基于動力學(xué)分析的定點投籃命中條件的研究

摘 要：本文通過對定點投籃中籃球的動力學(xué)分析，得到了籃球空心進(jìn)入籃筐的理論條件。首先，確定了球心經(jīng)過籃筐中心時出手速度與出手角度滿足的條件；其次，考慮籃筐對籃球的阻攔作用，將籃球入框問題轉(zhuǎn)化為求籃球的大圓和籃筐的等效入射截面的位置關(guān)系的問題，從而得到籃球進(jìn)入籃筐的入射角度和速度應(yīng)滿足的條件；接下來，考慮了投籃時出手角度的橫向偏差，分析出手的角度的橫向偏差與命中的關(guān)系；最后，給出了籃球出手速度、角度所容許的誤差。

關(guān)鍵詞：定點投籃；出手角度；出手速度；入射角；入射速度

1 緒論

籃球運動是我們生活中最流行的體育項目之一，而提高投籃的準(zhǔn)確性是我們都期待的。根據(jù)觀看大量的籃球比賽視頻以及自己投籃時的感悟，我們發(fā)現(xiàn)投籃的準(zhǔn)確程度與籃球進(jìn)入籃筐的角度和速度有關(guān)。本文對定點投籃過程建立動力學(xué)模型，旨在從理論上探究籃球空心入框的條件，用以提高籃球運動中的投籃準(zhǔn)確率。

籃球從出手到空心入框的過程可劃分為兩個運動過程：籃球從出手到即將進(jìn)入籃筐的運動過程和籃球從即將進(jìn)入籃筐到命中的運動過程。在前一個運動過程中，無需考慮籃球的形狀，可將籃球視為質(zhì)點，此時籃球的運動過程可以看作斜拋運動。在后一個運動過程中，運動過程很短，可將其近似地視為勻速直線運動，而由于籃筐大小的限制，需考慮籃球?qū)嶋H的形狀對入框的影響。因此，首先將籃球視為質(zhì)點，建立籃球球心軌跡模型，在不考慮籃筐大小的前提下，得到籃球球心經(jīng)過籃筐中心的條件。在此基礎(chǔ)上，分析籃球即將入框時，使籃球不擦碰籃筐順利投入籃筐時，入射角應(yīng)滿足的條件。最后，分析給出了出手的角度（橫向的偏角）和速度大小允許的偏差。

2 球心經(jīng)過筐心的條件

2.1 籃球運動軌跡經(jīng)過筐心的條件

首先考慮籃球球心正好命中籃筐中心的情況。此時無需考慮籃筐的阻攔，可將籃球視為一個質(zhì)點。由斜拋運動的知識，可將投籃出手速度沿水平和垂直方向分解，求出籃球在水平方向和垂直方向的運動學(xué)方程，進(jìn)而建立籃球球心的運動軌跡模型。由于籃筐中心的位置在籃球的運動軌跡上，將籃筐中心的坐標(biāo)代入籃球的軌跡方程，即可得到出手速度與角度的函數(shù)關(guān)系。

假設(shè)投籃時出手速度與籃筐中心在一個平面內(nèi)，無橫向偏角，相當(dāng)于籃球只在球心、籃筐中心與出手速度三者所確定的平面內(nèi)運動。不考慮籃球的旋轉(zhuǎn)，將籃球的運動看作二維的斜拋運動。于是，將坐標(biāo)原點定在籃球出手時的球心，水平方向設(shè)為x軸方向，豎直方向設(shè)為y軸方向，建立如圖2.1所示的平面直角坐標(biāo)系。

只考慮重力的作用，設(shè)籃球從剛出手時的球心O為坐標(biāo)原點，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在t=0時以出手速度v0和出手角度θ投出。根據(jù)牛頓第二定律可得水平方向與豎直方向上的動力學(xué)方程分別為：

于是，對于一定的投籃高度h，使式（2.4）等號成立的初速度即為最小出手速度vmin。顯然，vmin是h的減函數(shù)，即出手高度越大，最小出手速度越小，這與日常生活經(jīng)驗相符。

（2.5）式所確定的出手角度有兩個。根據(jù)國際籃聯(lián)的規(guī)定，籃筐高度的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)是H=3.05m，三分線距離籃筐中心的水平距離L=6.75m，重力加速度g取9.8m/s2，出手高度h=2.2m（下文同）。使用MATLAB進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2.2所示。

