何歡 王陶 劉龐輪 陳國(guó)平

摘要： 本征梁方程是一種建立在Frenet標(biāo)架上的，具有精確幾何變形描述能力的梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，具有非線性階數(shù)低、方程形式簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)。提出了一種與本征梁方程相適應(yīng)的無網(wǎng)格離散和相應(yīng)的計(jì)算方法。針對(duì)本征梁方程的特點(diǎn)，引入配點(diǎn)型無網(wǎng)格方法對(duì)本征梁方程進(jìn)行離散化處理，推導(dǎo)出了僅具有一階導(dǎo)數(shù)和二階非線性項(xiàng)的本征梁運(yùn)動(dòng)控制方程。采取此方法建立的大柔性梁在動(dòng)力學(xué)計(jì)算過程中無需背景網(wǎng)格，避免了常規(guī)有限元建模所需的網(wǎng)格積分。利用這一特性，無需像傳統(tǒng)非線性有限元分析那樣在每一個(gè)計(jì)算時(shí)間步上進(jìn)行的網(wǎng)格積分運(yùn)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟。數(shù)值算例結(jié)果表明此方法具有很好的計(jì)算精度。關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng)； 多體動(dòng)力學(xué)； 無網(wǎng)格方法； 本征梁； 大柔性

中圖分類號(hào)：O322； O313.7文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 10044523（2017）04053507

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.002

引言

梁是一種常見的結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域中，如直升機(jī)旋翼、大展弦比機(jī)翼、橋梁等結(jié)構(gòu)。近年來，隨著生物力學(xué)的興起，對(duì)DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)、蛋白質(zhì)多肽鏈進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，也常常將這類微觀結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為三維大柔性梁模型。

Reissner將橫向剪切變形[12]引入經(jīng)典的KirchhoffLove模型[3]，建立了考慮有限轉(zhuǎn)動(dòng)的中等撓度梁方程。Simo建立了能夠精確表征梁變形的幾何關(guān)系的方程[4]。Antman使用旋轉(zhuǎn)張量來描述梁在運(yùn)動(dòng)過程中橫截面的變形特征[5]。Simo和VuQuoc分別針對(duì)靜、動(dòng)力學(xué)的兩種情況[67]，采用有限元法對(duì)幾何精確梁方程進(jìn)行了計(jì)算。Ibrahimbegovic[8]基于Reissner的三維有限應(yīng)變梁理論，將非線性大撓度梁的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了改造，推廣到預(yù)彎曲梁分析領(lǐng)域中。Jelenic和Saje在旋轉(zhuǎn)自由度中引入修正項(xiàng)，避免了有限轉(zhuǎn)動(dòng)梁方程求解過程中的剪切閉鎖現(xiàn)象[9]。吳國(guó)榮等[10]采用多體系統(tǒng)方法來研究柔性梁大撓度動(dòng)力響應(yīng)問題。張志剛等[11]提出了基于曲率插值的大變形梁?jiǎn)卧獊磉M(jìn)行梁的非線性分析。杜超凡[12]等引入網(wǎng)格徑向基插值法來分析旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)，推導(dǎo)出系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程。章孝順等[13] 針對(duì)在平面內(nèi)做大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的中心剛體柔性梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，基于浮動(dòng)坐標(biāo)系法，建立了考慮大變形效應(yīng)的系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真。古雅琦等[14]以EulerBernoulli梁?jiǎn)卧耐暾A位移場(chǎng)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了一種基于U L格式的大變形幾何非線性梁?jiǎn)卧?。何歡等[15]分析了大撓度空間梁彎扭耦合項(xiàng)對(duì)梁的振動(dòng)響應(yīng)的影響。余躍慶[16]等基于偽剛體模型原理，提出一種用于模擬具有單拐點(diǎn)大變形梁的偽剛體模型。張新榃[17]等采用非線性歐拉梁模型對(duì)風(fēng)力機(jī)葉片大幅值氣動(dòng)彈性動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題進(jìn)行了研究。張志剛等[18]以表征梁彎曲應(yīng)變的曲率和軸向應(yīng)變作為單元參數(shù)，構(gòu)造了能夠自動(dòng)計(jì)及“動(dòng)力剛化項(xiàng)”的大變形剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)平面柔性梁?jiǎn)卧｀嵧甗19]等采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立了三維大變形柔性梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。王金龍[20]等利用非線性大變形梁理論建立了海流作用下的SLWR立管模型。

