劉文濤，張德富，程宏杰，王曉光，馮國慶，趙玉龍

(1.新疆油田公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000； 2.西南石油大學 石油與天然氣工程學院，四川 成都 610500)

引 言

試井分析對于油氣藏動態(tài)監(jiān)測和地層參數(shù)求取具有重要的作用，國內(nèi)外許多學者對試井解釋模型已經(jīng)做了大量的研究，并繪制出了樣板曲線。針對非牛頓冪律流體的試井模型研究，國外學者Ikoku、Ramey等[1-2]研究了多孔介質中非牛頓冪律流體不穩(wěn)定滲流特征；Vongvuthipornchai[3]在此基礎上進一步考慮了井筒儲集和表皮效應的影響，求得了均質無限大地層拉氏空間解析解；國內(nèi)學者欒志安[4]、宋考平[5,6]、梁光躍[7]、李元媛[8]、郭輝[9]、程時清[10]、賈智淳[11]等人對冪律流體的試井解釋做了大量的研究。針對考慮應力敏感影響的試井解釋模型研究，國外學者Raghavan、Scorerd[12]等人比較完整地描述了考慮應力敏感時介質非線性不定常滲流數(shù)學模型；Pedrpsa[13]建立考慮應力敏感時無限大邊界試井解釋數(shù)學模型并給出了解析解；國內(nèi)學者廖新維[14]、寧正福[15]、劉啟國[16]、李順初[17]、王璐[18]等人分別針對考慮應力敏感時試井解釋模型做了大量的研究。

稠油油藏埋藏深，巖石結構疏松，膠結強度弱，在開采過程中地層壓力衰減快，壓實作用對巖石顆粒骨架造成破壞。我國學者劉國勇[19]、楊東東[20]、熊鈺[21]等人從實驗的角度對壓縮系數(shù)與壓力、孔隙度與滲透率以及滲透率與壓力的關系進行了實驗研究，驗證了稠油熱采過程中應力敏感效應的存在。在注蒸汽開采過程中，蒸汽波及區(qū)地層原油黏度下降，視為牛頓流體，未被蒸汽波及的區(qū)域流體被視為非牛頓冪律流體，形成流體物性不同的雙區(qū)復合油藏。因此，本文在前人研究的基礎上，建立考慮應力敏感影響的牛頓-非牛頓流體雙區(qū)復合稠油油藏試井解釋數(shù)學模型，利用拉氏變換和攝動變換得到拉氏空間解析解，再通過Stehfest數(shù)值反演繪制井底無因次壓力及導數(shù)與無因次時間的雙對數(shù)理論曲線，分析影響試井曲線特征的因素，指導實測試井資料的解釋。

1 數(shù)學模型的建立與求解

1.1試井模型建立

針對稠油的熱采過程，試井模型可抽象為由牛頓流體-非牛頓冪律流體組成的雙區(qū)復合油藏(圖1)。內(nèi)區(qū)為牛頓流體，外區(qū)為非牛頓冪律流體，內(nèi)外區(qū)界面半徑為r1。其假設條件如下：

(1)井位于地層中心，油層為水平、均質、等厚的無限大地層，流動呈層流；

(2)各區(qū)內(nèi)流體均為單相微可壓縮的液體，忽略重力和毛管力的影響；

(3)各區(qū)內(nèi)流體均符合達西平面徑向滲流規(guī)律，等溫滲流；

(4)考慮井筒儲存效應、表皮效應以及應力敏感效應的影響；

(5)兩相鄰滲流區(qū)域界面不存在附加壓力降；

(6)非牛頓流體黏度服從Ostwald-De Waele冪律流體模型。根據(jù)文獻[3]，冪律流體的視黏度與特征黏度的比值可以用內(nèi)區(qū)半徑和冪律指數(shù)表示，即

(1)

(7)儲層滲透率[22]變化關系表示為

K=Kje-γ(pe-p)。

(2)

