李 洪，徐麗麗，李 勁

(昆明理工大學(xué) 質(zhì)量發(fā)展研究院，云南 昆明 650093)

0 引 言

在斷路器的制造過(guò)程中，如何控制電阻值、鍍銀厚度等關(guān)鍵影響因素已成為人們關(guān)注的問(wèn)題，控制影響因素水平成為關(guān)注的焦點(diǎn)。因而，需要構(gòu)建徑向基響應(yīng)面函數(shù)并利用改進(jìn)的非線性遺傳算法優(yōu)化因素水平，使溫控值達(dá)到最優(yōu)。

而由于響應(yīng)面法能夠在最優(yōu)區(qū)域內(nèi)通過(guò)二次多項(xiàng)式擬合一個(gè)響應(yīng)曲面代替未知的真實(shí)曲面。如：張亞南等[1]利用響應(yīng)面優(yōu)化法進(jìn)行復(fù)配穩(wěn)定劑的優(yōu)化，以此改善了乳清雪菊酒的不穩(wěn)定性；程軍圣等[2]為了改善聽(tīng)小骨消聲器的消聲性能，利用響應(yīng)面法夠造二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，并且驗(yàn)證了其方法的有效性。

但是響應(yīng)面法并未對(duì)殘差進(jìn)行處理，并且其核心之一就是輸入變量試驗(yàn)點(diǎn)選取的隨機(jī)性，而采用均勻設(shè)計(jì)篩選試驗(yàn)點(diǎn)后所構(gòu)建的響應(yīng)面便可以使結(jié)果更加精確，并且均勻設(shè)計(jì)更加適用于多水平試驗(yàn)，也多有應(yīng)用。如：周敏等[3]將均勻設(shè)計(jì)用在汽車前輪罩板成形參數(shù)設(shè)計(jì)中，明顯節(jié)省了工藝制造的時(shí)間，提高了工藝設(shè)計(jì)的工作效率；李子軒等[4]利用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法研究多水平工藝參數(shù)對(duì)C型鋼成形質(zhì)量的影響，結(jié)果表明合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案所得到的工藝參數(shù)有效地改善了冷彎產(chǎn)品的質(zhì)量。

而徑向基函數(shù)對(duì)于任意維的離散觀察點(diǎn)的處理較為簡(jiǎn)單，并且徑向基函數(shù)具有良好的擬合性和較高的精確值，同時(shí)利用插值擬合處理殘差，并建立基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型能夠更好地表達(dá)真實(shí)曲面的模擬信息。如：潘雷等[5]采用徑向基函數(shù)方法對(duì)多項(xiàng)式響應(yīng)面法的殘差進(jìn)行處理，有效地提高了多項(xiàng)式響應(yīng)面的近似精度。

縱觀均勻設(shè)計(jì)、響應(yīng)面優(yōu)化和徑向基函數(shù)等的發(fā)展與應(yīng)用，越來(lái)越多的學(xué)者將各種方法有機(jī)地結(jié)合在一起，以此來(lái)改善傳統(tǒng)單一的使用一種方法來(lái)研究某個(gè)領(lǐng)域的相關(guān)問(wèn)題，因此將徑向基函數(shù)與響應(yīng)面優(yōu)化和均勻設(shè)計(jì)相結(jié)合是一種不錯(cuò)的選擇，并且針對(duì)這一領(lǐng)域的研究已有不少，如：秦玉靈等[6]在對(duì)機(jī)翼進(jìn)行有限元分析時(shí)，首先利用均勻設(shè)計(jì)分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后在建立基于高斯徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型，并且利用最小二乘得出系數(shù)；馬偉標(biāo)等[7]在研究?jī)?yōu)化履帶車輛懸掛系統(tǒng)的參數(shù)時(shí)，利用徑向基函數(shù)構(gòu)建了其主要參數(shù)與平順性評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的響應(yīng)面模型，并且利用退火優(yōu)化算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，證明了其方法的可行性；安治國(guó)等[8]在討論板料成形時(shí)，首先通過(guò)超拉丁立方的抽樣設(shè)計(jì)，然后建立基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型，分析了板料在沖壓成形過(guò)程中的可靠性，證實(shí)了徑向基響應(yīng)面模型的有效性；陳磊等[9-10]利用改進(jìn)的浮點(diǎn)遺傳算法求解非線性方程組，結(jié)果表明該方法具有較好優(yōu)化能力，也提高了解的精度和搜索速度；李峰平等[11]將經(jīng)典的非線性規(guī)劃算法和遺傳算法相結(jié)合用于探討瞬變電磁反演，并取得了很好的效果；成志偉等[12]在對(duì)汽車動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化時(shí)采用非線性規(guī)劃遺傳算法，結(jié)果表明此方法的可行性。雖然利用均勻設(shè)計(jì)、響應(yīng)面優(yōu)化并結(jié)合徑向基函數(shù)建立模型，再通過(guò)非線性遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，用來(lái)解決解決多水平、非線性問(wèn)題的研究已有不少，但遺憾的是在控制斷路器的制造過(guò)程中分析其溫度變化的應(yīng)用還很少。

