肖惠博

[摘要]“蕩秋千”是孩童時(shí)代喜歡的運(yùn)動(dòng)，其中有豐富的物理內(nèi)容。文章基于物理知識(shí)，就無(wú)阻力無(wú)助推、有阻力無(wú)助推及無(wú)阻力有助推三種情況進(jìn)行分析。

[關(guān)鍵詞]蕩秋千；周期運(yùn)動(dòng)；擺角；擺動(dòng)幅度

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）08005202

一、引言

“蕩秋千”作為孩童時(shí)代喜歡的運(yùn)動(dòng)，幾乎每個(gè)人都曾經(jīng)歷或目睹過(guò)。然而，人們對(duì)其中的物理知識(shí)卻知之甚少。常見(jiàn)且最簡(jiǎn)單的秋千由兩根長(zhǎng)度同為l的細(xì)繩和座板構(gòu)成，兩繩的一端被懸掛起來(lái)，另一端固定在座板的兩端。一個(gè)坐在座板上的小女孩玩蕩秋千運(yùn)動(dòng)，假設(shè)這是她人生的第一次“蕩秋千”，沒(méi)有任何技巧，只能在家長(zhǎng)的幫助下才能蕩起來(lái)。稍加留意，人們會(huì)注意到：（1）小女孩坐在座板上圍繞一個(gè)平衡位置蕩來(lái)蕩去；（2）如果沒(méi)有大人助推，小女孩的蕩幅會(huì)越來(lái)越小，直至停止；（3）為了保證小女孩持續(xù)蕩來(lái)蕩去，必須有大人助推。然而，家長(zhǎng)的助推是否得當(dāng)，會(huì)直接影響到秋千擺動(dòng)的規(guī)律和幅度。本文運(yùn)用物理知識(shí)，對(duì)“蕩秋千”過(guò)程中的現(xiàn)象進(jìn)行分析。

二、理想情況下秋千運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析

理想情況是指：（1）細(xì)繩長(zhǎng)度l遠(yuǎn)長(zhǎng)于擺動(dòng)幅度；（2）相對(duì)于小女孩體重，細(xì)繩和座板的重量可忽略；（3）擺動(dòng)過(guò)程中未受到任何阻力作用。在這樣的理想情況下，小女孩蕩秋千可模擬為質(zhì)量為m的擺球的單擺運(yùn)動(dòng)[1]，如圖1所示。擺球受到的重力為mg，其中g(shù)=9.8m/s2，該重力可以分解為沿細(xì)繩方向的平行分量F∥=mgcosθ和垂直于細(xì)繩方向的垂直分量F⊥=mgsinθ。只要擺角θ不超過(guò)臨界角θc[2]，平行于細(xì)繩的重力分量F∥和細(xì)繩張力Fl大小相等、方向相反，以保證細(xì)繩始終處于直的狀態(tài)，而垂直于細(xì)繩的重力分量mgsinθ驅(qū)使擺球來(lái)回?cái)[動(dòng)。運(yùn)用牛頓第二定律，可以寫(xiě)出擺球沿?cái)[動(dòng)弧線切線方向的運(yùn)動(dòng)方程，即md2sdt2=-mgsinθ（1）

其中s是擺動(dòng)弧長(zhǎng)，θ是擺角，兩者間的關(guān)系為θ=sl。根據(jù)理想情況的假設(shè)，sl，故θ很小，以至于sinθ≈θ，方程（1）可近似為

d2θdt2+glθ=0

（2）

該方程的解為θ=θcsin（ω0t+φ0），其中ω0=gl，θc是最大擺角，φ0是初始相位。若取如圖1所示的坐標(biāo)軸，則沿x軸水平方向擺球相對(duì)于O點(diǎn)的位移為x（t）=lsinθ≈lθ，將方程（2）中的θ變換成x，可得到沿x軸水平方向擺球相對(duì)于O點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的方程為

d2xdt2+ω20x=0

（3）

方程（3）的解為

x（t）=xmsin（ω0t+φ0）

（4）

其中xm=lθc為水平方向最大擺動(dòng)幅度。

利用初始條件：x（t=0）=xm和

dxdt|t=0=0

，得到φ0=90°。假設(shè)l=9.8m，則ω0=

gl=1

（rad/s），由此可得到沿水平方向相對(duì)于平衡點(diǎn)O的相對(duì)位移x/xm隨時(shí)間變化圖線，如圖2中的實(shí)線所示?？梢?jiàn)，在理想情況下，小女孩蕩秋千實(shí)際上就是坐在座板上的小女孩在重力分量作用下圍繞平衡點(diǎn)O做頻率為ω0的周期性振動(dòng)。

