一種帶有誤差補償項的折線線圈阻抗解析建模新方法

吳德會 何天府 黃一民 蘇令鋅 劉志天

摘 要：提出一種包含誤差補償項的任意折線線圈阻抗解析新模型。首先，在前人研究的基礎上，通過定義外形位置因子，簡化單矩形折線線圈的阻抗計算。其次，對多個單矩形折線線圈之間的相交耦合作用進行研究，建立串聯(lián)等效電感模型。再次，討論任意形狀折線線圈的拆解和重構過程，研究重構過程的誤差分布，并推導出誤差補償?shù)臄?shù)學表達；進而得到任意形狀折線線圈的入射場阻抗及散射場阻抗的完整解析模型。最后，對螺線形折線線圈這一典型特例進行計算，繪制阻抗平面圖，并利用高精度阻抗測試儀進行物理驗證實驗。結(jié)果表明，所提方法能有效補償線寬因素帶來的誤差，可對置于導體上方的具有不同激勵頻率和提離的任意形狀折線線圈的阻抗進行解析計算。

關鍵詞：折線線圈；矩形電流回路；阻抗計算；解析模型；誤差補償

中圖分類號：TM 153

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2018）04-0058-09

Abstract：An impedance analytical model of arbitrary shape meander coil is proposed in this paper.Firstly， the impedance calculation of single rectangular meander coil was simplified by defining shape-position factor.Secondly， the coupled effect between several overlapped meander coils was studied and the series equivalent inductance model of which was established.Thirdly， the separation and reconstitution processes of arbitrary shape meander coil were discussed， and the math expressions of error compensation in reconstitution process were also derived.Furthermore， the completely analytical model of incident field and scattered field impedance for arbitrary shape meander coil was obtained.Finally， a case of meander spiral coil was analyzed， and a series of physical verification experiments were carried out with a precise impedance tester.The results demonstrate that the presented method can be used in impedance analytical calculation of arbitrary shape meander coil， and placed over the conductor in different heights with different excitation frequencies.

Keywords：meander coil； rectangular current loop； impedance calculation； analytical model； error compensation

0 引 言

在電能無線傳輸及電磁檢測技術領域中，折線線圈因其設計簡單和易于模塊化的特性被廣泛使用。在渦流檢測領域，可利用折線線圈構成線圈磁力計陣列[1]，通過掃描從而生成檢測圖像。在感應式無線電能傳輸中，諧振耦合線圈也多采用螺線型折線線圈的形式[2-3]。采用折線形式的Rogowski線圈，也是現(xiàn)場測量高壓環(huán)境中大電流的重要器件[4]。在電磁超聲領域，改變電磁超聲換能器（EMAT）的折線線圈形式可激發(fā)不同模式的蘭姆波[5]。折線線圈的磁場分布與線圈結(jié)構、幾何參數(shù)緊密相關[6]，并直接影響線圈的性能[7]。因此對此類線圈磁場分布及其阻抗特性進行準確建模是各類電磁檢測[8]及電能無線傳輸系統(tǒng)設計[9]中的重要研究內(nèi)容。

近年來，國內(nèi)外對一些特殊形式的折線線圈阻抗計算進行了研究。T.P.Theodoulidis和E.E.Kriezis利用二階矢量位推導了平行置于非磁性導體空間上方單矩形折線線圈的入射場阻抗和散射場阻抗[10]。J.O.Fava和M.C.Ruch針對螺線形折線線圈建立了二階阻抗矢量模型，并根據(jù)線圈上激勵電流、線圈提離值及被測導體電導率的變化，繪制阻抗平面圖并進行了討論[2]。國內(nèi)學者郝寬勝、黃松嶺、趙偉等提出了將回折形折線線圈的阻抗和磁場計算問題轉(zhuǎn)化為矩形線圈陣列的疊加問題，并得到了線圈阻抗的頻域解析表達式[11]。但是，針對更復雜形態(tài)的折線線圈的阻抗建模，目前尚沒有相關研究及報告。