本文先對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，再構(gòu)建控制斷路器溫控回歸模型，然后構(gòu)建基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面優(yōu)化模型[13]，最終進(jìn)行優(yōu)化處理。

1 均勻設(shè)計(jì)RBF-RSM實(shí)現(xiàn)原理

1.1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法(RSM)由Box和Wilson提出，用于優(yōu)化響應(yīng)變量和響應(yīng)之間的潛在規(guī)律。

本文在構(gòu)建斷路器溫控優(yōu)化模型時(shí)則是利用恰當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)，在確定穩(wěn)定區(qū)域后，通過(guò)擬合二階響應(yīng)面回歸模型，并利用非線性遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化、分析，找到最佳的參數(shù)組合。

1.2 均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)

從早期的單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)發(fā)展至今，在響應(yīng)面優(yōu)化方法中人們通常都會(huì)使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)，如正交設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)、拉丁方等。但是對(duì)于多因素、多水平問(wèn)題，這些方法總存在缺陷，而均勻設(shè)計(jì)在安排較少試驗(yàn)次數(shù)的同時(shí)也使得試驗(yàn)數(shù)據(jù)更適合建立模型，在合理均勻排列試驗(yàn)點(diǎn)的同時(shí)也可以保證響應(yīng)面模型的精確度。

1.3 徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)(RBF)是由Hardy提出的某種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)，通常定義為n維空間中任一點(diǎn)到x某一中心xi之間距離的單調(diào)函數(shù)[14]，可記為：

H(‖x-xi‖)

(1)

式中：‖x-xi‖—x到xi之間的Euclidean距離。

1.4 徑向基響應(yīng)面模型

傳統(tǒng)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法精度有限，而徑向基函數(shù)和響應(yīng)面優(yōu)化構(gòu)造和計(jì)算簡(jiǎn)單，但不能夠較好提供插值曲面的近似連續(xù)擬合曲面。并且響應(yīng)面法由于不能對(duì)其結(jié)果中的殘差進(jìn)行處理而導(dǎo)致不能夠隨樣本容量的增大而有效地提高精度。

在RSM分析時(shí)，設(shè)生成的近似曲面為F，試驗(yàn)點(diǎn)和擬合點(diǎn)間的差值為殘差R。首先利用RBF對(duì)R進(jìn)行處理，提取R中的信息加入到近似結(jié)果中去，這樣可以有效地避免RBF和RSM的缺點(diǎn)。

其具體流程如圖1所示。

圖1 計(jì)算流程圖

2 非線性遺傳算法

2.1 非線性遺傳算法

非線性算法全局搜索能力較弱，而遺傳算法全局搜索能力較強(qiáng)，但是局部搜索能力較弱，一般只能得到問(wèn)題的次優(yōu)解，而不是最優(yōu)。因此，本研究將遺傳算法的全局搜索能力和非線性算法的局部搜索能力相結(jié)合，用來(lái)求解影響斷路器溫控問(wèn)題最優(yōu)解[15]。

