開裂鋼筋混凝土梁正常服役有效慣性矩隨機分析

楊 成, 陳文龍, 趙人達, 徐騰飛

(1. 西南交通大學陸地交通地質災害防治技術國家工程實驗室, 四川 成都 610031; 2. 重慶大學山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室, 重慶 400045)

在結構設計中,相比普通強度鋼筋混凝土,高強度鋼筋與高強度混凝土的使用,在保證相同承載能力的前提下,將有效降低構件的截面尺寸與配筋率[1],從而導致較大的變形與裂縫寬度.此時,能否滿足正常使用極限狀態(tài)的性能要求,可能成為結構設計的控制性因素[2-3].

混凝土梁開裂后的裂縫寬度、剛度計算是混凝土結構正常使用狀態(tài)設計的重要內容[4].當計算鋼筋混凝土梁的抗彎承載力時,混凝土抗拉強度通?？梢院雎?但事實上,在正常使用極限狀態(tài)范圍內,受拉區(qū)裂縫之間的混凝土仍然承擔部分拉力,為構件正截面抗彎提供剛度,被稱為拉伸剛化效應[5-6],將影響鋼筋混凝土構件的開裂后剛度、變形和裂縫寬度[7].對于配筋率較低的混凝土板而言,拉伸剛化效應可能會貢獻50%以上的開裂后剛度[8].

正常使用極限范圍下鋼筋凝土結構變形的計算都需考慮混凝土的開裂非線性與拉伸剛化效應,非線性有限元法是其中一種重要的分析方法.可通過修改鋼筋或混凝土材料的應力-應變關系來考慮拉伸剛化效應[9-11],也可基于粘結滑移理論及局部特性提出的有限元模型[12-13]來解決.雖然非線性有限元法能夠比較準確地預測構件撓度,但其巨大的計算量與復雜性使得大部分工程師更愿意采用規(guī)范建議的簡化公式.因此,1965年Branson提出了開裂混凝土有效慣性矩公式[14],并被ACI318-05[15]采用,但Bischoff認為,當配筋率較低時,Branson公式將會高估截面的有效剛度,并提出了與歐洲規(guī)范形式一致的有效慣性矩預測公式[1,16].我國《混凝土結構設計規(guī)范》采用剛度解析法并結合鋼筋應力不均勻系數(shù)試驗推導了混凝土截面的有效剛度[4,17],并開展相關試驗研究,實測了拉伸剛化效應引起的鋼筋應力變化[18].

但上述工作仍然存在問題,由于混凝土力學特性存在固有的隨機性質,導致鋼筋混凝土梁的拉伸剛化效應與有效剛度隨之具有隨機性,進而使鋼筋混凝土梁的變形也不可避免地具有隨機特性[19-20],客觀上增加了對鋼筋混凝土梁變形預測的難度,而這對當前大量使用的“橋建合一”鐵路站房建筑設計將產生顯著影響[21].由于站臺樓面的軌道梁受建筑結構和高速鐵路橋涵規(guī)范雙重控制,梁體平順性要求較普通建筑結構高.如果對鋼筋混凝土結構拉伸剛化效應的隨機性和混凝土開裂隨機性的考慮缺失,過高或過低的軌道梁變形預測結果都將導致預拱度設置不合理,從而影響線路平順與列車高速過站行車的安全性.這與普通建筑結構在重力荷載作用下只考慮單向變形可靠度有顯著區(qū)別.文獻[22]建立了混凝土結構的長期變形隨機分析模型,利用該模型分析鋼筋混凝土偏心受壓柱長期變形的隨機性.文獻[23]提出開裂的隨機性在混凝土結構隨機分析的重要性,并提出分片響應面方法解決開裂非線性的鋼筋混凝土梁變形隨機問題.

本文采用剛度解析法[5]推導并化簡了正常服役下鋼筋混凝土梁有效慣性矩的無量綱形式.采用蒙特卡洛法對其進行隨機分析,并用偏相關系數(shù)表示參數(shù)的敏感性,完成了敏感性分析,提出了鋼筋混凝土梁有效慣性矩的預測均值模型與95%概率區(qū)間模型,對于隨機分析背景下預測鋼筋混凝土結構變形有一定意義.

