二次函數(shù)交點(diǎn)式在解題中的妙用

陶克斌

摘要：二次函數(shù)在中考題目當(dāng)中一直是熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在教學(xué)過程中，部分學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的理解運(yùn)用不是很到位，這是由于二次函數(shù)可分為一般式、交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式等多種形式，學(xué)生難以區(qū)分把握。其中，交點(diǎn)式二次函數(shù)在解決最值問題時(shí)能發(fā)揮較大作用，需要重點(diǎn)理解掌握，往往能夠?qū)㈩}目簡化，讓人豁然開朗，完成解答。對(duì)此，本文就交點(diǎn)式二次函數(shù)問題進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)交點(diǎn)式;最值;對(duì)稱軸

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）15-0224-01

引言

函數(shù)在初中數(shù)學(xué)課程體系當(dāng)中一直是重中之重，其知識(shí)體量大，知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜，對(duì)于定理和定義的理解需要十分到位且深刻，才能把二次函數(shù)掌握清晰，因此是教學(xué)任務(wù)的主要攻克對(duì)象，教師與學(xué)生均對(duì)其投入了巨大的時(shí)間和精力。在考試中，函數(shù)經(jīng)常作為壓軸題和難點(diǎn)題出現(xiàn)，學(xué)生在解答過程中往往會(huì)感覺到力不從心，丟分現(xiàn)象嚴(yán)重。學(xué)生利用常規(guī)方法解答函數(shù)題目，往往通過大量計(jì)算和思考也不能保證解題的正確率。對(duì)此，筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出二次函數(shù)的交點(diǎn)式解題方法，可大幅度簡化部分二次函數(shù)問題，提高得分率。

1.求對(duì)稱軸

當(dāng)已知函數(shù)解析式為y=ax-x1x-x2時(shí)，可令y=0，代入方程得a（x-x1）（x-x2）=0，可以解得拋物線與橫軸交點(diǎn)坐標(biāo)A（x1，0）、B（x2，0），由于二次函數(shù)曲線具有對(duì)稱性，可知此兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于其對(duì)稱軸是互相對(duì)稱的，則其對(duì)稱軸橫坐標(biāo)為x=x2-x12。

例1 ：二次函數(shù)y=a（x-1）2+4，已知其與x軸一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），求該拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)。

解：常規(guī)手段可以利用（2，0）代入方程，解得a=-4;

得出解析式為y=-4（x-1）2+4;

繼續(xù)令y=0，可得-4（x-1）2+4=0;解該方程可得另一個(gè)交點(diǎn)為（0，0）。

如果利用交點(diǎn)式可知，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，利用其對(duì)稱性可知另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）。

2.求解析式

所謂交點(diǎn)式即利用二次函數(shù)與橫軸交點(diǎn)，設(shè)x1、x2為二次函數(shù)的兩個(gè)解，形如y=a（x-x1）（x-x2）即為二次函數(shù)的交點(diǎn)式，x1、x2分別為二次函數(shù)與橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，0）、B（x2，0）。由于方程式中只有一個(gè)未知數(shù)a，則帶入一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)即可得出字母a的數(shù)值，從而確定其函數(shù)解析式。

例2：已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（-2，7），拋物線的對(duì)稱軸為x=3，求拋物線的解析式。

一般的解題方法可以利用拋物線一般方程y=ax2+bx+c，把已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中可得方程組a+b+c=04a-2b+c=0-b2a=3，

解方程組可得a=13b=-2c=53

而利用交點(diǎn)式則可以利用對(duì)稱軸為x=3，一個(gè)點(diǎn)為（1，0），則另一個(gè)交點(diǎn)為（5，0），拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-5），再將點(diǎn)（-2，7）代入其中即可得到a=1/3，則解析式為y=13x2-2x+53。

3.求最值

例3：用一條長為30m的繩子圍出一塊一邊靠木板的矩形空地，怎樣圍才能保證這塊空地面積最大，求其最大值。

解：設(shè)矩形的寬為x m，則矩形的面積為y m2，則平行于木板的邊長為（30-2x ）m，

則y=（30-2x）x

一般式為y=-2x2+30x

配方得y=-2（x2-15x）

y=-2（x-152）2+2252

所以在x=15/2m時(shí)，ymax=225/2。

利用交點(diǎn)式則可輕易解題y=（30-2x）x;

令y=0，解得x1=15、x2=0;該拋物線對(duì)稱軸為x=15/2，將其代入解析式可得ymax=225/2。

結(jié)語

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)工具學(xué)科，在初中課程體系內(nèi)占比極大。而函數(shù)作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，掌握科學(xué)、有效的方法和思路是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之處。試卷中的題目不僅僅是考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，也考察了個(gè)人對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解深度。因此教師不能僅要求提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，還要拓寬其知識(shí)面，教給學(xué)生一些巧妙的解題思路和能化繁為簡的技巧。

參考文獻(xiàn)：

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