非線性遺傳算法的流程如圖2所示。

圖2 非線性遺傳算法流程圖

2.2 改進(jìn)的非線性遺傳算法(INGA)實(shí)現(xiàn)

改進(jìn)的非線性遺傳算法的改進(jìn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)初始化種群。遺傳算法必須通過(guò)編碼把要求問(wèn)題的可行解表示成遺傳空間的染色體或者個(gè)體，而諸多編碼方法中實(shí)數(shù)編碼不必進(jìn)行數(shù)值轉(zhuǎn)換，可以直接在解的表現(xiàn)型上進(jìn)行遺傳算法操作，故本研究采用該方法將每個(gè)染色體表示為實(shí)數(shù)向量；

(2)適應(yīng)度函數(shù)。適應(yīng)度函數(shù)是用來(lái)區(qū)分群體中個(gè)體好壞的標(biāo)準(zhǔn)，一般是由目標(biāo)函數(shù)加以變換得到，本研究需要求得函數(shù)的最小值，即溫控的最小值，而函數(shù)值越小的個(gè)體，適應(yīng)度值越大，個(gè)體越優(yōu)，因此，筆者采用將函數(shù)值的倒數(shù)作為個(gè)體的適應(yīng)度值：

(2)

(3)選擇操作。選擇操作是從舊群體中以一定概率選擇優(yōu)良個(gè)體組成新的種群，以繁殖得到下一代個(gè)體。個(gè)體被選中的概率跟適應(yīng)度值有關(guān)，個(gè)體的適應(yīng)度值越高，被選中的概率就越大。本研究首先采用精英策略[16]，選取最大適應(yīng)值種群，然后在剩下的種群中采取輪盤賭法選擇，其中輪盤賭法即基于適應(yīng)度比例的選擇策略，個(gè)體i被選中的概率為：

(3)

式中：Fi—個(gè)體i的適應(yīng)度值；N—種群個(gè)體數(shù)目。

(4)交叉操作。交叉操作是指從種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)染色體進(jìn)行交換組合，把父代的優(yōu)良基因遺傳給子代，從而產(chǎn)生新的優(yōu)秀個(gè)體。由于個(gè)體采用的是實(shí)數(shù)編碼，所以交叉操作采用實(shí)數(shù)交叉法，第k個(gè)染色體ak和第i個(gè)染色體ai在j位的交叉操作為：

akj=aij(1-b)+aijb
aij=aij(1-b)+akjb

(4)

式中：b—[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)[17]。

(5)變異操作。利用Particle Swarm優(yōu)化算法的速率更新提出改進(jìn)的變異操作[18]。假定個(gè)體x1,x2…,xn中某元素xi產(chǎn)生變異，通過(guò)下述方法變異成新元素：

(5)

式中：c1，c1—大于0的常數(shù)；r1，r2—[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，b—參數(shù)。

變異操作的主要目的是維持種群的多樣性，避免算法陷入搜索空間的某個(gè)局部區(qū)域，保證算法的全局收斂性。

(6)非線性尋優(yōu)。本研究將遺傳算法每進(jìn)化一定代數(shù)(10代)后所得的結(jié)果作為初始值，采用Matlab優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃函數(shù)fmincon進(jìn)行局部尋優(yōu)，并把找到的局部最優(yōu)值作為新的個(gè)體染色體繼續(xù)進(jìn)化。

3 基于均勻設(shè)計(jì)RBF-RSM溫控工藝模型

本文的數(shù)據(jù)源于某公司QC小組對(duì)于分析斷路器時(shí)溫度變化的一次全面的調(diào)查，采集了在試驗(yàn)分析過(guò)程中影響溫度變化的3項(xiàng)指標(biāo)：熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值。

3.1 均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案

表1 試驗(yàn)因素及水平

3.2 均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果

按照試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案安排試驗(yàn)，得到結(jié)果如表2所示(溫度變化為響應(yīng)值)。

表2 均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案及結(jié)果

3.3 徑向基響應(yīng)面模型的建立

將溫度變化作為響應(yīng)變量，熔焊面積(X1)、鍍銀厚度(X2)和電阻值(X3)作為自變量，根據(jù)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果建立不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面模型：

