李秉霖, 蘇玉亮, 王文東

(中國石油大學(華東)石油工程學院,山東青島 266580)

致密油藏存在低孔低滲、儲層非均質(zhì)性、各向異性等特征[1-2],其儲層改造區(qū)域(SRV)的滲流規(guī)律研究也遇到眾多挑戰(zhàn)。研究致密油藏SRV的滲流規(guī)律,首先需要考慮由基質(zhì)孔隙(微米、納米級)-天然裂縫(微米、毫米級)-水力裂縫(毫米級)組成的空間多尺度體系[3-7],該體系滲透率、孔隙度差異大,因此,流體在不同介質(zhì)中的流速差異大,而且不同介質(zhì)之間存在竄流。其次,空間多尺度體系導致了流動的時間滯后效應和竄流的不平衡效應。其中時間滯后是指因孔隙、裂縫介質(zhì)迂曲,流體在介質(zhì)中的運移時間較長,因此某時刻的流動壓力會對后續(xù)的流動產(chǎn)生影響,但產(chǎn)生的影響會隨著流動的進行而衰減。通過時間滯后效應[8]表征SRV滲流可更好地修正等效連續(xù)介質(zhì)模型,同時可以有效考慮孔隙、裂縫幾何形態(tài)對井底流動的影響。而不平衡效應指的是因不同介質(zhì)流動截面的幾何形態(tài)、空間尺度不同,介質(zhì)交界面前后的流速差異引起的竄流現(xiàn)象,這樣的竄流不僅受介質(zhì)間壓差的影響,還受交界面附近的儲容[5,9]流體影響。此外,空間多尺度體系導致了流動的時間多尺度現(xiàn)象,該體系的流動壓力主要產(chǎn)生于基質(zhì)孔隙、天然裂縫、人工裂縫等不同空間尺度的介質(zhì)之中。隨著生產(chǎn)的進行,每種介質(zhì)產(chǎn)生的流動壓力降低的快慢相差較大,這就體現(xiàn)了時間多尺度性。目前,致密油藏SRV的滲流規(guī)律研究尚未考慮流體流動的時間多尺度現(xiàn)象[10-11]。筆者研究SRV滲流時間多尺度問題,建立考慮時間滯后的致密油藏SRV滲流模型,分析不同滲透率、孔隙度分布下的流動時間尺度,描述介質(zhì)的非連續(xù)性、儲層的非均質(zhì)性、竄流的不平衡效應對井底流動壓力的影響規(guī)律。

1 物理模型

圖1(a)為SRV流動的物理模型,由SRV、水力裂縫2個區(qū)域組成。除水力裂縫、井筒交點外,其余邊界均封閉,流動為單相流。

(1)

(2)

式中,x為井筒方向,m;y為射孔方向,m;z為SRV厚度方向,m;lf為水力裂縫半長,m。

水力裂縫與SRV中的流速差異極大,兩者交界面附近的儲容流體也流向水力裂縫,因此水力裂縫與SRV之間的竄流存在不平衡效應(圖1(b))。另外,儲層中的孔隙迂曲,天然裂縫、人工裂縫也迂曲,且不斷分叉,流動截面隨空間變化,流動過程還存在著時間滯后效應(圖1(c))。

圖1 物理模型Fig.1 Physical model

2 數(shù)學模型

2.1 單條孔隙微觀流動模型

SRV中單條孔隙流動微觀上符合Navier-Stokes方程,流體沿孔隙方向流動,流動方程為

(3)

邊界條件為

v|?σ=0,

(4)

(5)

初始條件為

v|t=0=0.