上述方法均以位移為基本變量。對(duì)采用位移為基本變量的梁的運(yùn)動(dòng)方程來說，若要精確描述梁的有限轉(zhuǎn)動(dòng)，必然需要通過位移將有限轉(zhuǎn)動(dòng)表示出來。這樣一來，不可避免的會(huì)引入高階非線性項(xiàng)。采用曲率和應(yīng)變來描述梁的變形可以解決有限轉(zhuǎn)動(dòng)的精確度量問題，且方程中僅包含二階非線性項(xiàng)。Borrihe和Mantegazza利用曲率和應(yīng)變?yōu)榛玖拷⒘祟A(yù)彎曲梁的本征方程[21]，但他們?cè)诜匠痰那蠼膺^程中仍然需要用位移和轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)將方程重新表示出來。2003年，Hodges建立了一種形式非常簡(jiǎn)潔的本征梁方程，并將該方程應(yīng)用于大柔性旋翼[2224]及大展弦比機(jī)翼[2530]的動(dòng)力學(xué)和氣動(dòng)彈性研究領(lǐng)域。在無慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)，Hodges提出的本征梁方程與Borri和Mantegazza[21]以及Simo和Vuquoc[1]方程形式類似，不同的是本征梁方程在求解時(shí)無需先采用位移和轉(zhuǎn)角重組方程。

由于Hodges提出的本征梁方程具有非線性程度低、方程形式簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，通常可以采用差分格式進(jìn)行求解。然而，差分解需要將梁劃分為非常細(xì)密的差分點(diǎn)，否則計(jì)算不穩(wěn)定。然而，采用細(xì)密的離散方式必然導(dǎo)致計(jì)算規(guī)模的大幅度增加。本文針對(duì)本征梁控制方程的特點(diǎn)，引入配點(diǎn)型無網(wǎng)格方法對(duì)本征梁方程進(jìn)行離散化處理，推導(dǎo)出了僅具有一階導(dǎo)數(shù)和二階非線性項(xiàng)的本征梁無網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)方程。本文方法建模方法簡(jiǎn)便，所建立的大柔性梁動(dòng)力學(xué)模型無需背景網(wǎng)格，避免了常規(guī)有限元建模所需的網(wǎng)格積分，進(jìn)而大大簡(jiǎn)化了方程的求解過程。

第4期何歡，等：基于本征梁理論的非線性大撓度柔性梁無網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)計(jì)算振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第30卷1本征梁動(dòng)力學(xué)控制方程

Hodge[24]提出的本征梁動(dòng)力學(xué)控制方程，是以曲率和應(yīng)變?yōu)榛疚粗拷⒌姆匠蹋捎诓捎肍renet標(biāo)架，以自然坐標(biāo)系描述梁的幾何特征，使得方程中不包含復(fù)雜的有限旋轉(zhuǎn)變量，這給梁的非線性動(dòng)力學(xué)研究帶來極大方便。

1.1本征梁的幾何描述

為精確描述大柔性梁的變形，Hodges引入Ωref，Ω0和Ωf分別表示參考構(gòu)型、初始構(gòu)型和當(dāng)前構(gòu)型，其中參考構(gòu)型為零曲率和應(yīng)變的直梁的構(gòu)型。

