曾慶怡

（韶關(guān)學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 韶關(guān)512005）

設(shè)A,B分別是復(fù)數(shù)域C上的m,n階矩陣，C為m×n矩陣，矩陣方程AX+XB=C稱為Sylvester矩陣方程.該方程是從應(yīng)用數(shù)學和控制論的有關(guān)領(lǐng)域中產(chǎn)生.Sylvester矩陣方程在控制論、信號處理、模式識別、濾波理論、圖形處理、微分方程數(shù)值解法等方面都有重要的應(yīng)用.

關(guān)于該矩陣方程的解法有很多種，Sylvester方程在C=O的特殊條件下一定有解，X=O就是一個解.該方程有沒有非零解就變成高等代數(shù)考研真題中常出現(xiàn)的問題.本文就該特殊方程有無非零解的條件做比較系統(tǒng)的綜述，討論有非零階的條件以及其解空間的維數(shù)問題，不對方程的具體解法問題進行討論.

本文中Jn(a)表示主對角線元素全是a的n階Jordan矩陣(上三角矩陣)，E表示單位矩陣，而Mn(F)表示數(shù)域F上的全體n階矩陣構(gòu)成的線性空間.

1 矩陣方程AX=XB的解空間的維數(shù)

設(shè)A,B分別是數(shù)域F上的m,n階矩陣，X是n×m矩陣，V表示數(shù)域F上所有的n×m矩陣關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成的線性空間，顯然W={X∈V|AX=XB}是V的子空間.那么如何求dimW?

命題1 設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上的n階矩陣.證明A與B無公共特征根的充要條件是關(guān)于X的矩陣方程AX=XB只有零解.

證 必要性.設(shè)A,B無公共特征根，則A,B的特征多項式f(λ)與g(λ)互素，于是存在多項式 u(λ),v(λ)使得 u(λ)f(λ)+v(λ)g(λ)=1，從而 g(A)v(A)=E，即 g(A)可逆.由 AX=XB，得到 g(A)X=Xg(B)=O，從而 X=O.

充分性.設(shè) AX=XB 有公共特征根，由|λE-B|=|(λE-B)T|=|(λE-BT)|知 A,BT也有公共特征根 λ.設(shè) Aα=λα,BTβ=λβ，且令 X=αBT，則 X≠O，且 AX=AαBT=λαβT=α(λβT)=αβTB=XB，矛盾！

引理 1 令A(yù)=Jn(a),B=Jm(a),W={X∈V|AX=XB}，則 dinW=min{n,m}.

證 不失一般性，設(shè)a=0令C=(cij)∈W，注意Jn(0)C可以看做是將C的行向上推一行(行變換)，最后一行補0，而CJm(0)可以看做是將C的列向右推一列，第一列補0.因此Jn(0)C=CJm(0)的充要條件是cij=ci+1,,j+1,ci1=cnj=0,i≠1,j≠m，即C是每條與主對角線平行的元素完全相同的上三角矩陣.比如n=2,m=3和n=3,m=2對應(yīng)C的分別是：

所以C的元素可以這樣填，從右上角開始，每一條與主對角線平行的元素填相同的元素，依次往左邊填，當斜線經(jīng)過左上角或右下角的時候為止(當n＞m時，斜線先經(jīng)過左上角，而當n＜m時，先經(jīng)右下角).因此dimW=min{n,m}.

因為 A=Jn(a)的最小多項式是 mA(x)=(x-a)n，而 B=Jm(b)的最小多項式是 mB(x)=(x-b)m.當 a≠b時，W={O}，因此 dimW=0；當 a=b時，dimW=min{n,m}，即 dimW 等于 mA(x)與 mB(x)的最大公因式的次數(shù).

推論1 設(shè)A=Jn(a),B=Jm(b)，則dimW等于A的最小多項式mA(x)與B的最小多項式mB(x)的最大公因式的次數(shù).

現(xiàn)在考慮一般情況，假設(shè)A,B的特征值全在F內(nèi)，A,B的Jordan標準形分別是：

這里a1,a2,…,ak未必兩兩不同，n1+n2+…+nk=n；而 b1,b2,…,bs也未必兩兩不同，m1+m2+…+ms=m.此時如何求dimW?

任取C∈W，并對C做分塊：

則由AC=CB可得：

比較可得

令則 Wij是的子空間，且 dimWij等于與的最大公因式的次數(shù).因為每個Cij是獨立的因此可得定理1.

定理1 設(shè)n階矩陣A的初等因子是(x-a1)n1

,…,(x-ak)nk

，而m階矩陣B的初等因子是(x-b1)m1

,…,令 dij表示的最大公因式的次數(shù)，則

例1 設(shè)A=diag(J2(1),J3(1),J2(2)),B=diag(J3(1),J2(3),J3(2))，則dimW=7.