(6)

式中,t為時間,s;v為流速,m/s;ρ為流體密度,kg/m3;p為流體產(chǎn)生的壓力,Pa,即流動壓力;μ為流體黏度,Pa·s。沿流動方向取自然坐標,n為自然坐標下的梯度算子,為真實空間直角坐標下的梯度算子,xn為自然坐標,垂直于xn方向的孔隙截面為σ。如圖2(a)所示。

圖2 流動介質(zhì)的微觀形態(tài)Fig.2 Schematic of microscopic flow channel

孔隙、天然裂縫迂曲,截面幾何形態(tài)隨空間變化(圖2(b))。流動壓力不僅包括克服流動阻力的壓力,還包括因流動截面、流速方向改變,孔隙壁對流體產(chǎn)生的附加壓力,因此要想確定流動壓力梯度與流速分布之間的關(guān)系,應以通過流動截面σ的流量Q(m3/s)作為已知條件,而如果以流動壓力梯度作為已知條件,得到的關(guān)系不夠準確。

由文獻[14],t時刻的流量受時間段[0,t]內(nèi)所有u(0≤u≤t)時刻的流動壓力梯度的影響:

(7)

式中,Θ為u時刻的流動壓力梯度對后續(xù)時刻流動的影響。邊界條件為

Θ|?σ=0,

(8)

初始條件為

Θ|t=0=Ψ.

(9)

式中,Ψ表示u時刻的流動壓力梯度對u時刻流速分布的影響:

(10)

邊界條件為

Ψ|?σ=0.

(11)

根據(jù)文獻[14]中的方法可得出流量Q與流動壓力梯度之間的關(guān)系:

(12)

其中

(13)

為得到式(7)的解Θ,將方程(7)、(10)中的自然坐標變換為真實空間直角坐標:

(14)

(15)

式中,J為自然坐標到真實空間直角坐標的坐標變換系數(shù)?？紫对接厍?J越大。Θ表示為

(16)

式中,τj為孔隙、裂縫迂曲引起的滯后時間,s,表示u時刻流動壓力梯度對流動的影響衰減所需的時間。τj隨著流動阻力的增加而減小,但隨著孔隙、裂縫迂曲程度的增加而增加。t=0時,將式(16)代入(13)中得

(17)

H(0)表示流動截面的幾何形態(tài)。根據(jù)Poiseuille定律,有

(18)

式中,r為孔隙半徑,m。

滯后時間越小,流動壓力梯度的影響消失得越迅速,流動也就越接近于達西流動,較小的滯后時間無法很好地描述孔隙、裂縫的微觀形態(tài)對油藏流動的影響。本文中忽略了較小的滯后時間,僅考慮最大的滯后時間,滯后時間個數(shù)m=1,式(12)表示為

(19)

2.2 對微觀流動的尺度升級

在SRV中,取長dx,寬dy,高h的單元體,以x方向流量為例進行分析:

(20)

式中,nφ為單位面積上的孔隙數(shù),m-2?？梢钥闯?通過流動的時間滯后效應,可對微觀上迂曲的孔隙、裂縫中流動進行尺度升級。SRV滲透率km可表示為

km=μH(0)nφ.

(21)

單元體流動連續(xù)性方程為

(22)

采用文獻[15]中的方法,將式(20)代入式(22)中得到考慮時間滯后的SRV滲流數(shù)學模型:

(23)

式中,B為流體體積分數(shù);Ct為SRV綜合壓縮系數(shù),Pa-1;p為流動壓力,Pa;p0為油藏初始壓力,Pa;pw為井底流動壓力,Pa;Q為產(chǎn)量,m3/s;t為時間,s;τ為滯后時間,s。

將式(23)無因次化,定義如下無因次參數(shù)：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中,pD表示無因次壓力;tD表示無因次時間;τD表示無因次滯后時間;SRV無因次滲透率kmD、無因次孔隙度φmD沿xD,yD軸遞減;(0,0)為水力裂縫與井筒交點,此處SRV滲透率為k0,孔隙度為φ0。

無因次SRV滲流數(shù)學模型為

(32)

2.3 水力裂縫流動模型

在水力裂縫中,取長dy,寬w,高h的單元體,單元體流動連續(xù)性方程為

(33)

式中,h為地層厚度,m;w為水力裂縫寬度,m;q*為SRV到水力裂縫的竄流量。水力裂縫與SRV之間的竄流存在不平衡效應,竄流量如下:

(34)