取梁橫截面彎心連線作為梁的參考軸，并在該軸上定義自然坐標(biāo)x1（后續(xù)文中x1均指梁的彎心連線在自然坐標(biāo)系下的坐標(biāo)）。在Ωref中，以笛卡爾坐標(biāo)系下的一組正交單位矢量[I1，I2，I3]來描述其截面坐標(biāo)系，其中I1與直梁中性軸指向相同。對(duì)初始構(gòu)型Ω0和當(dāng)前構(gòu)型Ωf，其位于x1處的截面坐標(biāo)系可以分別由一組正交基矢量[b1（x1），b2（x1），b3（x1）]和[B1（x1），B2（x1），B3（x1）]描述，其中b1（x1）為初始構(gòu)型Ω0的參考軸在x1處的切矢量。由于剪切變形的存在，B1（x1）不一定為當(dāng)前構(gòu)型Ωf的參考軸在x1處的切矢量。本征梁構(gòu)型及各基矢量如圖1所示。

圖1本征梁構(gòu)型描述示意圖

Fig.1Description of the intrinsic beam′s configurations圖中R和r分別為當(dāng)前構(gòu)型和初始構(gòu)型的參考軸在x1處的矢徑。由此，在x1處可以確定由當(dāng)前構(gòu)型截面彎心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以B1（x1），B2（x1）和B3（x1）為基矢量的當(dāng)前構(gòu)型截面坐標(biāo)系OB1B2B3，以及以初始構(gòu)型截面彎心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以b1（x1），b2（x1）和b3（x1）為基矢量的初始構(gòu)型截面坐標(biāo)系Ob1b2b3。

1.2本征梁的運(yùn)動(dòng)平衡方程

Hodge以曲率和應(yīng)變?yōu)榛玖拷⒌牧哼\(yùn)動(dòng)平衡方程和運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)方程可表示為[24]：F′+κ×F+f=+Ω×P（1）

M′+κ×M+（e1+γ）×F+m=

+Ω×H+V×P（2）

Ω′+κ×Ω=（3）

V′+κ×V+（e1+γ）×Ω=（4）式中f和m分別為單位長(zhǎng)度上的外力和外力矩矢量，F(xiàn)和M分別為內(nèi)力和內(nèi)力矩矢量，V和Ω分別是速度和角速度矢量，P和H分別為動(dòng)量和角動(dòng)量矢量，e1=[100]T個(gè)為單位矢量。式中字母上的“·”表示對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，后續(xù)出現(xiàn)的“·”也均為此含義，撇號(hào)表示對(duì)自然坐標(biāo)x1的偏導(dǎo)數(shù)，如無特別說明，后文出現(xiàn)的撇號(hào)均為此含義。

若梁截面形狀對(duì)稱，則有：P=μV（5）

H=IcΩ （6）式中μ為線密度，Ic為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣[24]，為Ic=ι100

0ι20

00ι3 （7）式中ι1，ι2和ι3為單位長(zhǎng)度梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)各向同性材料來說，在本征梁理論中的本構(gòu)方程可表示為：F=Dfγ-γ0（8）

M=Dmκ-κ0 （9）其中Df為力本構(gòu)矩陣，表征了內(nèi)力和應(yīng)變的關(guān)系；Dm為彎曲本構(gòu)矩陣，表征了彎矩和曲率之間的關(guān)系。κ0和γ0分別為初始曲率和初應(yīng)變。

將式（5）～（9）代入式（1）和（2），并將式（3）和（4）進(jìn)行整理，得μ=Dfγ′+κ×Dfγ-γ0-

μΩ×V+f（10）

Ic=Dmκ′+κ×Dmκ-κ0-Ω×IcΩ+

e1+γ×Dfγ-γ0+m（11）

=Ω′+κ×Ω（12）

=V′+κ×V+（e1+γ）×Ω（13）也可將式（10）～（13）表示為μk=Dfklγ′l+κiDfjlγl-γ0，lεijk-

μΩiVjεijk+fk （14）

ιkk=Dmklκ′l+κiDmjlκl-κ0，l-ΩiιjΩjεijk+

δi1+γiDfjlγl-γ0，lεijk+mk （15）

k=Ω′k+κiΩjεijk（16）

k=V′k+κiVj+δi1+γiΩjεijk（17）式（14）～（17）為張量形式表示的本征梁動(dòng)力學(xué)控制方程，為典型的二次非線性一階微分方程組。式中ιlΩl，l=j，k為常規(guī)意義上的相乘，不表示張量求和。除此之外，均按張量運(yùn)算法則。

