不可輕視求根公式

劉蘭芝

（云南省玉溪市教科所 云南玉溪 653100）

求根公式不僅在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中有了舉足輕重的地位與作用，而且在高中的數(shù)學(xué)中也有不同尋常的作用。不少高考題的解題過程中都離不開它，非它莫屬，下面我們一起看看求根公式在解高考題的過程中的作用。

一、解一元二次方程（解析幾何題）時(shí)的應(yīng)用

例1.（2008?陜西卷）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30o 的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直x軸，則雙曲線的離心率為

[解析]∵M(jìn)F2垂直x軸，

[評析]在解一元二次方程時(shí)用到了求根公式，并且解此方程只能用求根公式來解。

二、解指數(shù)方程時(shí)的運(yùn)用

例2.（2008?上海卷）已知函數(shù)

（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；

（Ⅱ）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

[解析] （Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0，不符合題意。

當(dāng)x≥0時(shí)，

利用求根公式求得

[評析]在解一元二次方程時(shí)只能用求根公式來解。

三、解三角方程（解析幾何題）時(shí)的運(yùn)用

例3.（2007?廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。

橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）試探究圓C上是否存在于異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段 OF 的長。若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

[解析]（Ⅰ）設(shè)圓C的圓心為（m，n）， 則

解得m=-2， n=2。故所求圓的方程為

（Ⅱ）因?yàn)閍=5，故橢圓為

又 F（4，0），假設(shè)存在Q點(diǎn)

使

則

得有

由求根公式得因此，不存在符合題意的點(diǎn)Q。

[評析]方程的求解須依靠求根公式。

四、解二元二次方程（集合題）時(shí)的運(yùn)用

例4.（2004?全國Ⅱ卷）設(shè)集合則集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）

A.1 B. 2 C.3 D.4

[解析]由方程組

解之得

從而有兩解，所以，集合中的元素個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選B。

[評析]本題也可以用圖象法解，即作圖后圖中有兩個(gè)交點(diǎn)。在解一元二次方程時(shí)少不了求根公式。

五、求f′（x）=0的根（函數(shù)的單調(diào)性）時(shí)的運(yùn)用

例5.（2008?全國Ⅰ卷）已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

[解析]（Ⅰ）

⑴當(dāng)△＞0時(shí)，4（a2-3）＞0，即或時(shí)，由f ′（x）=0

解得兩根為則 ①x在

函數(shù)f（x）是增函數(shù)；②x 在

f ′（x）＜0，f（x）是減函數(shù);③x在

f ′（x）＞0， 函數(shù)f（x）是增函數(shù)。

⑵ 當(dāng)△＜0及△=0時(shí)略。

[評析]在解方程f ′（x）=0時(shí)，再次展現(xiàn)了求根公式的特殊功能。

從上面的考題中可以看出，不少的題解答都要用到求根公式，并且許多高考題必須用求根公式方能解答，所以，對求根公式應(yīng)該

記牢、熟用，達(dá)到運(yùn)用自如，熟能生巧，熟能生思的狀態(tài)，才有利于提高解題效率。