本文在前人研究的基礎上，提出對折線線圈的拆解及重構思路，可將上述單矩形、螺線形、回折形等折線線圈放在同一個模型中進行描述，并可解決任意折線線圈的阻抗機理建模問題。文中重點研究了任意形狀折線線圈的拆解模型及其重構過程中的誤差分布，并推導了修正補償項，得出了在導體上方任意形狀折線線圈阻抗的廣義二重積分完整解析模型。

1 折線線圈的串聯(lián)等效分析

1.1 單矩形折線線圈中電流回路的空間建模

單矩形折線線圈是本文討論的折線線圈的基本構成元素，不妨將單矩形折線線圈平行置于電導率為σ、相對磁導率為μr的無限大導體上方。在頻率為ω、強度為I的激勵電流作用下，該線圈形成了一個清晰的矩形電流回路?？赏ㄟ^對矩形電流回路及其有效空間內(nèi)的電磁場分布進行建模，達到求解單矩形折線線圈阻抗的目的[10]。

1.2 多個單矩形折線線圈的串聯(lián)建模

2 任意形狀折線線圈拆解建模及誤差補償

2.1 拆解、重構與誤差分析

現(xiàn)有研究中，針對一些特殊形狀電流回路的電磁場分布，往往采用串聯(lián)等效的思路來近似分析，例如：螺線形折線線圈可以近似等效為多個同一幾何中心但尺寸遞增的矩形線圈陣列串聯(lián)疊加[15]。對于本文中討論的任意形狀折線線圈的建模問題，也可借鑒上述線圈串聯(lián)疊加的思路。本文中將任意形狀折線線圈表達為平面空間內(nèi)有限N個更簡單形式的折線線圈串聯(lián)的過程，稱之為“拆解”，反之稱為“重構”。如圖3所示，對于確定形狀的折線線圈，其拆解方案具有多樣性，但不會影響其重構結(jié)果唯一性，就此不再贅述。

在現(xiàn)有的串聯(lián)等效研究中，均不考慮線圈厚度δ及線寬w，而將線圈內(nèi)電流假設為截面積無窮小的理想線形電流[17]。如圖3中所示，在該假設下，相鄰矩形電流回路兩兩相接處（圖中淺虛線所示）的線形電流可相互抵消，則線圈的宏觀電磁模型與其N個矩形電流回路的串聯(lián)模型完全等效。但是，本文所討論的折線線圈多應用于電能無線傳輸及各類電磁激發(fā)[16]，其激勵電流較大，線寬和厚度不容忽視，與上述假設明顯不符，必然會產(chǎn)生重構誤差。

如圖4中所示，設某一存在線寬w的線圈0，不妨將其拆解為2個更小線圈Ⅰ和Ⅱ。在重構時，雖然線圈Ⅰ和Ⅱ在兩兩相接處的電流方向仍是互逆的，但由于線寬w的存在，使得兩組互逆的線形電流在空間位置上不能完全重疊（如圖4中虛線所示）。因此，無法等效為圖4線圈0中所示的電流回路，重構失敗。因此在重構過程中，必須對線寬誤差進行建模補償。

2.3 任意形狀折線線圈阻抗模型

通過上述對重構過程中的誤差分析可知，由實際線寬等因素引入的重構誤差可通過補償外形位置因子Λ^進行修正，且僅與補償折線的端點有關。因此，任意形狀折線線圈的補償外形位置因子Λ^可表達為：

根據(jù)楞次定律，當載有激勵電流的線圈位于導體上方時，導體中感應渦流產(chǎn)生了與線圈中由電流激勵產(chǎn)生的一次場的變化方向相反的二次場，該二次場即為散射場。而渦流對線圈阻抗的影響表現(xiàn)在散射場阻抗。由式（16）所示帶有誤差補償項的串聯(lián)等效電感模型，可對任意形狀折線線圈的入射場阻抗Z及散射場阻抗ΔZ進行計算為

3 實驗與驗證

3.1 拆解方案的一致性驗證

由于“回折形”折線線圈在渦流檢測與EMAT中應用廣泛且其結(jié)構簡單，因此本節(jié)以此類線圈為例說明拆解和重構的具體過程。一個典型應用的“回折形”折線線圈的外形尺寸參數(shù)如表1中所示。

