比較好的接受方式；同時(shí)他們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了角的概念，不過(guò)只局限于在0°到360°. 本節(jié)課先設(shè)計(jì)一些活動(dòng)和問(wèn)題用于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)到已有知識(shí)和新知識(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)不一致，從而吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力；再設(shè)計(jì)一些學(xué)生熟知的、直觀的，易理解、易接受的探究活動(dòng)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生感性體驗(yàn)；最后設(shè)計(jì)一系列與概念相對(duì)應(yīng)的探究活動(dòng)，給學(xué)生一定的時(shí)間和空間，讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作討論，然后全班交流，讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)，自己探究出推廣后的角的定義及角的表示方法.

2. 教材分析

“任意角”是必修四“三角函數(shù)”的起始課，而三角函數(shù)是描述客觀世界周期性變化規(guī)律的重要模型，在高中數(shù)學(xué)以及整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要的作用，在高考數(shù)學(xué)中也占有不少的分值；同時(shí)三角函數(shù)也是在學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)后學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù). 任意角這一課主要處理：①角的概念的推廣；②任意角、正角、負(fù)角、零角、象限角、軸線角以及終邊相同的角的概念.

教學(xué)目標(biāo)：①理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論任意；②能在0°到360°范圍內(nèi)，找出一個(gè)與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角；③能寫(xiě)出與任一已知角終邊相同的角的集合.■

教學(xué)重點(diǎn)：角的概念的推廣，終邊相同角的集合.■

教學(xué)難點(diǎn)：任意角、正角、負(fù)角等概念的形成過(guò)程.

■教學(xué)過(guò)程

1. 活動(dòng)一：角的概念的推廣

問(wèn)題1：在體操、跳水比賽中，常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體720°”，這里的角度是一個(gè)什么含義？

學(xué)生回答：旋轉(zhuǎn)兩圈.

設(shè)計(jì)意圖：突出知識(shí)產(chǎn)生的背景及其與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，揭示學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

問(wèn)題2：初中所學(xué)的角在0°～360°間，已適應(yīng)不了實(shí)際的需要，角的概念需要重新定義，那又如何定義呢？

學(xué)生方便地得出：一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形.

（1）角的定義：一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. 射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開(kāi)始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊. ■

設(shè)計(jì)意圖：①溫故而知新，通過(guò)具體生活實(shí)例打破學(xué)生原有的角不大于360°的認(rèn)知，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突. ②讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)到生活中存在大于360°的角，然后再考慮如何完善角的概念，如何度量新的角.

問(wèn)題3：掛鐘慢了5分鐘，如何調(diào)準(zhǔn)？快了5分鐘呢？

學(xué)生回答：慢了，將分針順時(shí)針轉(zhuǎn)30°；快了，將分針逆時(shí)針轉(zhuǎn)30°.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生意識(shí)到，為了有效刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)中的各種角，數(shù)學(xué)意義上的角不僅僅可以區(qū)分大小，也可以區(qū)分方向.

問(wèn)題4：這兩個(gè)角度一樣嗎？如何區(qū)別表示？（引導(dǎo)學(xué)生類比正數(shù)、負(fù)數(shù)，構(gòu)建概念）

學(xué)生自然得出了正角、負(fù)角、零角的概念，從而將0°～360°的角推廣到了任意角. 角的概念的推廣：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角為正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為負(fù)角. 如果射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫作零角. ■

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生應(yīng)類比正數(shù)、負(fù)數(shù)，構(gòu)建正角、負(fù)角的概念，強(qiáng)化類比思想和方法的應(yīng)用. 為了方便，數(shù)學(xué)上有許多約定俗成的概念，如規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角為正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為負(fù)角. ■

問(wèn)題5：試用圖示表示α=420°，β= -150°，并描述一下你是怎么作出來(lái)的.

圖略.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)作圖操作，讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念，同時(shí)讓他們感知沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，角表示得不便，體會(huì)引入象限角的必要性.

2. 活動(dòng)二：數(shù)形結(jié)合，探究象限角

問(wèn)題1：如何比較幾只筆的長(zhǎng)短？

學(xué)生回答：將筆的一端（起點(diǎn)）放在同一平面上.

設(shè)計(jì)意圖：為后面角放在象限里研究埋下伏筆.

問(wèn)題2：我們?yōu)榱朔奖阊芯吭S多角，是借助怎樣的平臺(tái)來(lái)研究的？

在平面直角坐標(biāo)系中（學(xué)生回答不出，教師講解）.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生討論認(rèn)識(shí)到，尋找“平臺(tái)”是認(rèn)識(shí)和刻畫(huà)事物和研究問(wèn)題的常用方法.

