功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇方法

田銘興 ，王江彬 ，趙遠(yuǎn)鑫

（1.蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 甘肅省軌道交通電氣自動(dòng)化工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇問題是一個(gè)非?；A(chǔ)的問題，但一直沒有得到統(tǒng)一解決。眾多研究者選用電路中性點(diǎn)作為參考點(diǎn)［1-5］，又有研究者選用大地作為參考點(diǎn)［6-9］，還有研究者直接利用搭建虛擬中性點(diǎn)的方法來解決參考點(diǎn)選擇問題［10-13］。另外，現(xiàn)有的大多數(shù)功率理論定義方法［10，13-15］所定義的無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇的影響［13］，這意味著在空間選擇不同的參考點(diǎn)應(yīng)用同一種功率理論定義方法計(jì)算所得的無功功率和視在功率完全不同，從而導(dǎo)致功率因數(shù)也會(huì)因參考點(diǎn)選擇的不同而不同。功率因數(shù)是用來衡量電路本身特性的，而參考點(diǎn)選擇則完全遵循功率理論研究者的人為意愿，因此功率因數(shù)受參考點(diǎn)選擇影響是不合理的。

然而，參考點(diǎn)選擇時(shí)到底應(yīng)該遵守怎樣的依據(jù)，很少有文獻(xiàn)對此做專門的分析。這導(dǎo)致人們沒有認(rèn)識(shí)到參考點(diǎn)選擇時(shí)受到的約束，認(rèn)為功率理論研究中的參考點(diǎn)可以任意選擇，從而導(dǎo)致現(xiàn)有功率理論定義時(shí)參考點(diǎn)選擇的方法多種多樣，這時(shí)無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的本質(zhì)原因容易被忽略。實(shí)際上，除了少數(shù)情況［16-17］外，電路分析和電磁場分析問題求解過程中的參考點(diǎn)確實(shí)可以任意選擇，這是導(dǎo)致目前功率理論定義過程中參考點(diǎn)任意選擇的根源。

針對這些問題，本文首先明確了功率理論定義中參考點(diǎn)選擇時(shí)應(yīng)該受到的約束，然后在此基礎(chǔ)上證明了所選擇參考點(diǎn)的唯一性，最后以廣義瞬時(shí)功率理論為例對本文參考點(diǎn)選擇方法進(jìn)行了說明，并使針對具體電路的功率量成為唯一確定值，這對視在功率和功率因數(shù)等量的計(jì)算都是有利的。

1 參考點(diǎn)選擇的約束條件

圖1為n端電路示意圖，該n端電路的n個(gè)端子可以接系統(tǒng)電源，也可以接補(bǔ)償器。選擇空間任意一點(diǎn)x（這里的x表示空間中所有可供選擇參考點(diǎn)構(gòu)成的集合X中的任意一個(gè)元素，即x∈X）作為參考點(diǎn)進(jìn)行分析。

圖1 選擇任意參考點(diǎn)的多端電路Fig.1 Multi-terminal circuit with arbitrary point as reference point

圖1 中的 u1x、u2x、u3x、…、un-1x、unx表示選擇任意參考點(diǎn)x后電路各個(gè)端子相對于參考點(diǎn)x的瞬時(shí)電壓，這些瞬時(shí)電壓構(gòu)成的向量稱為瞬時(shí)電壓向量，記作：

i1、i2、i3、…、in-1、in表示電路各個(gè)端子上的瞬時(shí)電流，這些瞬時(shí)電流構(gòu)成的向量稱為瞬時(shí)電流向量，記作：

針對圖1的n端電路，在已知式（1）與式（2）給出的瞬時(shí)電壓向量unx與瞬時(shí)電流向量in的基礎(chǔ)上，廣義瞬時(shí)功率理論［6-10］可以將電流分解為：

其中，為電壓向量unx長度的平方；In為單位矩陣。

其中，p為電路的瞬時(shí)有功功率；q為瞬時(shí)虛功率矩陣［6-10］；為 p 的直流分量；為 p 的交流分量；為 q的各個(gè)元素取直流量構(gòu)成的矩陣；為q的各個(gè)元素取交流量構(gòu)成的矩陣。

