嚴(yán)宏志，肖蒙，胡志安，艾伍軼，明興祖

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基于Ease-off的螺旋錐齒輪齒面分區(qū)修形方法

嚴(yán)宏志1, 2，肖蒙1, 2，胡志安1, 2，艾伍軼1, 2，明興祖3

(1. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗室，湖南 長沙，410083；2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；3. 湖南工業(yè)大學(xué) 快速成型技術(shù)研究所，湖南 株洲，412007)

為預(yù)控雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪的嚙合性能，研究基于Ease-off的螺旋錐齒輪齒面修形方法。用大輪理論齒面展成得到小輪共軛齒面，基于預(yù)設(shè)的對稱拋物線傳動誤差和接觸跡，將齒面劃分為小端、中間接觸區(qū)、大端共3個區(qū)域，并基于局部共軛原理沿嚙合線方向?qū)?個區(qū)域進(jìn)行3段拋物線修形，得到目標(biāo)齒面；采用Ease-off齒面接觸分析方法，對得到的目標(biāo)齒面嚙合性能進(jìn)行分析。研究結(jié)果表明：傳動誤差的形狀、幅值、接觸跡線與接觸印痕達(dá)到預(yù)置要求；分區(qū)修形方法為雙重螺旋法加工的齒輪工作齒面、非工作齒面同步分區(qū)修形優(yōu)化提供了新途徑。

螺旋錐齒輪；Ease-off；分區(qū)修形；齒面接觸

采用雙重螺旋法加工齒輪具有高效、高速的特點(diǎn)，在一些發(fā)達(dá)國家普遍采用。采用雙重螺旋法對加工齒輪齒面的優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。國內(nèi)外研究者根據(jù)齒輪的嚙合性能需求對齒面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，如：ARGYRIS等[1?4]利用局部綜合法預(yù)控參考點(diǎn)接觸參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了控制參考點(diǎn)附近的嚙合性能，但無法對全齒面嚙合性能進(jìn)行控制；吳訓(xùn)成等[5]提出了齒面主動設(shè)計方法，通過預(yù)設(shè)傳動誤差和接觸印痕進(jìn)行齒面的一階、二階參數(shù)設(shè)計，但只針對單面法加工的齒面；田興等[6]研究了少數(shù)齒非對稱漸開線直齒輪的設(shè)計方法，通過此方法計算出達(dá)到最大重合度時的大、小輪最小齒數(shù)；Ease-off拓?fù)鋱D反映了理論齒面偏離共軛齒面的程度，可直觀反映出相配齒面的微觀幾何結(jié)構(gòu)和嚙合特性，蘇進(jìn)展等[7?11]提出基于Ease-off和敏感矩陣的弧齒錐齒輪優(yōu)化設(shè)計方法，并對保證齒面的工作面的嚙合性能進(jìn)行了討論；曹雪梅等[12?13]研究了滿足高階傳動誤差齒面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法，發(fā)現(xiàn)高階傳動誤差計算齒面時常在齒根部分不收斂，且基于大輪齒面的預(yù)設(shè)接觸軌跡并不能保證所求目標(biāo)齒面接觸跡線為直線的要求；杜進(jìn)輔等[14]建立了對擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的主動設(shè)計方法，對雙側(cè)曲面采用類似的3段拋物線修形，其修形曲線不連續(xù)；王會良等[15]對斜齒輪齒面沿齒廓與齒向方向進(jìn)行分段拓?fù)湫扌?，將齒面劃分為9個區(qū)域進(jìn)行討論，但根據(jù)齒廓與齒向進(jìn)行齒面分區(qū)，不適用于螺旋錐齒輪。本文作者以實(shí)現(xiàn)雙重螺旋法加工的全齒面分區(qū)修形優(yōu)化為目標(biāo)，以共軛齒面作為基準(zhǔn)面，基于局部共軛原理，將齒面劃分為3個區(qū)域，預(yù)設(shè)對稱拋物線傳動誤差，對齒面進(jìn)行沿嚙合線方向的3段拋物線修形，得到1個符合要求的目標(biāo)齒面，對工作齒面和非工作齒面進(jìn)行算例驗證。

1 完全共軛齒面

當(dāng)小輪齒面與大輪齒面完全共軛時，大輪嚙合轉(zhuǎn)角2與小輪嚙合轉(zhuǎn)角1滿足

同時，兩齒面嚙合時嚙合方程為

圖1 嚙合坐標(biāo)系

基于空間嚙合理論和坐標(biāo)變換，大輪齒面在坐標(biāo)系2中的位矢和法矢表達(dá)式為

式中：2和2為大輪刀具切削面的坐標(biāo)參數(shù)；2為加工大輪時的搖臺轉(zhuǎn)角。將大輪齒面看作產(chǎn)形輪齒面，小輪齒面看作被加工齒面，則與大輪齒面完全共軛的小輪齒面表達(dá)式為