問(wèn)題3：把角放到平面直角坐標(biāo)系中，如何放置既簡(jiǎn)單又合理？放置后，對(duì)任意一個(gè)角，終邊有可能在哪些位置？

學(xué)生討論合作后就能得到象限角與軸線角的概念. 象限角：角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角. 軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角. ■

設(shè)計(jì)意圖：把角放在直角坐標(biāo)系里研究，研究角就有了統(tǒng)一的平臺(tái). 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，面對(duì)一個(gè)龐大的群體，分類是經(jīng)常的、必要的事件. 這樣既增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又強(qiáng)化了知識(shí)的整體性與聯(lián)系性.

問(wèn)題4：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列角：-300°，-150°，-60°，60°，210°，300°，420°，并判定它們?cè)诘趲紫笙?

設(shè)計(jì)意圖：由于角的范圍變大到任意角，如何用簡(jiǎn)單的圖形來(lái)表示，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖體會(huì)，學(xué)生之間交流討論心得，體會(huì)把角放到直角坐標(biāo)系內(nèi)給研究角帶來(lái)的方便和好處. 通過(guò)自主探究，這樣得到的結(jié)論更有意義，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的理解性.

3. 活動(dòng)三：學(xué)以致用，探究終邊相同角的表示

問(wèn)題：在同一坐標(biāo)系中作出下列各角：30°，210°，-330°，390°，750°.

（1）其中哪些角終邊相同？

（2）從作圖上看，和30°終邊相同的角有什么關(guān)系？

（3）從數(shù)量上看，和30°終邊相同的角有什么關(guān)系？能用集合表示嗎？若能請(qǐng)用描述法表示.

（4）你能寫(xiě)出終邊相同的角的表達(dá)式嗎？

（5）如何用集合表示與角α終邊相同的角？

一般地，與角α終邊相同的角的集合為_(kāi)_________.

設(shè)計(jì)意圖：終邊相同的角的關(guān)系及其表示是本節(jié)課的難點(diǎn)，為突破這一難點(diǎn)，設(shè)置由易到難、從特殊到一般的子活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作圖可以發(fā)現(xiàn)它們的終邊旋轉(zhuǎn)相差若干周，從而便容易發(fā)現(xiàn)在數(shù)量上相差k·360°. 經(jīng)歷這一探索過(guò)程，這樣得到的知識(shí)與技能更加牢固，理解更加深刻，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的拓展性.

4. 活動(dòng)四：數(shù)學(xué)應(yīng)用，鞏固新知

問(wèn)題1：在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：（1）650°；（2）-150°；（3）-990°15′.

問(wèn)題2：已知角α與240°角的終邊相同，試探究■是第幾象限角，2α是第幾象限角.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決問(wèn)題，進(jìn)一步理解任意角、象限角和終邊相同的角，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的應(yīng)用性.

5. 活動(dòng)五：課堂小結(jié)，提煉升華

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)：任意角（正角、負(fù)角、零角）？圯象限角（終邊所在的象限）？圯與角α終邊相同的角的集合S={ββ=α+k·360°，k∈Z}.

（2）思想方法：①數(shù)形結(jié)合：靜態(tài)向動(dòng)態(tài)擴(kuò)充，形成任意角；②化歸思想：形成終邊相同的角的集合；③分類討論：由k得不同的取值確定第幾象限角.

（3）探究途徑：獨(dú)立思考、動(dòng)手操作、合作探究.

設(shè)計(jì)意圖：突出教學(xué)目標(biāo)，不僅要進(jìn)行知識(shí)的小結(jié)，還要對(duì)思想方法進(jìn)行小結(jié)；體現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)思想和思維進(jìn)一步提升.

6. 活動(dòng)六：課堂檢測(cè)

（1）下列哪些角與30°角的終邊相同：

①？搖210°？搖 ②-330°？搖

③945°？搖？搖 ④-650°

（2）下列命題中正確的是（ ）？搖

A. 第一象限角一定不是負(fù)角

B. 小于90°的角一定是銳角

C. 鈍角一定是第二象限角

D. 第一象限角一定是銳角

（3）在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：

①-55° ②395°8′ ③1563°

（4）若α是第四象限角，試分別確定-α，180°+α，180°-α是第幾象限角.

設(shè)計(jì)意圖：課堂時(shí)間充裕則對(duì)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)把握的情況.