式中,Cgd為竄流不平衡效應因子, m3/Pa,表示流動截面變化處的流動壓力減小時,截面附近的儲容流體的流出量?？梢钥闯?竄流量由兩部分組成:SRV中流體流出量(式(34)的第一項)和SRV、水力裂縫交界面附近儲容流體流出量(式(34)的第二項)。

人工裂縫平面迂曲,且不斷分叉,如圖2(b)所示，因此人工裂縫中流動也存在時間滯后效應。類似于式(12),通過單元體的流量可表示為

(35)

根據(jù)立方定律,其中

(36)

水力裂縫滲透率kf可表示為

(37)

采用文獻[15]中的方法,將式(34)、(35)代入式(33)中得到水力裂縫滲流數(shù)學模型:

(38)

井筒存在儲容效應:

(39)

式中,φf為水力裂縫孔隙度;n為水力裂縫級數(shù);lf為水力裂縫半長,m;Clf為水力裂縫綜合壓縮系數(shù),Pa-1;Cw為井筒儲容系數(shù),m3/Pa。

將式(38)、(39)無因次化,定義如下無因次參數(shù):

(40)

(41)

(42)

(43)

式中，CwD為無因次井筒儲容系數(shù);CDgd為無因次竄流不平衡效應因子;φfD為無因次水力裂縫孔隙度;kfD為無因次水力裂縫滲透率;wD為無因次水力裂縫寬度。

得到無因次水力裂縫滲流數(shù)學模型:

(44)

無因次井筒流動模型:

(45)

3 模型求解

對式(32)、(44)、(45)進行Laplace變換得

(46)

(47)

(48)

將無因次井底流動壓力分解為若干部分,不同壓力部分由不同介質(zhì)產(chǎn)生,其變化的快慢由相應的時間尺度反映,這就是對無因次井底流動壓力的時間尺度分析。為確保上述分解的順利進行,對式(46)～(48)進行有限元離散得

(49)

其中

(50)

(51)

求得矩陣K和C的廣義特征值和廣義特征向量,使得

PKPT=Λ,

(52)

PCPT=I.

(53)

式中,Λ為對角矩陣;P為由矩陣K、C廣義特征向量組成的矩陣的逆。

Laplace空間中各點無因次流動壓力為

(54)

取式(54)中與(0,0)點對應的行,井筒無因次流動壓力可表示為

(55)

(56)

通過對式(56)解析反演,求得pi,λi≠0時,有

(57)

其中

(58)

(59)

(60)

λi=0時，有

(61)

最后得到真實空間中井底無因次流動壓力:

(62)

4 計算實例

4.1 模型驗證

圖3 模型驗證Fig.3 Validation of proposed model

對于圖1(a)所示的物理模型,假定其x方向長度為100 m,y方向長度為100 m,厚度為10 m。SRV滲透率km沿xD方向從8.333×10-14m2線性衰減到8.333×10-15m2,如圖3(a)所示。其中xD、yD方向分別與x、y方向一致,孔隙度為0.1,綜合壓縮系數(shù)為4×10-9Pa-1。井筒儲容系數(shù)為3.14×10-8m3/Pa,竄流不平衡效應因子為1×10-11m3/Pa。水力裂縫共有10級,寬度為0. 001 m,孔隙度為0.5,綜合壓縮系數(shù)為4×10-9Pa-1。流體黏度為0.001 Pa·s,體積系數(shù)為1.2,井筒以產(chǎn)量5.787×10-3m3/s生產(chǎn)。將模型劃分為70×70網(wǎng)格。通過對Laplace空間中的解析解進行數(shù)值反演驗證模型,井底無因次壓力隨無因次時間變化的曲線如圖3(b) 所示?？梢钥闯?2種方法計算得到的井底無因次流動壓力曲線重合,說明本文研究的時間尺度分析方法的正確性,并且解決了時間上的離散帶來的不收斂問題。此外,在空間上的數(shù)值求解還避免了因為孔隙度、滲透率存在強烈的非均質(zhì)性、各向異性,模型在Laplace空間中的解析解難以求得,甚至不能求得。得到的流動壓力解是時間的連續(xù)函數(shù),可分解成若干部分,每部分由不同介質(zhì)產(chǎn)生。壓裂方案的選擇和生產(chǎn)參數(shù)的調(diào)整取決于每部分的變化快慢,否則容易錯過調(diào)整生產(chǎn)參數(shù)的時機,而本方法可以揭示每部分的變化快慢,對致密油藏的高效開發(fā)具有十分重要的指導作用。