1 有效慣性矩模型

根據(jù)我國GB 50010—2010《混凝土結構設計規(guī)范》,在裂縫穩(wěn)定階段,可以采用剛度解析法推導鋼筋混凝土梁截面的平均剛度B(割線值).[5]

(1a)

(1b)

式中:

Es為鋼筋的彈性模量;

As為受拉鋼筋的面積;

h0為截面有效高度;

ψ為裂縫間受拉鋼筋不均勻系數(shù),通過試驗得到[4];

η為開裂截面的鋼筋內力臂系數(shù);

αE為鋼筋彈性模量與混凝土彈性模量的比值;

μ為受拉鋼筋配筋率;

λ為受壓變形塑形系數(shù);

ω為混凝土受壓區(qū)合力換算系數(shù);

xcr為開裂截面的受壓區(qū)高度;

Mcr為鋼筋混凝土受彎構件截面開裂彎矩;

Ma為正常使用荷載作用下的彎矩.

在正常服役的荷載作用下,可以假定混凝土受壓區(qū)混凝土處于線彈性階段[3,24-25],此時式(1a)中的參數(shù)可簡化為

(2)

將式(2)代入式(1a)有

(3)

對于矩形截面梁,式(3)兩邊同時除以EcIg,截面有效慣性矩為

(4)

式中:

Ig為未開裂截面慣性矩;

Ie為開裂鋼筋混凝土梁的有效慣性矩;

h為矩形截面梁的橫截面高度.其中梁和板的h0/h取值范圍為0.8～0.9[1],本文以0.8為例進行分析.

2 隨機參數(shù)和分析方法

鋼筋混凝土構件撓度的不確定性主要由材料屬性、制造誤差、荷載及構件尺寸產生.由于式(4)為無量綱方程,所以忽略尺寸因素的影響.而隨機分析是在加載過程中進行的,所以荷載的不確定性同樣被忽略.

所涉及的隨機變量見表1[26],其中:

βfc為混凝土材料抗壓強度隨機變量;

βEc為混凝土彈性模量隨機變量;

βft為混凝土抗拉強度隨機變量;

βEs為鋼筋彈性模量隨機變量;

Esm為鋼筋彈性模量均值,取200 GPa;

fcm為混凝土抗壓強度平均值;

ft為混凝土抗拉強度;

fc為混凝土抗壓強度.

由于隨機分析對象為顯式函數(shù),可采用蒙特卡洛方法直接模擬,抽樣次數(shù)為10 000次.

表1 隨機變量的隨機特性Tab.1 Statistical properties of random variables

3 均值和置信區(qū)間模型

圖1 無量綱截面慣性矩均值面Fig.1 Surface of the mean values of dimensionless moment of inertia

選擇配筋率為0.3%與1.5%的情況,圖2給出了混凝土抗壓強度均值取30 MPa時隨機分析均值與確定分析結果的對比.

(a) μ=0.3%

(b) μ=1.5%圖2 不同配筋率的無量綱截面慣性矩均值曲線對比Fig.2 Comparison of mean values of the dimensionless moment of inertia at varying reinforcement ratios

上述分析反映了截面開裂前,有效慣性矩為定值,即等于截面的慣性矩;而截面開裂后,采用式(4)給出的表達式計算.當外荷載接近開裂荷載時(左逼近開裂荷載),截面不會開裂,截面慣性矩為定值.但是對于隨機分析而言,截面開裂是有一定幾率的隨機現(xiàn)象,當截面不開裂時,截面慣性矩等于確定分析結果;當截面開裂時,截面慣性矩小于確定分析結果,此時隨機分析的均值亦小于確定分析結果.以此類推,可以得到當外荷載接近開裂荷載時(右逼近開裂荷載)的情況.因此從根本上說,確定性分析與隨機分析結果的差異是由鋼筋混凝土截面開裂發(fā)生的隨機性與開裂前后剛度的差異共同引起的.對于不同配筋率的情況,高配筋率混凝土的裂縫深度淺,裂后剛度較大,與低配筋率混凝土相比,開裂前后的剛度差異較小,因此圖2(b)中確定性分析結果與隨機分析結果的差異較圖2(a)小.