三、阻力和體重對(duì)“蕩秋千”的影響

方程（3）所描述的秋千運(yùn)動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)，秋千理應(yīng)會(huì)一直蕩下去，且與小女孩體重沒(méi)有關(guān)系。但在實(shí)際蕩秋千的過(guò)程中，人們會(huì)注意到，如果沒(méi)有大人助推，秋千蕩的幅度會(huì)越來(lái)越小，直至停止，且秋千蕩的幅度隨時(shí)間的衰減與蕩秋千人的體重有關(guān)。究其原因是因?yàn)?，上述方程是在沒(méi)有任何阻力情況下推導(dǎo)出的，實(shí)際情況是，阻力總是存在的，最明顯的阻力來(lái)自空氣?？梢韵胂?，秋千蕩得越快，阻力會(huì)越大，因此，可以合理假設(shè)，在蕩秋千過(guò)程中，秋千會(huì)受到一個(gè)和擺動(dòng)方向相反的阻力作用，且阻力的大小正比于秋千蕩的快慢，即F阻=-βdxdt，其中β是常數(shù)?？紤]阻力影響后，沿x軸水平方向秋千的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為

md2xdt2+mω20x+βdxdt=0

（5）

假如方程具有如下形式的嘗試解

x（t）=xme-γtsin（ωt+φ0）

（6）

其中γ和ω是兩個(gè)待定常數(shù)。將嘗試解代入方程（5）并整理后有

[（γ2-βmγ-ω2+ω20）sin（ωt+φ0）+（-2γω+βmω）cos（ωt+φ0）

]xme-γt=0

上式成立的條件是中括號(hào)部分為0，由于sin（ωt+φ0）和cos（ωt+φ0）是兩個(gè)正交函數(shù)，中括號(hào)部分為0的條件是兩個(gè)正交函數(shù)前的系數(shù)同時(shí)為0，由此得到γ=

β2m

和ω=ω20-γ2，再由初始條件

dxdt|t=0=0

可確定初始位相為φ0=arctg（ωγ）。若選擇

ω0=gl=1

（rad/s）和β=2（Ns/m），對(duì)體重為10kg和20kg的兩個(gè)小女孩，則由式（6）計(jì)算可得到兩小女孩沿水平方向相對(duì)于平衡點(diǎn)O的相對(duì)位移x/xm隨時(shí)間變化情況，如圖2中的實(shí)圓和空?qǐng)A所示，可見(jiàn)她們蕩秋千的幅度隨時(shí)間延長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越小，且體重越輕秋千蕩的幅度隨時(shí)間的衰減越明顯。

四、助推力對(duì)“蕩秋千”的影響

對(duì)一個(gè)沒(méi)有任何蕩秋千技巧的小女孩，很明顯，如果沒(méi)有家長(zhǎng)助推，秋千會(huì)很快停止。為了保證她持續(xù)蕩來(lái)蕩去，必須有家長(zhǎng)助推。問(wèn)題是，家長(zhǎng)如何助推方可使秋千蕩得有規(guī)律，且蕩得越來(lái)越高？假設(shè)家長(zhǎng)以沿負(fù)x方向的力助推小女孩蕩秋千，且保持助推力的大小按F=-F0cosωt規(guī)律變化。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，近似認(rèn)為相對(duì)于

助推力空氣阻力可忽略，我們可以將秋千沿x軸水平方

向的運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)為

md2xdt2+mω20+F0cosωt=0

（7）

其中ω0=

gl=1

（rad/s）?？疾旆匠蹋?）的形式，可以將其嘗試解寫(xiě)成

x（t）=xmsin（ω0t+φ0）+Acosωt

（8）

將嘗試解代入方程（7）則可得到

A=F0/mω20-ω2

。再利用初始條件x（t=0）=0和dxdt

|t=0=0

，得到

φ0=90°

和

xm=-F0/mω20-ω2=-A

。若寫(xiě)成歸一化形式，則方程（7）的解為

x/xm=cosω0t-cosωt

（9）

考慮兩種情況：

ω=1.1ω0

和ω=1.5ω0，則由式（9）計(jì)算可得到小女孩在家長(zhǎng)助推下沿水平方向相對(duì)于平衡點(diǎn)O的相對(duì)位移隨時(shí)間變化情況，如圖3所示。

比較圖3所示的兩種情況，可以看到，當(dāng)助推力頻率ω和ω0差別較大時(shí)，如ω=1.5ω0的情況下，秋千蕩的幅度忽大忽小，而當(dāng)助推力頻率ω接近ω0時(shí)，如ω=1.1ω0的情況下，秋千蕩得不僅有規(guī)律而且幅度越來(lái)越大。

[參考文獻(xiàn)]

成思源.用Mathematica軟件計(jì)算單擺實(shí)驗(yàn)中大擺角的周期[J].中學(xué)教學(xué)參考，2016（5）：52-53.

（責(zé)任編輯易志毅）