4.2 時間滯后對井底無因次壓力的影響

圖4(a)為不同滯后時間下井底無因次壓力隨無因次時間的變化?？梢钥闯?流動的滯后時間主要影響早期的無因次井底壓力,其中τ=960 s時井底早期流動壓力最低,τ=96 s時井底早期流動壓力次之,不考慮時間滯后的井底早期流動壓力最高。因為隨著裂縫、孔隙迂曲度增大,τ也相應增大,流動壓力傳播所需的時間增大,生產(chǎn)早期流動壓力傳播范圍相應地減小。然而,當流動壓力傳遍整個SRV時,無因次井底壓力較不考慮時間滯后的井底流動壓力增加得更快,最后,逐漸接近無時間滯后的井底流動壓力,τ越小,接近越快。因此水力壓裂形成的迂曲、分叉裂縫可減慢流動壓力在水力裂縫中的傳播,使SRV中的流體更早地采出。

圖4 時間滯后對井底無因次壓力的影響Fig.4 Effect of time lag on dimensionless wellbore pressure

圖4(b)為時間尺度分布圖。可以看出:SRV滲透率連續(xù)變化導致了時間尺度的連續(xù)分布,最大時間尺度的貢獻度最小,對應近水力裂縫地帶;最小時間尺度的貢獻度最大,對應遠水力裂縫地帶,說明遠離人工裂縫的區(qū)域如同封閉邊界,流動阻力較大。另外,時間尺度分布呈兩個條帶,它們之間的距離說明人工裂縫和SRV之間的不連續(xù)性。上面的條帶對應著SRV滲流,時間尺度跨度較大,條帶左側(cè)較右側(cè)稀疏,說明人工裂縫附近的區(qū)域?qū)琢鲃佑绊戄^大;而下面的條帶對應著人工裂縫,時間尺度跨度較小。流動的時間滯后不影響時間尺度分布,只影響各時間尺度對應的壓力部分隨時間變化的規(guī)律。

4.3 非均質(zhì)性對井底無因次壓力的影響

考慮SRV孔隙度、滲透率沿xD、yD兩個方向均發(fā)生變化。假設(shè)SRV孔隙度從0.1沿xD方向線性遞減至0.001,沿yD方向線性遞減至0.001。滲透率存在各向異性,xD方向的無因次滲透率沿xD方向從8.333×10-14m2線性遞減至1.667×10-14m2,沿yD方向線性遞減至1.667×10-17m2,而yD方向的無因次滲透率從8.333×10-15m2沿xD方向線性遞減至8.333×10-16m2,沿yD方向線性遞減至8.333×10-19m2。井底無因次壓力隨無因次時間變化見圖5(a)?？梢钥闯?考慮yD方向非均質(zhì)性和各向異性,早期井底流動壓力略微減小,說明近井地帶xD方向滲流阻力較小;晚期井底流動壓力略微增加,說明遠井地帶滲流阻力較大,孔隙流體壓力較小,因此遠井地帶向井底的供液較少。定產(chǎn)量生產(chǎn)時,流動壓力難以傳至遠井低孔低滲帶,因此滲透率、孔隙度分布對井底流動的影響極其微弱。

圖5 非均質(zhì)性對井底無因次壓力的影響Fig.5 Effect of inhomogeneity on the dimensionless wellbore pressure