針對這4 個(gè)功率量，考慮到每個(gè)功率量等于0或者不等于0的情況，4個(gè)功率量構(gòu)成的組合數(shù)目為：

由于，那么根據(jù)式（4）可以將這 16 種組合形式具體分為5種情況。

a.4個(gè)功率量全部等于0的一種情況，具體為：

對于一個(gè)實(shí)際電路，式（5）所示的這種情況并不存在，這里不予分析。

b.4個(gè)功率量中有一個(gè)功率量不等于0的4種情況，具體為：

將式（6）的 4個(gè)式子分別代入式（3），可以在這4個(gè)式子對應(yīng)的4種情況下各求解出一個(gè)電流量。無論所求解的這個(gè)電流量由系統(tǒng)電源提供還是由補(bǔ)償器提供，所供出的電流必須滿足電路的基爾霍夫電流定律（KCL），這就要求：

比如，將式（6）的第一個(gè)式子代入式（3），可以得：

無論怎樣選擇參考點(diǎn)，式（8）中電壓向量unx長度的平方a都會(huì)滿足式（9）：

由式（6）中的第一個(gè)式子和式（9）可以得：

無論是系統(tǒng)電源還是補(bǔ)償器提供式（8）的這部分電流，結(jié)合式（8）與式（10）可以看出，要使電路滿足KCL，那么式（7）就必須要成立。其他情況可作類似分析。

c.4個(gè)功率量中有2個(gè)功率量不等于0的6種情況，具體為：

將式（11）的6個(gè)式子代入式（3），可以在這6個(gè)式子對應(yīng)的6種情況下各求解2個(gè)電流量。無論這2個(gè)電流中的1個(gè)或2個(gè)電流量由系統(tǒng)電源（或補(bǔ)償器）進(jìn)行提供，要使提供的電流滿足KCL，則電壓向量unx的元素必須滿足式（7）。

d.4個(gè)功率量中有3個(gè)功率量不等于0的4種情況，具體為：

將式（12）的4個(gè)式子代入式（3），可以在這4個(gè)式子對應(yīng)的4種情況下各求解3個(gè)電流量。無論是這3個(gè)電流中的1個(gè)、2個(gè)或者3個(gè)電流量由系統(tǒng)電源（或補(bǔ)償器）進(jìn)行提供，要使提供的電流滿足KCL，則電壓向量unx的元素也必須滿足式（7）。

e.4個(gè)功率量都不等于0的一種情況，具體為：

將式（13）的式子代入式（3），可以在這種情況下求解4個(gè)電流量。無論是求解的電流中的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或者4個(gè)電流量由系統(tǒng)電源（或補(bǔ)償器）進(jìn)行提供，電壓向量unx的元素也必須滿足式（7）。

式（7）就是多端電路參考點(diǎn)選擇時(shí)的電壓固定約束條件。這個(gè)約束條件是所有功率理論定義所必須遵守的，否則定義出的電流分量就不滿足電路KCL，即不滿足電路的電荷守恒定律。這說明，如果參考點(diǎn)可以任意選擇，那么從數(shù)學(xué)上按照式（3）給出的電流分解將有無數(shù)種分解結(jié)果，但是只有滿足式（7）的參考點(diǎn)選擇約束條件才能夠使電流的數(shù)學(xué)分解與電路的物理定律對應(yīng)起來，否則電流的分解將只有數(shù)學(xué)意義。

2 參考點(diǎn)選擇的唯一性證明

考慮如圖2所示的n端電路，圖中標(biāo)出了該電路的端子與端子之間的n個(gè)瞬時(shí)電壓u12、u23、…、un-1n、un1，這些瞬時(shí)電壓都稱為瞬時(shí)端電壓。

圖2 多端電路的瞬時(shí)端電壓分析Fig.2 Analysis of instantaneous terminal voltage for multi-terminal circuit

結(jié)合圖1和圖2，可以得出兩圖中的瞬時(shí)電壓具有式（14）所示關(guān)系：

式（14）表述成矩陣形式為：

由于式（15）中矩陣A的秩為n-1，也即式（14）的方程有 n-1個(gè)獨(dú)立方程，而其未知數(shù) u1x、u2x、u3x、…、un-1x、unx卻有 n 個(gè)，所以式（14）的方程有無數(shù)個(gè)解。然而，考慮到式（7），那么由式（14）的方程結(jié)合式（7）的電壓約束條件所得的式（14）的解必定是唯一的。