圖1 雙區(qū)復合油藏模型示意圖Fig.1 Two-zone composite reservoir model

基于上述假設條件，建立考慮井筒儲集效應、表皮效應以及應力敏感效應影響的牛頓-非牛頓流體雙區(qū)復合油藏試井解釋數(shù)學模型：

其中無因次參數(shù)定義如下：

其中：B為地層原油體積系數(shù)，m3/m3；p1、p2分別為內(nèi)、外區(qū)壓力，MPa；C為井儲系數(shù)，m3/MPa；Ct1、Ct2分別為內(nèi)、外區(qū)綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；h為有效地層厚度，m；r1為內(nèi)區(qū)半徑，m；rw為井筒半徑，m；Q為生產(chǎn)井地面產(chǎn)量，m3/d；K1、K2分別為內(nèi)、外區(qū)地層滲透率，μm2；t為生產(chǎn)時間，h；φ1、φ2分別為內(nèi)、外區(qū)地層孔隙度；M12為內(nèi)外區(qū)流體流度之比；η12為內(nèi)外區(qū)儲層導壓系數(shù)之比；S為表皮系數(shù)；μ1、μ2分別為內(nèi)、外區(qū)界面處流體黏度，mPa·s；γD為無因次應力敏感系數(shù)；rD1為無因次內(nèi)區(qū)半徑；pD1、pD2分別為內(nèi)、外區(qū)無因次壓力；pwD為無因次井底壓力；CD為無因次井儲系數(shù)；tD為無因次生產(chǎn)時間。

當n=1時，模型(3)退化為常規(guī)牛頓流體的雙區(qū)復合油藏模型。當γD=0時，模型(3)退化為不考慮應力敏感效應的雙區(qū)復合油藏模型。

1.2 數(shù)學模型求解

對方程(3)采用Laplace變換得到拉氏空間方程組，再利用攝動變換取其零階解得到拉氏空間解析解。攝動變換如下：

只考慮零階攝動解，則方程(3)通過上述變換之后得到內(nèi)區(qū)與外區(qū)微分方程的通解為

(4)

(5)

式中：z為拉普拉斯變量；I0(x)、I1(x)分別為零階和一階的第一類修正貝塞爾函數(shù)；K0(x)、K1(x)分別為零階和一階的第二類修正貝塞爾函數(shù)；Kv(x)、Iv(x)分別為v階的第二類和第一類修正貝塞爾函數(shù)。

將式(4)、(5)代入界面連續(xù)條件和內(nèi)邊界條件得矩陣方程

(6)

式中：

a34=-1;

a44=CDz;

a14=a24=a33=a43=0。

(7)

2 曲線特征分析與敏感性分析

利用克萊姆法則求解式(6)，再利用stehfest[23]數(shù)值反演算法編程求解式(7)，即可得到井底無因次壓力和壓力導數(shù)與無因次時間的雙對數(shù)關系曲線。

圖2為牛頓-非牛頓流體雙區(qū)復合油藏試井模型典型曲線。根據(jù)導數(shù)曲線特征，可劃分為5個流動階段：①為井筒儲集效應階段，該階段無因次壓力與壓力導數(shù)曲線重合，呈一條斜率為1的直線。②為井儲向徑向流過渡階段，該階段無因次壓力導數(shù)曲線呈現(xiàn)出一個“駝峰”，“駝峰”的高低與表皮系數(shù)大小有關。③為內(nèi)區(qū)牛頓流體徑向流階段，受應力敏感的影響，內(nèi)區(qū)無因次壓力導數(shù)曲線稍有“上翹”，不考慮應力敏感影響時該階段壓力導數(shù)曲線為水平的0.5線。④為內(nèi)區(qū)牛頓流體與外區(qū)非牛頓流體的過渡流階段。⑤為外區(qū)徑向流階段，描述壓力波傳播到外區(qū)后，內(nèi)外區(qū)流體流動的共同特征。不考慮應力敏感影響時，外區(qū)徑向流階段無因次壓力導數(shù)曲線呈斜率為(1-n)/(3-n)的直線；考慮應力敏感影響時，其特征表現(xiàn)為無因次壓力導數(shù)曲線“上翹”幅度更大且高于(1-n)/(3-n)斜率直線。隨著時間的推移，壓力波不斷向外傳播，圍繞井筒形成的壓降漏斗不斷擴大、不斷加深，從而導致內(nèi)外區(qū)滲透率由于應力敏感影響形成的滲透率漏斗也不斷擴大、不斷加深，即壓降漏斗內(nèi)的平均滲透率隨時間降得更低，呈現(xiàn)出晚期比早期更明顯的應力敏感效應。