滲流不存在時間滯后時,yD方向非均質(zhì)性和各向異性不影響早期井底流動,僅在流動壓力傳遍水力裂縫后,井底壓力略增加。因水力裂縫不再迂曲、分叉,流動壓力早期主要沿水力裂縫傳播,而不沿xD方向在SRV內(nèi)傳播,因此早期井底壓力不再因為SRV滲透率各向異性而減小。然而晚期井底流動壓力較考慮時間滯后的井底壓力略小,說明介質(zhì)迂曲度低時,早期壓力梯度不再影響后續(xù)流動，接近達西定律。時間滯后增加流動壓力在水力裂縫中傳播的時間,進而增加yD方向非均質(zhì)性和各向異性對井底流動的影響。

圖5(b)為時間尺度分布圖。考慮yD方向非均質(zhì)性和各向異性,最大、最小時間尺度都增加,說明儲層孔隙度越低,流動壓力隨時間變化越劇烈,供液量隨時間遞減也就越快。水力裂縫對應的條帶向右移動,時間尺度范圍變窄,進一步說明了流動壓力只能在近井高孔高滲地帶傳播,難以傳播到遠井地帶。另外,時間尺度分布圖中上下兩條帶之間的距離減小,說明yD方向滲透率和遠井滲透率減小,近井地帶采出的流體量相應地增加,因此該地帶對井底流動影響較大。

圖6 不同時間尺度貢獻度空間分布Fig.6 Spatial distribution of contribution of different temporal scales

圖6為不同的時間尺度下,時間尺度貢獻度隨空間的分布。某介質(zhì)產(chǎn)生的壓力部分的最終值反映了從不同區(qū)域采出的流體量。不考慮yD方向非均質(zhì)性和各向異性時,從圖6(a)看出,較小的時間尺度在遠人工裂縫地帶貢獻度大,說明該地帶流動阻力大;而在遠井地帶貢獻度小,該地帶供液量減少,說明相應的流動壓力部分難以在低滲透介質(zhì)中傳播。然而從圖6(b)看出,較大的時間尺度在遠井、遠人工裂縫地帶貢獻較小,說明相應的流動壓力部分尚未傳到該地帶,該地帶供液相應減少;在遠井地帶,該時間尺度貢獻度在近人工裂縫地帶較大,說明儲層滲透率越高,流動壓力隨時間遞減越快;而在近井地帶,流動壓力未經(jīng)人工裂縫就傳到了近井、遠人工裂縫地帶,近井地帶供液較多,該時間尺度貢獻度也隨著流動阻力增加而增加,同圖6(b)下部分趨勢一致。若考慮yD方向非均質(zhì)性和各向異性,從圖6(c)看出,較小時間尺度的貢獻度沿xD方向等勢分布,分布條帶平行于xD方向,說明yD方向滲透率較小,再加上遠井地帶流動阻力大,因此流動壓力主要沿xD方向傳播。同時,近井、近人工裂縫地帶采出流體量略增加,進一步說明了流動壓力難以在低滲透介質(zhì)中傳播。從圖6(d)看出,較大時間尺度的貢獻度沿yD方向先增加后減小,最后增加,中間的減小階段說明相應的壓力部分不再隨時間增加時,流動壓力尚未傳遍人工裂縫,遠井地帶供液相應減少;時間尺度貢獻度沿xD方向遞減,而不再等勢分布,說明流動壓力在較短時間內(nèi)無法傳到遠人工裂縫地帶。

對比井底無因次壓力隨無因次時間變化和時間尺度貢獻度隨時間尺度、空間的分布,可以看出時間尺度分析可以準確表明儲層非均質(zhì)性、各向異性對井底流動的影響,因為時間尺度貢獻度隨時間尺度、空間的分布在不同滲透率、孔隙度儲層中差異明顯。另外,儲層強烈的非均質(zhì)性是導致多個時間尺度在整個SRV內(nèi)共存的原因，而且時間尺度和空間區(qū)域互相對應,因為在流動壓力傳播到與某時間尺度對應的區(qū)域,該時間尺度貢獻度在該區(qū)域較大。