(6)

式中：Y1—響應(yīng)值；β0—常數(shù)項(xiàng)；βi—一次項(xiàng)系數(shù)；Xi—各因素。

根據(jù)表2的結(jié)果，利用Matlab工具擬合，得到其響應(yīng)面模型的方程：

殘差就是真實(shí)值與擬合值之間的差值，即為：

(7)

二次響應(yīng)面回歸方程中各試驗(yàn)點(diǎn)的真實(shí)值與擬合值之間的差值如表3所示。

表3 各試驗(yàn)點(diǎn)殘差

由于徑向基函數(shù)H‖x-xj‖可以是任意形式的低階多項(xiàng)式，本研究選取‖x-xj‖c作為徑向基函數(shù)，其中0

Y1=0.15‖x-57.5‖

因此，得到基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型為：

改進(jìn)后的徑向基響應(yīng)面模型是利用殘差進(jìn)行插值擬合后在進(jìn)行疊加而形成的，通過(guò)模型可以看到，改進(jìn)后的模型比原模型更優(yōu)。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)遺傳算法和非線性規(guī)劃算法理論，在Matlab中編程實(shí)現(xiàn)了基本遺傳算法和改進(jìn)的非線性遺傳算法對(duì)影響斷路器溫控的因素進(jìn)行尋優(yōu)。其中，遺傳算法參數(shù)設(shè)置為：種群大小80，進(jìn)化代數(shù)40，交叉概率0.7，變異概率0.01。

基本遺傳算法和改進(jìn)的非線性遺傳算法優(yōu)化過(guò)程中最優(yōu)個(gè)體函數(shù)值變化分別如圖(3，4)所示。

圖3 基本遺傳算法優(yōu)化過(guò)程

圖4 改進(jìn)的非線性遺傳算法優(yōu)化過(guò)程

比較圖3和圖4可見(jiàn):基本遺傳算法在種群進(jìn)化到35代時(shí)開(kāi)始收斂，而改進(jìn)后的非線性遺傳算法在種群進(jìn)化到20代時(shí)開(kāi)始收斂，而在30代已達(dá)到最優(yōu)解。由此可見(jiàn)，基于改進(jìn)的非線性遺傳算法，在收斂的速度上明顯優(yōu)于基本遺傳算法。

在相同的條件下，改進(jìn)的非線性遺傳算法與非線性規(guī)劃算法及基本遺傳算法的求解結(jié)果如表4所示。

表4 文中之INGA與其他算法的求解結(jié)果比較

從各算法求解結(jié)果可見(jiàn)：改進(jìn)的非線性遺傳算法所優(yōu)化的結(jié)果要優(yōu)于非線性規(guī)劃算法和基本遺傳算法。綜合圖表可見(jiàn)：改進(jìn)后的非線性遺傳算法充分發(fā)揮了遺傳算法的全局搜索能力和非線性規(guī)劃算法的局部搜索能力。

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究以溫度變化值作為響應(yīng)變量，以熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值作為參數(shù)，利用均勻設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)建立響應(yīng)面優(yōu)化模型，并且利用傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化模型沒(méi)有對(duì)殘差進(jìn)行處理的缺陷進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)利用殘差進(jìn)行徑向基函數(shù)的插值擬合，最終構(gòu)建了基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面優(yōu)化模型，找到了最佳的參數(shù)組合，并與傳統(tǒng)的非線性規(guī)劃算法和基本遺傳算法相比較，結(jié)果表明：文中所提出的改進(jìn)非線性遺傳算法的搜索性能更好。

本文的不足之處在于，只是選擇了不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面優(yōu)化模型，也可以選擇全模型等，不同的選擇構(gòu)建的模型是不一樣的；徑向基函數(shù)的選取不同，其構(gòu)建的優(yōu)化模型也是不一樣的；改進(jìn)遺傳算法的方法和參數(shù)設(shè)置不同其優(yōu)化結(jié)果也會(huì)不同，以上這些都會(huì)導(dǎo)致最終優(yōu)化結(jié)果的不同。

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