■回歸與反思

1. 設(shè)計(jì)思路

在設(shè)計(jì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，筆者決定運(yùn)用“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式，設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主討論、自主合作交流、自主生成相應(yīng)的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的探究和生成過(guò)程. 主要依據(jù)有以下幾個(gè)方面：

（1）“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式在我市開(kāi)展了十年時(shí)間，這些學(xué)生從小學(xué)開(kāi)始就已經(jīng)接受了這種教學(xué)模式，這些學(xué)生是筆者從高一帶上來(lái)的，筆者知道他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)能力，完全能夠勝任解決所設(shè)計(jì)的相關(guān)活動(dòng).

（2）在課堂的引入過(guò)程中，設(shè)計(jì)前兩個(gè)問(wèn)題，引入新的認(rèn)知，緊扣角的定義的本質(zhì)之一“旋轉(zhuǎn)”埋下伏筆；設(shè)計(jì)后兩個(gè)問(wèn)題，緊扣角的定義的本質(zhì)之二“方向”，為零角、正角、負(fù)角打下基礎(chǔ)，有利學(xué)生學(xué)通過(guò)自主討論、合作、交流、探究等提煉出相關(guān)的概念.

（3）在知識(shí)的形成的過(guò)程中，設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)為什么要引入概念，為什么要這樣定義概念等，突出概念產(chǎn)生的原因，從而引導(dǎo)學(xué)生自然而然地將角的靜態(tài)定義生成為動(dòng)態(tài)定義. 對(duì)“角為什么要放在直角坐標(biāo)系中研究”，可能由于缺少相關(guān)的知識(shí)和能力，采用了部分探究的方法，提高了探究的有效性.

（4）在知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程中，對(duì)例題和習(xí)題的選擇，注意到數(shù)量恰當(dāng)、難度適中，并且要具有典型性、代表性，同時(shí)避免同類型題的簡(jiǎn)單重復(fù). 對(duì)例題和習(xí)題的處理，可讓絕大多數(shù)學(xué)生完成后，請(qǐng)幾個(gè)成績(jī)中等或中等偏下，以及在一些題目中出現(xiàn)典型錯(cuò)誤的學(xué)生，同時(shí)板演所有題目的答案. 如果正確，就不講或進(jìn)行簡(jiǎn)單的點(diǎn)評(píng)；如果錯(cuò)誤，讓學(xué)生討論糾正、自主講評(píng)，教師引導(dǎo)、總結(jié)、提煉.

（5）在課堂小結(jié)的過(guò)程中，可以在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生進(jìn)行自主小結(jié)，也可以是教師自己進(jìn)行總結(jié).課堂小結(jié)要突出教學(xué)目標(biāo)，突出教學(xué)要點(diǎn)，不僅僅要對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，而且對(duì)與本堂課有關(guān)的思想方法進(jìn)行總結(jié).

（6）在課堂檢測(cè)的選題過(guò)程中，課堂檢測(cè)可以幫助學(xué)生加深和鞏固本堂課的知識(shí)、方法等，同時(shí)也能幫助學(xué)生形成相關(guān)的技能和解決問(wèn)題的能力. 不僅如此，也能檢測(cè)到學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，讓教師及時(shí)了解到學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，以便在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)行糾錯(cuò)和補(bǔ)償.

2. 反思

從教學(xué)的過(guò)程與結(jié)果來(lái)看，本堂課基本實(shí)現(xiàn)了筆者的活動(dòng)單所設(shè)計(jì)的內(nèi)容，課堂進(jìn)展比較流暢，學(xué)生基本能通過(guò)自主探究、小組合作、討論交流，發(fā)現(xiàn)角的概念推廣的必要性，能夠完成相應(yīng)概念的生成，能夠?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用. 這節(jié)課學(xué)生不僅增加了知識(shí)，培養(yǎng)了思維，提高了數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，還讓所有的學(xué)生都產(chǎn)生了成就感，在教師的引導(dǎo)下構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

由于課堂時(shí)間的有限以及學(xué)生的個(gè)體差異，在課堂引入部分，沒(méi)有充足的時(shí)間進(jìn)行舉例，沒(méi)有給學(xué)生足夠的想象空間，這樣由于部分學(xué)生的認(rèn)知水平的限制，在構(gòu)建“角”的過(guò)程中，容易產(chǎn)生表面化、片面性的理解，不利用他們對(duì)實(shí)例共同特征的歸納、概括以便形成角的定義，更不能讓學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)和把握概念的準(zhǔn)確內(nèi)涵.