圖2 牛頓-非牛頓雙區(qū)復合油藏試井模型典型曲線Fig.2 Typical well-test curves of Newtonian-non-Newtonian composite reservoir model

圖3為冪律指數(shù)對井底壓力動態(tài)的影響關系曲線。實線代表不考慮應力敏感時無因次壓力和壓力導數(shù)的變化曲線，虛線代表考慮應力敏感時無因次壓力和壓力導數(shù)的變化曲線。由于外區(qū)為非牛頓冪律流體，當不考慮應力敏感時，外區(qū)無因次壓力導數(shù)曲線呈斜率為(1-n)/(3-n)的直線，冪律指數(shù)越小，直線斜率越大；當考慮應力敏感時，外區(qū)的無因次壓力導數(shù)曲線呈高于(1-n)/(3-n)斜率直線的“上翹”曲線，冪律指數(shù)越小，曲線“上翹”越明顯。應力敏感效應和非牛頓冪律流體都會使得壓力和壓力導數(shù)曲線上翹，所不同的是：非牛頓冪律流體作用下壓力導數(shù)呈一定斜率的直線，而應力敏感影響下的壓力導數(shù)曲線上翹但不成一定斜率的直線。在對實際資料進行解釋時，可根據(jù)冪律流體黏度測定或儲層巖心應力敏感實驗先初步確定冪律指數(shù)或應力敏感系數(shù)，再進行解釋，從而降低實測試井資料解釋的多解性。

圖3 冪律指數(shù)對井底壓力動態(tài)影響關系曲線Fig.3 Influence of power law index on bottom-hole dynamic pressure

圖4為內(nèi)區(qū)與外區(qū)界面流度比對井底壓力動態(tài)的影響關系曲線。當不考慮應力敏感時，流度比越小，外區(qū)徑向流階段無因次壓力導數(shù)曲線呈斜率為(1-n)/(3-n)斜線的位置越低；考慮應力敏感時，其無因次壓力導數(shù)曲線特征有著類似的變化特征，流度比越大，導數(shù)曲線偏離(1-n)/(3-n)斜率直線的時間越早，偏離程度越大。

圖4 內(nèi)區(qū)與外區(qū)界面流度比對井底壓力動態(tài)影響關系曲線Fig.4 Influence of mobility ratio at the interface between inner zone and outer zone on bottom-hole dynamic pressure

圖5為內(nèi)區(qū)半徑對井底壓力動態(tài)的影響關系曲線。內(nèi)區(qū)半徑的大小主要影響內(nèi)區(qū)徑向流階段持續(xù)的時間和外區(qū)徑向流階段的開始時間。內(nèi)區(qū)半徑越小，內(nèi)區(qū)徑向流階段持續(xù)時間越短，無因次壓力導數(shù)曲線中0.5水平線越短。考慮滲透率應力敏感效應時，外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線位置越高，外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線“上翹”越明顯。

圖5 內(nèi)區(qū)半徑對井底壓力動態(tài)影響關系曲線Fig.5 Influence of inner zone radius on bottom-hole dynamic pressure

3 結 論

(1)應力敏感效應顯著影響牛頓-非牛頓流體雙區(qū)復合油藏試井模型曲線的變化。存在應力敏感效應影響時外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線上翹且高于(1-n)/(3-n)斜率直線。

(2)冪律指數(shù)越小，外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線“斜率”越大。應力敏感系數(shù)越大，外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線“上翹”越明顯。

(3)內(nèi)、外區(qū)的流度比越大，外區(qū)徑向流階段壓力導數(shù)曲線越高；內(nèi)區(qū)半徑越小，內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時間越短。

參 考 文 獻：

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