如圖6所示，可將該5折的回折形折線線圈拆解為線圈C及線圈陣列A，并添加5條線段組成的補償線段陣列B。本例中將該拆解結(jié)果稱為拆解方式一。

對于該回折形折線線圈，還可以將其拆解為線圈陣列a及線圈陣列c，并添加含8段補償線段的陣列b。記該拆解結(jié)果稱為拆解方式二，如圖7所示。

3.2 線寬誤差的存在性實驗

本節(jié)進一步驗證實際線圈的線寬因素對建模結(jié)果的影響?？紤]到“回折形”折線線圈屬于單匝線圈，其有效電感較小，實驗測量的精度不高。因此，特別利用PCB印刷電路板制作了兩個螺線形折線線圈。該形狀折線線圈的有效匝數(shù)較多，電感和電抗也相對較大，有利于實驗測量。本節(jié)實驗所用線圈如圖8中所示。

從圖9中可以看出，除了線寬不同外，兩個折線線圈的外形完全相同。兩螺線形折線線圈具體外形參數(shù)如表2中所示。

使用日本高精度阻抗測量儀HIOKI IM3523對上述線圈的自感量進行測量。將線圈置于高絕緣性的空芯泡沫塑料上方，以減小周圍環(huán)境對入射場的影響。實驗過程如圖9中所示。

為了減小PCB制造工藝給線圈外形尺寸帶來的誤差，制作了5組相同參數(shù)的PCB平面線圈，并分別進行線圈自感測量，測試結(jié)果如表3中所示。

從對線圈1和線圈2的自感量直接測量結(jié)果來看，線圈的線寬對阻抗的影響是明顯的。且隨線寬增加，自感量呈減小的趨勢，因此實際線圈的線寬不能忽視，需要對其進行誤差補償。

利用文獻[17]中介紹的線圈模型分別線圈1和線圈2自感量分別進行計算。再使用本文所提模型中帶有誤差補償項和不帶有誤差補償項的兩種情況下，分別對線圈1和線圈2進行計算，上述結(jié)果如下表所示。

從表4中可以看出，由于文獻[17]中模型并不考慮線圈的線寬參數(shù)，因此其對線圈1和線圈2的建模結(jié)果相同，且自感量的計算結(jié)果略大于實際測量值。本文所提模型中包含了線寬方向的積分，因此，即使在無補償項情況下，本文方法對線圈自感的建模精度也略高于文獻[17]中的方法。

當本文所提模型帶有誤差補償項后，可對重構過程中互逆線形電流的空間錯位進行修正，因此，具有最好的建模精度。而且，實際線寬越大，誤差補償?shù)男拚恳苍酱螅@一點也與實際工程經(jīng)驗相吻合。

3.3 入射場和散射場阻抗模型的實驗驗證

本文所提解析模型包含入射場阻抗Z及散射場阻抗ΔZ兩個部分，因此還可對渦流引起線圈阻抗的變化進行計算。將上述實驗中的線圈1（其參數(shù)見表2）置于30 mm厚的光滑鋁板上方，并對渦流引起的散射場阻抗變化進行實驗。實驗過程中，在線圈1和鋁板表面之間鋪設提離墊片，通過改變墊片厚度來調(diào)整線圈的實際提離值。同時，使用IM3523LCR監(jiān)測線圈的感抗變化，并使用Rigol MSO1074Z型示波器觀察線圈上的波形變化，整個驗證實驗過程如圖10所示。

對照式（18），模型計算中有2個參數(shù)在實驗中是無法精確確定的。第一個不確定參數(shù)是實驗所用鋁板的實際電導率σ；通過資料查詢，鋁材的電導率σ在3.1×107～4.0×107 S/m范圍之間，具體與不同型號鋁材所含合金及雜質(zhì)有關。另一個不確定參數(shù)是線圈實際有效的提離值h。由于PCB線圈表面有一層保護漆，而鋁板表面也鋪設有防短路薄膜，會對線圈形成一個固有提離值偏差。對于該“固有提離值”，暫無法精確測量，只能推測其范圍在0.2 mm～0.5 mm之間。