式中：M為坐標(biāo)S到坐標(biāo)S的坐標(biāo)變換矩陣。

2 滿足預(yù)設(shè)嚙合性能的齒面修形

2.1 預(yù)設(shè)的對稱拋物線傳動誤差

由前面內(nèi)容可以求出與大輪完全共軛的小輪齒面，但完全共軛的齒輪副對安裝誤差十分敏感，不具備可調(diào)性，因此，需要對完全共軛的齒面副進(jìn)行修形，使齒輪副產(chǎn)生失配關(guān)系，變成局部共軛接觸。

圖2 對稱拋物線形傳動誤差曲線

單獨(dú)滿足傳動誤差的共軛小輪齒面不能達(dá)到良好的嚙合性能[13]，需要對小輪繼續(xù)進(jìn)行基于預(yù)設(shè)接觸跡及沿嚙合線方向的修形。

2.2 預(yù)設(shè)的接觸跡

接觸跡線的形狀、大小及位置直接影響齒輪副的運(yùn)動、潤滑特性以及傳動效率和承載能力[14]。

將接觸跡線設(shè)計為直線可以減小齒面對安裝誤差的敏感性。在大輪完全共軛齒面上預(yù)設(shè)接觸跡線，如圖3所示(其中，為接觸跡線與節(jié)錐線的夾角，為瞬時接觸橢圓長半軸)。

圖3 接觸跡線示意圖

2.3 齒面的網(wǎng)格劃分

為確定齒面數(shù)據(jù)，需要對齒面進(jìn)行離散化處理，在齒輪投影面上劃分網(wǎng)格。在全齒面上沿齒長方向取個點(diǎn)，沿齒高方向取個點(diǎn)[16](如圖4所示)，計算投影面內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)。圖4中，為設(shè)計交叉點(diǎn)，p為交叉點(diǎn)到節(jié)錐頂點(diǎn)的距離，m為節(jié)錐頂點(diǎn)與點(diǎn)的距離，m為節(jié)錐角。

圖4 齒面網(wǎng)格劃分

式中：為在對應(yīng)坐標(biāo)系中大輪的旋轉(zhuǎn)軸。

在?坐標(biāo)系中，設(shè)定的接觸跡線滿足方程：

式中：0和0為參考點(diǎn)處的坐標(biāo)；為接觸跡線方 向角。

3 齒面分區(qū)修形

圖5所示為齒面分區(qū)修形的示意圖。將齒面分成小端、中間接觸區(qū)和大端3部分，保證齒面連續(xù)可導(dǎo)。沿嚙合線方向進(jìn)行3段拋物線修形，小端、中間接觸區(qū)和大端分別對應(yīng)1段拋物線。

圖5 齒面分區(qū)示意圖

以嚙合線與接觸跡線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，齒面法線方向為，指向輪齒大端的橢圓長軸方向為方向，建立如圖6所示的坐標(biāo)系，修形曲線見圖7。

圖6 多段拋物線修形示意圖

圖7 修形曲線

在設(shè)計接觸區(qū)內(nèi)，沿嚙合線方向按照拋物線Ⅰ進(jìn)行修形。在小端區(qū)域內(nèi)，沿嚙合線方向按照拋物線Ⅱ進(jìn)行修形。在大端區(qū)域內(nèi)，沿嚙合線方向按照拋物線Ⅲ進(jìn)行修形。嚙合區(qū)外的修形量可以根據(jù)實(shí)際工況情況進(jìn)行確定。

嚙合線方向修形曲線方程表達(dá)式為

式中：為預(yù)置的瞬時接觸橢圓長半軸的長度；為接觸齒面間的彈性變形量[18]，一般取0.00 635 mm。

要保證整個齒面連續(xù)可導(dǎo)，應(yīng)該滿足以下幾個約束條件：

式中：1和2均等于預(yù)設(shè)的接觸橢圓長半軸長度；3和4分別為靠小端和大端齒面區(qū)域內(nèi)沿軸到接觸跡線的最遠(yuǎn)距離；1和2分別為小端、大端的最大修形量。

則沿嚙合線方向的法向修形量如下。

當(dāng)?≤≤時，

當(dāng)?3≤＜?時，

當(dāng)≤＜4時，

4 算例

以1對大輪采用成形法、小輪采用雙重螺旋法加工的準(zhǔn)雙曲面齒輪副的工作面為例[19]，大、小輪的基本參數(shù)見表1，大輪加工參數(shù)見表2，分區(qū)修形預(yù)設(shè)參數(shù)見表3。

圖8和圖9所示分別為滿足對稱拋物線修形的小輪凹凸兩面差曲面的失配拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。從圖8和圖9可以看出：對稱拋物線傳動誤差對小輪齒面進(jìn)行了內(nèi)對角修形，小輪工作面大端修形量大于小端修形量，小輪非工作面小端修形量大于大端修形量。小輪齒面與大輪齒面為線接觸，由于滿足對稱拋物線傳動誤差，齒面沿接觸線方向產(chǎn)生了修正量。