實(shí)際上，這一結(jié)論也可以通過以下的簡單分析得到。

針對圖1，假設(shè)選定的滿足式（7）的參考點(diǎn)是集合 X 中的元素 x（x∈X）點(diǎn)，即：

假設(shè)集合X中還有一個(gè)參考點(diǎn)y（y∈X）也滿足：

由于：

由式（16）—（18）可得：

考慮到式（19），可將式（18）化簡為：

式（20）也表明針對具體電路這樣的參考點(diǎn)是唯一的。

3 參考點(diǎn)選擇的具體方法

由式（14）的方程結(jié)合式（7）的約束條件解得：

然而，式（21）在應(yīng)用時(shí)存在困難，因?yàn)闇y量電壓比較多而且有重復(fù)測量的弊端。因此有必要對這種參考點(diǎn)選擇方法進(jìn)行簡化。

式（21）可以表達(dá)為：

其中，u1k、u2k、…、unk為以圖1 的 n 端電路的第 k（k=1，2，…，n）端為參考點(diǎn)時(shí)各個(gè)端子相對于電路k參考端的瞬時(shí)電壓。

式（22）表明，按照本文思路選擇參考點(diǎn)時(shí)，可以首先選擇電路的第k端為參考點(diǎn)，進(jìn)而得到各個(gè)端子相對于電路k參考端的各個(gè)瞬時(shí)電壓，然后從這些瞬時(shí)電壓分量中剔除瞬時(shí)電壓u0就可以得到唯一滿足式（7）的電壓向量。式（22）就是對式（21）進(jìn)行簡化得到的簡化參考點(diǎn)選擇方法，這時(shí)得到的電壓向量unx就是以滿足式（7）約束條件的唯一參考點(diǎn)作為電路參考點(diǎn)得到的電壓向量，并且這時(shí)unx=uk0。為了敘述方便，將這個(gè)唯一參考點(diǎn)稱為參考點(diǎn)x0。

4 參考點(diǎn)選擇方法的討論

4.1 兼容性討論

由式（21）可得，當(dāng)n=3時(shí)，電壓向量u3x為：

式（23）即為文獻(xiàn)［11］給出的用于三相三線制電路參考點(diǎn)選擇的方法。

4.2 考慮參考點(diǎn)選擇的電流分解方法

對于圖1的n端電路，當(dāng)選擇任意一個(gè)參考點(diǎn)x作為電路參考點(diǎn)時(shí)，式（3）的電流分解可以修正為：

其中，為電壓向量uk0長度的平方。

式（24）就是選擇任意參考點(diǎn)x時(shí)的電流分解方法，該分解方法實(shí)際上不受參考點(diǎn)選擇的影響，其針對具體電路分解出的電流分量值是唯一的。

4.3 考慮參考點(diǎn)選擇的功率定義方法

設(shè)電路選擇任意一個(gè)參考點(diǎn)x后得到的電壓向量 unx和電流向量 in分別如式（1）和式（2）所示，那么該理論中的各個(gè)功率量定義為［10］：

其中，tr（qTq）表示矩陣 qTq的跡；表示電壓向量unx的長度；表示電流向量in的長度。

式（25）中瞬時(shí)有功功率p與下標(biāo)x無關(guān)是因?yàn)閜不受參考點(diǎn)選擇的影響，為了后續(xù)敘述方便，這里予以證明。

假設(shè)從空間所有可以選擇的參考點(diǎn)集合X中任意選擇2個(gè)參考點(diǎn)x和y（x和y表示集合X中的2個(gè)不同的元素，即x∈X，y∈X），則以x為參考點(diǎn)求得的瞬時(shí)有功功率px為：

由于式（26）中：

則由式（27）可得：

式（28）表明，選擇任意2個(gè)參考點(diǎn)x和y計(jì)算所得的瞬時(shí)有功功率是相等的。即對于同一個(gè)電路，瞬時(shí)有功功率p是定值，它不會(huì)受參考點(diǎn)選擇影響。