首先，分別固定激勵電流頻率f為10 kHz、50 kHz、200 kHz，并記錄隨提離墊墊片厚度變化的實測線圈阻抗。根據(jù)實測結(jié)果，繪制測試數(shù)據(jù)的阻抗點陣圖，如圖11中所示，其中，方形、圓形和三角形點陣分別為10 kHz、50 kHz、200 kHz時的測試數(shù)據(jù)。

再將線圈1的幾何參數(shù)及鋁材電導率的取值范圍代入式（19）進行模型計算，分別確定三組頻率值下理論阻抗的變化范圍（圖11中虛線所包含的陰影部分）。從如圖11中可以看出，實驗測量所得點陣圖均包含在理論計算阻抗的變化范圍內(nèi)。并且在該取值范圍內(nèi)，測量值與模型值最大的誤差為3.2%。

若根據(jù)實驗測試結(jié)果，對鋁板電導率σ進行系統(tǒng)誤差標定；則經(jīng)反復計算，當鋁板電導率被標定為3.536×107 S/m時，可得到圖11中的黑色實線。

從圖中可以看出，對鋁板電導率σ進行標定后，測量值和模型值的趨勢基本一致。隨著提離值h的增加，ΔR/X0趨近于0，X/X0X/X0趨近于1。說明，當線圈遠離導體時，散射場造成的影響逐漸減小，線圈的電抗趨近于自感感抗。本文模型能有效反映提離值對線圈阻抗的影響規(guī)律。

然后，在標定電導率的基礎上，再設置三組不同厚度的提離墊片并調(diào)節(jié)激勵電流頻率f，記錄隨電流頻率f變化的實測線圈阻抗。若忽略固有提離值，直接用提離墊片的厚度作為線圈提離值代入式（19）進行模型計算，則繪制的阻抗平面圖如圖12（a）所示。此時，模型值與測量值偏差非常大，誤差最大可達26%。從圖中也可以看出，該情況下，模型值明顯存在一個提離值測定上的系統(tǒng)誤差。

同樣，可根據(jù)測試結(jié)果，對該實驗過程中由固有提離值引入的系統(tǒng)誤差進行標定。經(jīng)反復計算，當固有提離值標定為0.4 mm時，用提離墊片厚度+固有提離值作為線圈的實際提離值h進行模型計算，可基本消除該系統(tǒng)誤差。圖12（b）中給出了實際提離值h分別為0.5 mm、1.0 mm及1.5 mm時，標定后的測量值和模型值的對比結(jié)果。

從圖中可以看出，標定后理論值和實測值之間的系統(tǒng)誤差得到有效消除，兩者偏差基本在1%左右。當線圈實際提離值h保持不變時，隨著激勵頻率f的增加，ΔR/X0先增大后減小，阻抗曲線呈現(xiàn)半圓形。該建模結(jié)果也與實際工程應用中渦流線圈的頻率響應規(guī)律相吻合。

4 結(jié) 論

1、本文提出了折線線圈的拆解及重構思路，可將單矩形、螺線形、回折形及其它任意不規(guī)則形態(tài)折線線圈置于同一個統(tǒng)一模型中進行阻抗機理分析。同時，考慮了現(xiàn)有理想模型中忽略的線圈寬度和厚度等所產(chǎn)生的誤差，彌補了在電能無線傳輸、EMAT電磁激勵等線圈的設計方面現(xiàn)有方法的不足。

2、通過定義外形位置因子Λ=ΓΨ，單矩形折線線圈的阻抗模型可表達為包含Λ的廣義二重積分表達式。任意形狀折線線圈可拆解為N個幾何中心與尺寸具有一定關系的單矩形折線線圈陣列的串聯(lián)。

3、重構誤差可通過對折線線圈的外形位置因子Λ進行補償。其補償項的取值僅由補償線段端點的點外形位置因子決定，而與各串聯(lián)等效折線線圈的具體形態(tài)、位置無關。

4、文中所提的帶有誤差補償項的折線線圈串聯(lián)等效電磁模型，可用于置于導體上方的不同形狀、激勵頻率、提離高度的任意形狀折線線圈的入射場阻抗及散射場阻抗的解析計算。

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（編輯：劉素菊）