2本征梁動(dòng)力學(xué)控制方程的無網(wǎng)格離散從式（14）～（17）可以看出，本征梁運(yùn)動(dòng)控制方程僅為二次非線性一階微分方程。由于僅具有一階導(dǎo)數(shù)，且非線性程度低，引入配點(diǎn)型無網(wǎng)格法可以很便利地對(duì)方程進(jìn)行離散化處理。

由于只有一階微分項(xiàng)，那么選擇二次及二次以上多項(xiàng)式作為形函數(shù)進(jìn)行插值就可以滿足方程求解要求。

沿梁的參考軸的自然坐標(biāo)對(duì)梁進(jìn)行離散，對(duì)任意影響域，本征梁運(yùn)動(dòng)控制方程中的基本變量可表示為Vi=NIVIi， Ωi=NIΩIi

γi=NIγIi， κi=NIκIii=1，2，3（18）式中I表示該影響域內(nèi)的第I個(gè)節(jié)點(diǎn)，NI=NIξ為形函數(shù)，ξ=ξx1為無量綱化坐標(biāo)。

將式（18）代入式（14）～（17）可以得到任意影響域上的控制方程：μN(yùn)IIk=N′IQDfklγIl-NIκIiDfjlγ0，lεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（19）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-κIiDmjlκ0，l-γIiDfjlγ0，lεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1Dfjlγ0，lεijk+mk （20）

NIIk=N′IQΩIk+NINJκIiΩJjεijk（21）

NIIk=N′IQVIk+NINJκIiVJj+γIiΩJjεijk+

δi1NIΩIjεijk （22）式中Q=dx1dξ，N′I=NIξ。

定義F0i=Dfijγ0，j， M0i=Dmijκ0，j（23）式中F0i和M0i分別為與初應(yīng)變和初始曲率對(duì)應(yīng)的初始力和初始彎矩。將式（23）代入式（19）和（20），簡(jiǎn)化得：μN(yùn)IIk=N′IQDfklγIl-NIκIiF0jεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（24）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（25）對(duì)配點(diǎn)型無網(wǎng)格法來說，影響域內(nèi)任意第K個(gè)節(jié)點(diǎn)，應(yīng)滿足式（21），（22），（24）和（25）。因此，將節(jié)點(diǎn)K的坐標(biāo)代入影響域內(nèi)的控制方程，得：μaIKIk=bIKDfklγIl-aIKκIiF0jεijk+

cIJKκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（26）

aIKιkIk=bIKDmklκIl-cIJKΩIiιjΩJjεijk+

aIKδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

cIJKDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（27）

aIKIk=bI KΩIk+cIJKκIiΩJjεijk（28）

aIKIk=bIKVIk+δi1aIKΩIjεijk+

cIJKκIiVJj+γIiΩJjεijk（29）式中aIK=NIξK， bIK=QN′IξK，

cIJK=NIξKNJξK（30）注意到形函數(shù)的緊支性，當(dāng)I≠K或J≠K時(shí)，aIK=0且cIJK=0。因此式（26）～（29）所示的方程均有稀疏性，這對(duì)提高方程的求解效率是有積極意義的。

對(duì)任意影響域內(nèi)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，按式（26）～（29）建立方程，再將各影響域的運(yùn)動(dòng)控制方程進(jìn)行組集，得A=Bη+FNintη，t+Fext（31）式中FNint為非線性內(nèi)力構(gòu)成的向量，F(xiàn)ext為外力項(xiàng)，η=ηT1ηT2…ηTnT為方程變量構(gòu)成的待求解向量，ηr=VTrΩTrκTrγTrT為第r個(gè)節(jié)點(diǎn)的各變量構(gòu)成的向量，其中Vr=Vr1Vr2Vr3T