式（25）的定義等價(jià)于：

其中，，表示電壓向量unx與電流向量in之間的夾角。

式（25）與式（29）的定義均滿足式（30）：

按照傳統(tǒng)思路，參考點(diǎn)可以任意選擇，那么選擇不同的參考點(diǎn)x時(shí)unx并不相同，得到的也不相同，然而不同參考點(diǎn)下的in和以及瞬時(shí)有功功率p卻是相同的。選擇不同參考點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的電壓向量unx和電流向量in之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 任意選擇參考點(diǎn)時(shí)所得的電壓、電流關(guān)系Fig.3 Relationship between voltage and current with arbitrary point as reference point

圖3中unx表示以任意參考點(diǎn)x作為電路參考點(diǎn)時(shí)所得的電壓向量，其與電流向量in之間的夾角為φx。當(dāng) φx＞0時(shí)，電壓向量超前電流向量的角度為φx；當(dāng)φx=0時(shí)，電壓向量和電流向量重合；當(dāng)φx＜0時(shí)，電壓向量滯后電流向量的角度為。

由式（29）可知，當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí)，電壓向量unx的箭頭將在T軸（T軸的具體位置由決定）上下移動(dòng)。這時(shí)按照式（29）計(jì)算出的無功功率和視在功率的值也在變動(dòng)。選擇任意參考點(diǎn)x作為參考點(diǎn)時(shí)按照式（29）和式（30）可得這時(shí)功率量之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 選擇任意參考點(diǎn)時(shí)的功率關(guān)系Fig.4 Power relationship with arbitrary point as reference point

當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí)，電壓向量unx與電流向量in之間的夾角φx以及電壓向量unx的長度都在變動(dòng)，這導(dǎo)致圖4中的無功功率qx和視在功率sx也會(huì)變動(dòng)，這是導(dǎo)致無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的原因。選擇不同的參考點(diǎn)，計(jì)算出的滿足式（30）的無功功率和視在功率不同，所以針對同一個(gè)電路計(jì)算出的無功功率和視在功率將有無數(shù)個(gè)，這是不合理的。

假設(shè)選擇滿足式（7）條件的唯一參考點(diǎn)x0作為參考點(diǎn)，這時(shí)得到如式（22）所示的電壓向量uk0。電壓向量uk0超前電流向量in的角度為 φ0，這時(shí)得到的電壓向量uk0與電流向量in之間的關(guān)系如圖5所示。

圖5 選擇點(diǎn)x0作為參考點(diǎn)時(shí)的電壓、電流關(guān)系Fig.5 Relationship between voltage and current with point x0as reference point

圖5中電壓向量uk0、電流向量 in及其之間的夾角φ0都是唯一確定的，電壓向量uk0的箭頭也不在T軸上下移動(dòng)，而是固定在T軸的具體位置。這時(shí)得到的功率量為：

由式（30）和式（31）可得這時(shí)功率量之間的關(guān)系如圖6所示。

式（31）以及圖6 中的功率量就是針對具體電路給出的選擇滿足式（7）約束條件的唯一參考點(diǎn)計(jì)算得到的功率量，這時(shí)得到的功率量也是唯一確定的，計(jì)算得出的功率因數(shù)也是唯一確定值。

圖6 選擇點(diǎn)x0作為參考點(diǎn)時(shí)的功率關(guān)系Fig.6 Power relationship with point x0as reference point

5 結(jié)論

針對功率理論研究中參考點(diǎn)選擇方法非常不統(tǒng)一的情況，考慮了參考點(diǎn)選擇時(shí)應(yīng)該受到的約束條件，該約束條件使參考點(diǎn)選擇方法具體化、明確化。通過本文研究，主要得出以下結(jié)論：

a.與電路分析和電磁場分析的許多問題不同，功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇受到式（7）約束條件的約束，從而使得可供選擇的參考點(diǎn)成為唯一確定的；

b.無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的原因是傳統(tǒng)思路認(rèn)為參考點(diǎn)可以任意選擇，當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí)所對應(yīng)的電壓向量及其長度都不會(huì)對應(yīng)相同，從而得出“無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響”的結(jié)論；

c.明確參考點(diǎn)選擇約束條件基礎(chǔ)上的電壓向量和電流向量都是唯一確定的，由它們所定義的無功功率和視在功率都是唯一確定值，這為視在功率和功率因數(shù)的計(jì)算提供了方便；

d.盡管本文只針對廣義瞬時(shí)功率理論進(jìn)行分析，但得出的結(jié)論卻同樣適用于其他理論（比如基于周期函數(shù)空間的通用功率理論等）。

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