對一道例題的反思

張 冰

（陜西省西安交大附中 陜西西安 710048）

在高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（北師大版）選修2-2《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》中介紹了一道例題，課堂上講解這道題目之后，又有了很多想法和反思，現(xiàn)將課后對這道題目的反思記錄下來，希望對今后的教學(xué)有所啟發(fā)。

1.例：已知曲線

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求曲線過點(diǎn)處的切線方程。

解：（1由曲線的幾何意義，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

即：

（2）曲線過點(diǎn)處的切線可能（1）P是切點(diǎn)；（2）P不是切點(diǎn)

當(dāng)P是切點(diǎn)時(shí)，即第（1）小問的情形，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為

這時(shí)曲線的切線方程為：

通過圖像可以驗(yàn)證曲線過點(diǎn)P的曲線確實(shí)有兩條。

課堂的例題分析、講解是結(jié)束了，在課后回顧這道例題的時(shí)候，突然想到是否對任意的一條三次曲線，過曲線上任意一點(diǎn)都是有兩條切線嗎？

對于三次函數(shù)過曲線上任意一點(diǎn)作切線，切線的情形如何？

因?yàn)橐渣c(diǎn)P為切點(diǎn)的切線一定存在，切點(diǎn)不是點(diǎn)P的切線是否一定存在？

假設(shè)切點(diǎn)由點(diǎn)Q在曲線上，

得：

又，點(diǎn)Q在切線上，切線PQ的斜率

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：

所以，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，過點(diǎn)P有且只有一條切線；

當(dāng)?≠0，即時(shí)，過點(diǎn)P的切線有兩條，切點(diǎn)分別是點(diǎn)P和點(diǎn)Q。

所以，如果，過點(diǎn)P的切線有且只有一條，否則有兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)P和點(diǎn)Q。另一方面，正好也是的對稱軸，這樣進(jìn)行判斷時(shí)就很容易了。

有什么特別的意義嗎？

我們知道是以為中心的中心對稱圖形，也是中心對稱圖形嗎？其對稱中心又是什么呢？

設(shè)函數(shù)的對稱中心為

按向量將函數(shù)的圖像平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)。

所以

化簡得：

上式對恒成立，有

以上證明告訴我們：函數(shù)是中心對稱圖形，其對稱中心為：

，該點(diǎn)在其導(dǎo)函數(shù)：

的對稱軸上。

從對這道例題的反思中讓我更加體會(huì)到了教學(xué)的樂趣，一天的課下來，在無人的時(shí)候，翻著自己的教案，重溫課上的每一個(gè)細(xì)節(jié)，什么地方精彩，什么地方失敗，哪一句話引起了學(xué)生的共鳴，什么地方調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，再對教案進(jìn)行更進(jìn)一步的修改，同時(shí)記錄下課上的一些突發(fā)奇想，某個(gè)靈感或突然間悟到的一種更好的調(diào)控課堂的方法，與學(xué)生溝通的方式等。時(shí)間一長，就發(fā)現(xiàn)自己對這些看似雞毛蒜皮的課堂細(xì)節(jié)的總結(jié)，在不知不覺中形成了自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格。但細(xì)節(jié)每堂都有，總結(jié)每天進(jìn)行，收獲樂趣多多。