Ωr=Ωr1Ωr2Ωr3T

κr=κr1κr2κr3T

γr=γr1γr2γr3T （32）從上文的推導(dǎo)中不難發(fā)現(xiàn)，式（31）為關(guān)于時(shí)間的一階常微分方程，可采用一般的時(shí)域積分算法進(jìn)行求解。

在計(jì)算出各本征量后，梁在任意截面處的矢徑可表示為[24]：R′=（1+γ1）B1+γ2B2+γ3B3（33）

B′i=κ×Bi，（i=1，2，3）（34）根據(jù)式（33）和（34）計(jì)算出梁上任意點(diǎn)的變形。

3數(shù)值算例

考慮長(zhǎng)為75 cm的矩形橫截面懸臂梁，截面尺寸為10 cm×10 cm，線密度為0.001 kg/cm，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.25。在初始時(shí)刻突然在梁的自由端沿Y的反方向和Z方向施加大小相同的恒定集中力F2=F3=35.36 N，如圖2所示。

圖2受伴隨力作用的懸臂梁

Fig.2Cantilever beam subjected to follower force

采用本文方法計(jì)算得到該懸臂梁1 s內(nèi)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制出選取的5個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移響應(yīng)歷程曲線，如圖3中的實(shí)線所示。圖中x1=0到x1=75分別表示所選取的點(diǎn)在梁的自然坐標(biāo)系下的坐標(biāo)位置。

作為對(duì)比，本文在非線性瞬態(tài)有限元分析程序Abaqus中采用480個(gè)等尺寸的C3D8六面體單元建立了該懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型。由Abaqus計(jì)算得到對(duì)應(yīng)位置處的位移響應(yīng)時(shí)間歷程如圖3中的虛線所示。

從圖3中可以看出懸臂梁在算例所示載荷作用下產(chǎn)生了很大的變形，3個(gè)位移分量均達(dá)到了40 cm以上。圖3中，本文方法計(jì)算結(jié)果和Abaqus計(jì)算結(jié)果給出的3個(gè)位移分量的動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程曲線高度吻合，說明了本文方法計(jì)算的準(zhǔn)確性。圖3位移響應(yīng)對(duì)比

Fig.3Comparison of the displacement response

由圖3中位移響應(yīng)歷程曲線可以看到，梁在集中力作用下發(fā)生劇烈的震蕩，位移曲線呈現(xiàn)出“U”形。由于集中力在Y和Z方向上的分量大小相同，位移對(duì)應(yīng)的分量u2，u3的時(shí)間響應(yīng)曲線也是對(duì)稱的。在約0.4 s時(shí)刻，梁發(fā)生了彈性回彈現(xiàn)象。

在整個(gè)計(jì)算模擬時(shí)間間隔內(nèi)，選擇若干個(gè)不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖4所示。通過圖4可以直觀地看出梁在載荷作用下的運(yùn)動(dòng)過程。初始時(shí)刻，梁受到載荷作用產(chǎn)生變形，圖中藍(lán)色線條表示梁變形增加的過程。到約0.4 s時(shí)，梁的變形達(dá)到最大值，隨后產(chǎn)生回彈。品紅色線條表示梁在產(chǎn)生最大變形量以后的回彈過程。圖4梁在不同時(shí)刻的變形狀態(tài)

Fig. 4Snapshots of the beams deformation

計(jì)算得到的曲率和應(yīng)變時(shí)間歷程響應(yīng)如圖5所示。圖5中各種不同顏色的線條表示梁上不同位置處的動(dòng)響應(yīng)（例如，紅色實(shí)線表示自由端（x=75 cm）的曲率和應(yīng)變響應(yīng)）。由于在自由端僅僅施加的是集中力，因此兩個(gè)曲率分量均為零，如圖5（a）和（b）的紅色線條所示。此外，從圖中可以看出，由于加載的對(duì)稱性，決定位移分量u2，u3的κ2，κ3以及γ2，γ3也是對(duì)稱的。這與實(shí)際物理現(xiàn)象也是相符的。圖5梁的曲率和應(yīng)變響應(yīng)曲線