解 A的初等因子是(x-1)2,(x-1)3,(x-2)2，而B的初等因子是(x-1)3,(x-3)2,(x-2)3，按定理1計算可得dimW=7.

設(shè)A=diag(J2(1),J3(1)),是5階Jordan矩陣，A有兩個線性無關(guān)的特征向量，W={B∈Mn(F)|AB=BA}，由定理1可以得到dimW=9＞5.現(xiàn)在設(shè)A,B分別是階矩陣n,m，C為 n×m矩陣，矩陣方程AX-XB=C有解X0，如何求該方程的一般解?

定理2 設(shè)A,B分別是階矩陣n,m，C為n×m矩陣，矩陣方程AX-XB=C有解X0.設(shè)W表示AX-XB=O的解空間，dimW=t，而X1,X2,…,Xt是W的一組基，則AX-XB=C的一般解可以表示為：

證 設(shè)Y是AX-XB=C的任意一個解，則：

即Y-X0∈W，因此Y-X0可以由X1,X2,…,Xt線性表示，即：

定理2類似于非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理.

推論2 設(shè)A,B分別是階矩陣n,m，C為n×m矩陣，矩陣方程AX-XB=C有解X0，則該矩陣方程有唯一解的充要條件是A,B沒有公共特征值.［廈門大學，2015］

2 AX=XA的解空間

考慮更特殊的情形，即A=B，此時，由命題1 AX=XA一定有非零解，那么W={X∈Mn(F)|AX=XA}的結(jié)構(gòu)怎樣?

引理2 設(shè)J=Jn(0)為n階Jordan矩陣，A為n階矩陣，則AJ=JA的充要條件是存在次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)使得A=f(J).

證 必要性.設(shè)AJ=JA,A=(aij)，直接計算可得：

比較可得：

令f(x)=a11+a12x+a1nxn-1，則f(J)=A.

充分性可證.

注：如果J=aE+Jn(0)，則AJ=JA等價于AJn(0)=Jn(0)A，因此存在次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)使得A=f(Jn(0))=f(J-aE).此時取g(x)=f(x-a)即可.

引理 3 設(shè) f1(x),f2(x),…,fk(x)是 k個多項式，其中 deg(fi(x))≤ni-1而 Ji=Jni（ai）為 ni階 Jordan 矩陣，這里a1,a2,…,ak互不相同，Bi=fi(Ji),i=1,2,…,k，則存在多項式f(x)使得f(Ji)=Bi.

證 因為Ji的零化多項式是mi(x)=(x-a)ni，由于a1,a2,…,ak兩兩不同，因此m1(x),…,mk(x)互素.

用歸納法.當k=2時，存在u1(x),u2(x)使得u1(x)m1(x)+u2(x)m2(x)=1，因此u1(j1)m1(j1)+u2(j1)m2(j2)=u2(j1)m2(j1)=E；同理，u1(J2)m1(J2)=E.令 f(x)=u2(x)m2(x)f1(x)+u1(x)m1(x)f2(x)，則 f(Ji)=fi(Ji),i=1,2.

假設(shè)對k-1個滿足上述條件的多項式fi(x),i=1,2,…,k-1，結(jié)論成立，即存在多項式g(x)使得gi=1,…,k-1.現(xiàn)在設(shè)fk(x)是滿足條件的第k個多項式，令則對任意 i=1,2…,k-1,m(Ji)=O，且(fk(x),m(x))=1.同上，存在多項式f(x)使得f(Ji)=g(Ji)=fi(Ji),i=1,2…,k-1,f(Jk)=fk(Jk).

定理3 設(shè)A=diag(A1,A2,…,Ak)是分塊對角矩陣，其中Ai是ni階矩陣，n1+n2+…+nk=n.對任意n階滿足AB=BA的矩陣B，B也是分塊對角矩陣的充要條件是對任意i,j=1,2,…,k,i≠j,Ai和Aj沒有公共特征值.

證 充分性.設(shè)對任意i,j=1,2,…,k,i≠j,Ai和Aj沒有公共特征值.B是任意滿足AB=BA的矩陣，對B做分塊，并計算如下：

比較可得 BiiAi=AiBii,i=1,2,…,k，而且 AiBij=BijAi,i,j=1,2,…,k,i≠j.由命題 1 Bij=O,i≠j， 因此 B=diag(B11,B22,…,Bkk).