將齒面分成小端、中間接觸區(qū)和大端3部分，沿嚙合線方向?qū)?個區(qū)域進(jìn)行對應(yīng)的拋物線修形。圖10~13所示分別為工作面、非工作面分區(qū)修形曲線及沿嚙合線方向分區(qū)修形曲線，其中，圖10和圖12所示分別為工作面和非工作面的分區(qū)修形曲線；圖11和圖13所示分別為按照修形曲線沿嚙合線修形后的齒面失配拓?fù)鋱D。從圖10~13可以看出：齒面沿嚙合方向產(chǎn)生了修正量；小端和大端的最大修形量與預(yù)設(shè)值一致，齒面在外對角方向產(chǎn)生了修形。

表1 基本參數(shù)

注：其中負(fù)號表示?坐標(biāo)系中軸的負(fù)方向。

表2 大輪加工參數(shù)

表3 預(yù)設(shè)參數(shù)

注：其中負(fù)號表示?坐標(biāo)系中軸的負(fù)方向。

數(shù)據(jù)單位：μm

數(shù)據(jù)單位：μm

圖10 工作面分區(qū)修形曲線

數(shù)據(jù)單位：μm

1—中間接觸區(qū)修形曲線；2—近小端修形曲線；3—近大端修形曲線。

數(shù)據(jù)單位：μm

齒面經(jīng)過對稱拋物線修形及沿嚙合線方向的分區(qū)修形后，產(chǎn)生滿足預(yù)設(shè)要求的目標(biāo)齒面，如圖14和圖15所示。從圖14和圖15可以看出：最終目標(biāo)齒面齒面與大輪齒面為點(diǎn)接觸，不僅沿接觸跡線產(chǎn)生修正量，而且沿嚙合線產(chǎn)生了修正量。

運(yùn)用Ease-off齒面接觸分析方法對得到的目標(biāo)齒面進(jìn)行嚙合性能驗證，可以得到目標(biāo)齒面的接觸區(qū)和傳動誤差曲線，如圖16~19所示。

數(shù)據(jù)單位：μm

數(shù)據(jù)單位：μm

圖16 小輪工作面接觸印痕

圖17 小輪非工作面接觸印痕

圖18 小輪工作面?zhèn)鲃诱`差曲線

圖19 小輪非工作面?zhèn)鲃诱`差曲線

由圖16~19可知：用大輪理論齒面展成得到了小輪共軛齒面并經(jīng)過預(yù)設(shè)傳動誤差、接觸跡線和沿嚙合線方向的分區(qū)修形，得到的目標(biāo)齒面的接觸區(qū)、傳動誤差值與預(yù)置值基本相符；接觸印痕位于齒面中部區(qū)域，接觸區(qū)未發(fā)生畸變，工作面的傳動誤差轉(zhuǎn)換點(diǎn)為12″，非工作面的傳動誤差轉(zhuǎn)換點(diǎn)為15″，滿足預(yù)置嚙合性能的要求。

5 結(jié)論

1) 針對雙重螺旋法加工的凹凸兩面修形，用大輪理論齒面展成得到小輪共軛齒面，并進(jìn)行滿足預(yù)置傳動誤差、預(yù)置接觸跡和齒面分區(qū)修形，得到合理的目標(biāo)齒面的齒面設(shè)計方法，為齒面的修正和修形研究提供了參考。

2) 采用對稱拋物線傳動誤差預(yù)置，將齒面劃分為大端、小端和中間接觸區(qū)共3個區(qū)域，并通過三段拋物線修形，在沿嚙合線方向上產(chǎn)生了預(yù)設(shè)的修形量，從而得到了滿足預(yù)設(shè)要求的目標(biāo)齒面，實(shí)現(xiàn)了對滿足預(yù)置嚙合性能的理想齒面的控制，可為全齒面的分區(qū)優(yōu)化研究提供參考。

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(編輯 陳燦華)

A novel ease-off flank zoning modification method of spiral bevel gears

YAN Hongzhi1, 2, XIAO Meng1, 2, HU Zhian1, 2, AI Wuyi1, 2, MING Xingzu3

(1. State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 3.Institution of Rapid Prototyping Technology, Hunan Industry University, Zhuzhou 412007, China)

A novel ease-off flank zoning modification method was proposed to pro-control the meshing performance of spiral bevel gears manufactured by duplex helical method. The conjugate pinion tooth surface was modified to meet the preconditions, which was generated by gear theoretical tooth surface, and then the conjugate pinion tooth surface was divided into three regions, i.e., the toe, the middle and the heel. These regions’ modification with three segment parabolics were conducted along the contact path and the contact line. Ease-off tooth contact analysis methodology was used to analyze the target tooth surface meshing performance. The results show that the transmission error, contact path and contact line are the same as the pre-preconditions. The novel zoning modification method can be used for modification research of whole tooth surface of spiral bevel gears manufactured by duplex helical method.

spiral bevel gear; Ease-off; zoning modification; tooth contact

TH132.4

A

1672?7207(2018)04?0824?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.04.008

2017?05?10；

2017?07?22

國家自然科學(xué)基金資助項目(51575533, 51375161)(Projects(51575533, 51375161) supported by the Natural National Science Foundation of China)

嚴(yán)宏志，博士，教授，從事復(fù)雜曲面數(shù)字制造理論與技術(shù)研究；E-mail：yhzcsu@163.com