Fig.5Curvature and strain versus time4結(jié)論

不同于傳統(tǒng)的非線性梁理論，本征梁方程僅具有一階導(dǎo)數(shù)和二階非線性項(xiàng)。本文利用本征梁理論的非線性程度低的特點(diǎn)，將配點(diǎn)型無網(wǎng)格方法應(yīng)用到大柔性梁的無網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)建模中。論文研究結(jié)果表明：

1） 采用本文方法只需要一組離散的點(diǎn)即可很方便地建立具有精確幾何構(gòu)型描述能力的大柔性梁動(dòng)力學(xué)方程。

2） 相比于傳統(tǒng)的非線性有限元方法，本文方法避免了在每個(gè)計(jì)算步中的網(wǎng)格積分運(yùn)算，提高了大柔性梁運(yùn)動(dòng)方程的求解效率。由于引入了本征梁理論，最終運(yùn)動(dòng)方程僅具有一階非線性，可以采用更低階插值函數(shù)進(jìn)行描述。由于本征梁的精確幾何特點(diǎn)，采用較少的離散點(diǎn)就可以非常準(zhǔn)確地算出柔性梁的變形構(gòu)型。

3） 本文采用配點(diǎn)型無網(wǎng)格方法對(duì)大柔性梁控制方程進(jìn)行離散，若采用緊支函數(shù)作為基函數(shù)，則得到的離散控制方程具有稀疏性，這對(duì)后續(xù)響應(yīng)計(jì)算的效率有積極意義。本文給出的配點(diǎn)型本征梁無網(wǎng)格方程的推導(dǎo)過程具有一般性，按此過程不難獲得其他類型的無網(wǎng)格本征梁動(dòng)力學(xué)方程。

4） 計(jì)算結(jié)果表明，本文方法得到的計(jì)算結(jié)果與細(xì)密網(wǎng)格建立的Abaqus模型計(jì)算結(jié)果相符，能夠有效地模擬出大柔性梁的大撓度、大轉(zhuǎn)動(dòng)變形，說明本文提出的大柔性非線性梁無網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)方程的準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)：

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Solving the nonlinear dynamic equations of the intrinsic beam formula by using

element free method for the flexible beam with large deflection

HE Huan1，2， WANG Tao1， LIU Panglun1， CHEN Guoping1，2

（1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University

of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China；

2. Institute of Vibration Engineering Research， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The intrinsic beam formula which is defined in the Frenet frame is one of the geometrically exact beam theories. This means that the deformation or the configuration of the beam can be described by the intrinsic beam theory exactly. By using the intrinsic beam theory， the equations of the beam can be expressed by lower order nonlinear terms with elegant form. This paper presents a meshless method for dynamic analysis of the large deflection flexible beam based on the intrinsic beam theory. The point interpolation meshless method is combined with the intrinsic beam formula to obtain the discretization equation of motion for the large deflection curved beam. Owing to the advantages of the intrinsic beam theory， the resulted equations are expressed in the first order partial differential form with second order nonlinear terms. With application of the presented method， the equation of motion of the large deflection flexible beam can be easily constructed without using integration with background cells， which the finite element always require. Thus， the present method does not need the integration process for every element during each time step. Finally， numerical example shows that the results predicted with the proposed method have good agreement with those generated using the commercial finite element software ABAQUS. Key words： nonlinear vibration； multibody dynamics； mesh free method； intrinsic beam； large deflection作者簡(jiǎn)介：何歡（1978—），男，副教授。電話：13913865435；Email： hehuan@nuaa.edu.cn

Abstract：

Key words： intrinsic beam； nonlinear； mesh free method； dynamic analysis； large deflection； flexible beam.

作者簡(jiǎn)介： 何歡（1978 – ），男，副教授。電話：13913865435； Email： hehuan@nuaa.edu.cn