必要性.用反證法.設(shè)存在i,j,i≠j使得Ai與Aj有公共特征值，不失一般性，設(shè)A1,A2有公共特征值.由命題1，存在n1×n2非零矩陣X使得A1X=XA2，由充分性可得存在不是對角分塊矩陣且滿足AB=BA條件的矩陣B，矛盾!

引理4 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，A的特征值全在F內(nèi)，a1,a2,…,ak是A的全部不同的特征值，每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量，B是n階矩陣，則AB=BA的充要條件是存在次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)使得B=f(A).

證 必要性.因為A的每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量，則存在n階可逆矩陣P使得P-1AP=diag(J1,J2,…,Jk)=J，其中Ji=Jni(ai)，這里ni是ai特征值的重數(shù).由AB=BA可得P-1AP·P-1BP=P-1ABP=P+1BAP=P-1BP·P-1AP.

令C=P-1BP，并對C做分塊：

其中Cii是ni階矩陣.由CJ=JC，以及定理3可得CiiJi=JiCii,i=1,2,…,k，而且C=diag(C11,C22,…,Ckk).由引理2以及后面的注，存在次數(shù)不超過ni-1的多項式f(x)使得Cii=fi(Ji),i=1,2,…,k.再由引理3，存在次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)使得f(Ji)=fi(Ji)=Cii,i=1,2,…,k.因此:

于是，B=PCP-1=Pf(J)P-1=f(PJP-1)=f(A).

充分性可證.

定理4 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，A的特征值全在F內(nèi)，a1,a2,…,ak是A的全部不同的特征值，則每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量的充要條件是對任意滿足AB=BA的n階矩陣B存在次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)使得B=f(A).

證 必要性.見引理4.

充分性.用反證法.不失一般性，設(shè)a1有兩個線性無關(guān)的特征向量，則存在n階可逆矩陣P使得P-1AP=diag(J11(a1),J12(a1),J2(a2),…,Jk(ak))=J，這里J11(a1)和 J12(a1)是主對角線，都是 a1的Jordan塊.對任意 n階滿足AB=BA的矩陣B，可得P-1AP·P-1BP=P-1ABP=P-1BAP=P-1BP·P-1AP.令C=P-1BP，并對C做分塊.

由CJ=JC可得J12(a1)C21=C21J11(a1).由命題1，該矩陣方程有非零的解C21.由于J是上三角矩陣，對任意多項式f(x)，f(J)是上三角的，因此存在C使得C不是J的多項式，且CJ=JC，因而B=PCP-1不是A的多項式.事實上，如果存在多項式f(x)使得B=f(A)，則C=P-1BP=P-1f(A)P=f(P-1AP)=f(J)，矛盾!因此A的每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量.

一般的，如果n階矩陣A的某一個特征值的初等因子至少有兩個，或者線性無關(guān)的特征向量至少有兩個，令 W={B∈Mn(F)|AB=BA}，則因此dimW=n的充要條件是A的每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量.

推論3 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，A的特征值全在F內(nèi).定義n階矩陣空間Mn(F)的線性變換σ(X)=AX-XA,?X∈Mn(F).則以下命題等價：(1)A的每個特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量；(2)dim ker(σ)=n；(3)dim Im(σ)=n2-n；(4)對任意 B∈ker(σ)，存在次數(shù)不超過 n-1 的多項式 f(x)使得 B=f(A).

最后，文獻［3］證明了若A的Jordan標準形中沒有純數(shù)量矩陣的對角塊，那么與它可交換的矩陣B必可表示為A矩陣的n-1次多項式，其中n為A矩陣的階數(shù).這個結(jié)論是錯誤的.反例如下.

例2 設(shè)A=diag(J3(0),J2(0))為5階Jordan矩陣，則A沒有純數(shù)量矩陣的對角塊.設(shè)B是 5階矩陣，且AB=BA，對做分塊：

比較可得

其中b,c,d,e≠0，則AB=BA.由于A是上三角矩陣，對任意多項式f(x),f(A)都是上三角的，B不可能是A的多項式.矛盾!

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.3 版.北京：高等教育出版社，2003.

［2］HOM R A，JOHNSON C R.矩陣分析(Matrix Analysis)［M］.張明堯，張凡，譯.2 版.北京：機械工業(yè)出版社，2014.

［3］錢微微，蔡耀志.論矩陣可交換的充要條件［J］.大學數(shù)學，2007，23（10）：27-31.

Abstract：In this paper，using Jordan theory and theory of minimal polynomial，we discuss the special Sylvester matrix equation AX=XB,which has nonzero solutions with necessary and sufficient condition and the structure and property of solution.A theorem of dimension of solution space has been given.Finally，the structure of solution space of the more special matrix equation AX=XA has been discussed.

Key words： Sylvester matrix equation； Jordan matrix；solution space