綜上所述，將籃球視為質(zhì)點，籃球中心經(jīng)過籃筐中心時，出手角度θ與出手速度v0的關(guān)系為。

2.2 籃球入筐的條件

由于有籃筐的阻擋，在即將進(jìn)入籃筐時，籃球不能被視為質(zhì)點。根據(jù)三維投影的原理，當(dāng)我們看桌面上的圓盤時，眼睛越接近圓盤所在的平面，看到的圓盤越“扁”，只有在圓盤正上方俯視時，圓盤才是圓的，面積也是最大的。在投籃時，斜飛過來的籃球，籃球的運動軌跡為拋物線，但當(dāng)籃球靠近籃筐時，可以認(rèn)為籃球是以勻速直線運動進(jìn)入籃筐的，因為是在很小的范圍內(nèi)，并且入筐時拋物線是凸的，所以這樣的簡化是合理的。通過類比三維投影的原理可知，對于斜飛來的籃球，籃筐并不是圓形的，我們稱它的實際效果面為入射截面，它是籃筐的圓形在垂直于籃球入射速度方向上的投影，是一個橢圓形。[1]記籃筐的直徑為D，根據(jù)圖2.3側(cè)視圖的投影可知，該橢圓的長半軸為a=D/2，短半軸為b=Dsinβ/2。

3 籃球出手的最大橫向偏角

當(dāng)籃球命中球心時，將籃筐投影到與入射方向垂直且過籃筐前沿的平面，則籃筐為如圖的橢圓。容易知道當(dāng)籃球的大圓圓心偏離橢圓中心最遠(yuǎn)時，大圓圓心一定在橢圓的長軸AB上，此時為左右偏移能取得最大的狀態(tài)，最大偏移時籃球與該投影橢圓相切。因此只需要考慮當(dāng)籃球球心命中橢圓長軸AB上的情況，建立橢圓與籃球大圓的方程，算出橢圓中心與大圓圓心的最大偏離距離，用最大偏移距離除以出手點到籃筐中心的距離OO即為橫向偏角的正切值。由于最大橫向偏角很小，可以該角度近似等于該角度的正切，由此便可求出最大橫向偏角。建立的坐標(biāo)系如圖3.1所示。

4 籃球出手時容許偏差分析

盡管本文通過精確的理論計算得出了理想的投籃出手角度和出手速度，但是當(dāng)我們按照理想的出手速度和出手角度進(jìn)行投籃時，難免會和理想的情況有一定的角度和速度偏差，不同的情況下偏差影響程度和允許的偏差又會有差別，本文通過微分近似確定了出手速度和角度所容許的偏差。[4]

4.1 出手速度與角度的容差

首先尋找出手角度偏差和落點偏差的關(guān)系。對籃球運動軌跡方程：

5 結(jié)語

本文的研究結(jié)果具有理論與實際應(yīng)用意義，可將結(jié)果推廣至籃球運動員投籃訓(xùn)練中，比如以何種出手速度、出手角度可增大投籃命中率，何種角度出手可以減小速度節(jié)省體力，何種入射角可以有最大的出手誤差范圍等。將理論推廣至實際訓(xùn)練中，使用某些科學(xué)手段，將籃球出手角度和出手力度控制在一定范圍進(jìn)行訓(xùn)練，久而久之形成動力定型，有利于提高命中率。運動員在準(zhǔn)備投籃時根據(jù)當(dāng)時所處位置和情況靈活運用本文的科學(xué)原理，快速做出反應(yīng)，在提高命中率的前提下節(jié)省體力，從而以更為輕松的姿態(tài)贏得比賽的勝利。

參考文獻(xiàn)：

[1]段然.籃球投籃運動軌跡與命中率的物理模型[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2009（20）：242-243.

[2]梁雙鳳，李保榮，梁林.橢圓內(nèi)切圓與曲率圓的方程及圖像研究[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報，2010，26（8）：8-13.

[3]劉強.關(guān)于等價無窮小量[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：22-23.

[4]高秀明，蘇永福.用變分方法研究籃球投籃最佳出手角[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2008，38（6）：143-150.

作者簡介：李明龍（2000-），男，漢族，山東省泰安市東平縣人，東平縣高級中學(xué)高三理科班學(xué)生。