圖3 無量綱截面慣性矩的累積函數(shù)分布Fig.3 Cumulative distribution function of the dimensionless moment of inertia

基于以上認識,Ie/Ig的均值可以寫成

(5)

式中:

P(M≥Mcr)為截面開裂的概率;

P(M

E(Ie/Ig|M≥Mcr)為截面開裂條件下Ie/Ig的期望;

E(Ie/Ig|M

顯然,

E(Ie/Ig|M

(6)

P(M≥Mcr)+P(M

(7)

對于純彎曲構件

(8)

式中:

σ為截面端部拉應力;

由此,將式(5)～(8)聯(lián)立,并結合圖1中已求出的數(shù)據(jù),E(Ie/Ig|M≥Mcr)可以用三次多項式擬合.

(9)

式中,μ′=100μ.

表2給出了抗壓強度均值分別取30、40、50 MPa與60 MPa時,式(9)的擬合系數(shù).

表2 公式(9)的擬合系數(shù)Tab.2 Fitting coefficients for Eq. (9)

根據(jù)隨機性累積分布分析,得到其非正態(tài)分布的置信區(qū)間為

(10)

式中,C為偏移系數(shù).

圖4 置信區(qū)間偏移系數(shù)Fig.4 Offset coefficient of the confidence interval

利用式(11)對曲面進行分段擬合,表3～6給出了不同外加彎矩的情況下,混凝土抗壓強度均值分別取30、40、50 MPa與60 MPa時的擬合系數(shù).

(11)

表3 Csup的擬合系數(shù)Tab.3 Fitting coefficients for

敏感性分析是研究隨機變量對結構響應貢獻程度的有效方法.而對于具有大量統(tǒng)計樣本的直接蒙特卡洛法而言,可采用多元回歸分析中的偏相關系數(shù)(partial correlation coefficient, PCC)來代表變量的敏感性[27-29].

表4 Csup的擬合系數(shù)Tab.4 Fittingcoefficients for

表5 Cinf的擬合系數(shù)Tab.5 Fittingcoefficients for

表6 Cinf的擬合系數(shù)Tab.6 Fittingcoefficients for

以混凝土抗壓強度均值為30 MPa為例,圖5給出了隨機變量的敏感性曲面.

由圖5中可以看出,混凝土抗壓強度PCC值不會隨著配筋率或外加彎矩的改變而有較大變化,其值為接近0的水平面,因此混凝土抗壓強度對有效慣性矩不敏感.而對有效慣性矩較敏感的因素有混凝土抗拉強度、混凝土彈性模量與鋼筋彈性模量.在加載早期,混凝土抗拉強度的敏感性接近1,隨著荷載的增大,敏感性逐漸降低;同時,混凝土彈性模量和鋼筋彈性模量對有效慣性矩的影響由0開始逐漸增加.

圖5 隨機變量的敏感性系數(shù)(PCC)Fig.5 Sensitivity coefficient of random variables (PCC)

4 結 論

剛度解析法為當前我國《混凝土結構設計規(guī)范》預測鋼筋混凝土梁有效剛度的推薦方法,但由于混凝土自身的隨機特性,導致鋼筋混凝土梁有效剛度具有隨機性,因此很難準確預測鋼筋混凝土梁的變形,這對一些具有特殊使用功能的建筑結構有不利影響.旨在研究采用我國規(guī)范進行鋼筋混凝土梁有效剛度預測時,預測結果的隨機性.

當混凝土配筋率較低時,無量綱有效慣性矩隨機分析的均值結果與確定分析的結果不一致;

給出了常用混凝土強度等級對應的量綱有效慣性矩的均值與置信區(qū)間(2.28%～97.72%)的數(shù)學模型;

混凝土抗拉強度對截面有效慣性矩較敏感,其敏感性隨著荷載增大而降低;混凝土彈性模量與鋼筋彈性模量的敏感性隨著荷載的增大而增大;混凝土抗壓強度對有效慣性矩不敏感.

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