4.4 竄流的不平衡效應對井底無因次壓力的影響

圖7(a)為不同竄流不平衡效應因子下,井底流動壓力隨無因次時間變化的曲線?？梢钥闯?Cgd主要影響晚期的無因次井底流動壓力,因為早期僅水力裂縫中的流體大量采出,然而SRV中的流體未進入人工裂縫。晚期SRV中的流體開始進入水力裂縫,流動截面于SRV、水力裂縫接觸面發(fā)生了變化,導致接觸面附近的儲容流體流向井筒,因此井底流動壓力輕微降低。竄流的不平衡效應對井底流動的影響晚于且小于流動的時間滯后效應產(chǎn)生的影響,即流動壓力通過迂曲的水力裂縫才能傳到SRV,接觸面附近的儲容流體才開始流向井筒。

圖7 不平衡效應對井底無因次壓力的影響Fig.7 Effect of unsteady coupling on dimensionless wellbore pressure

滲流不存在時間滯后時,竄流的不平衡效應使井底流動壓力輕微降低,而且降低的時間早于考慮時間滯后的。因水力裂縫不再迂曲,流動壓力很快傳到SRV。然而流動存在時間滯后時,迂曲的水力裂縫與SRV接觸面積較大,且流動壓力在水力裂縫中傳播緩慢,因此在生產(chǎn)早期,從接觸面附近流出的流體較流動不存在時間滯后時少。

圖7(b)為時間尺度分布圖。介質(zhì)間耦合存在不平衡效應時,最大、最小時間尺度都減小,時間尺度分布圖上方還比不存在不平衡效應的多一條連續(xù)曲線,曲線右邊比左邊陡,說明接觸面附近的流體比SRV流體先采出,因此SRV流動壓力變化晚于人工裂縫流動壓力。上述曲線高于不存在不平衡效應的時間尺度分布帶,說明壓力傳到遠人工裂縫地帶時,體積改造區(qū)域流出量接近人工裂縫流入量,因此SRV流出的流體較多。但時間尺度分布帶下方比不存在不平衡效應的密集,說明流動壓力剛傳到SRV時,流入人工裂縫的流體不僅包括SRV流出的流體,還包括從交界面附近流出的儲容流體,加上流動壓力在近井地帶傳播較快,近井和近人工裂縫地帶流出的流體相應減少。另外,介質(zhì)間耦合存在不平衡效應時,最大時間尺度貢獻度高于不存在不平衡效應的時間尺度貢獻度。對比井底無因次壓力隨無因次時間變化和時間尺度貢獻度隨時間尺度的分布,可以得出時間尺度分析方法可以系統(tǒng)地表明不同介質(zhì)間的滲流速度的差異以及耦合的不平衡效應。

5 結(jié) 論

(1) 時間尺度與空間區(qū)域相對應,并且儲層強烈的非均質(zhì)性是導致多個時間尺度共存的原因;近井壓裂高滲區(qū)域?qū)琢鲃拥挠绊戄^大,而遠井低滲區(qū)域?qū)琢鲃拥挠绊戄^小。

(2) 流動的時間滯后效應影響各介質(zhì)產(chǎn)生的壓力部分隨時間變化的規(guī)律,使早期井底流壓降低,迂曲、分叉的水力裂縫可減慢壓力的傳播,進而促使SRV中的流體更早地采出;而竄流的不平衡效應對晚期滲流影響較大,同時可減弱遠井低滲地帶對井底流動的影響,并且能夠更好地描述SRV、水力裂縫之間的滲流速度差異。

(3) 水力裂縫的不連續(xù)性使得時間尺度分布圖呈現(xiàn)兩個條帶;滲透率、孔隙度非均質(zhì)性加劇不同區(qū)域采出流體量的差異,但時間尺度分布圖中上、下兩個條帶之間的距離相應地減小;耦合存在不平衡效應的時間尺度較不考慮不平衡效應的小,SRV流出的流體較少。對井底流動壓力的時間尺度分析能夠清晰描述不同滲透率、孔隙度儲層對井底流動壓力的影響規(guī)律,進而對生產(chǎn)制度的制定具有重要的指導作用。

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