《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的教育價(jià)值的挖掘

黃汝平

（福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) 福建龍巖 364000）

本專題是在學(xué)習(xí)了直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)上，對(duì)解析幾何初步內(nèi)容進(jìn)一步深化。學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程，有助于學(xué)生體會(huì)解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變。本專題的教育價(jià)值，從以下幾個(gè)方面得到體現(xiàn)：

一、重視與學(xué)科內(nèi)之間聯(lián)系

從縱向看，直線、圓、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能發(fā)揮著重要作用。比如直角坐標(biāo)系中，用數(shù)組表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示曲線的方程。在極坐標(biāo)系中用數(shù)組表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示曲線的方程等等，揭示新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。從橫向看，此分支與數(shù)學(xué)科的其它分支的知識(shí)進(jìn)行交匯。如與三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)等知識(shí)交匯。如極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的互化公式利用了三角函數(shù)定義揭示點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與的關(guān)系。又如將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，應(yīng)用了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。在互化過程中，還應(yīng)用了代入法、平方消元法、加減消元法等數(shù)學(xué)方法。

二、重視數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法在本專題中應(yīng)用廣泛。① 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的思想、如極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系類比能更好地理解極坐標(biāo)定義，為正確進(jìn)行直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化提供保證。又如求簡單的曲線的極坐標(biāo)方程；② 考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想：如求圓心的極坐標(biāo)為，半徑為的圓的方程；③ 化歸與轉(zhuǎn)化思想：如畫出方程的圖像，這問題情景是陌生的，就要引導(dǎo)學(xué)生將陌生問題化為熟悉的問題即將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；④ 有限與無限思想：如極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)比較有許多長處，它也有不足，平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)卻有無數(shù)個(gè)。如果ρ＞0，0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了。注意：如無特別要求，通常取ρ≥0 ，數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，因此，在平時(shí)教學(xué)中要意識(shí)進(jìn)行地滲透 ，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到潛移默化。

三、重視數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

新課程改革非常突出能力培養(yǎng)，本專題也不例外，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會(huì)從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力。1。抽象概括能力:如學(xué)習(xí)參數(shù)方程時(shí)，教材從拋物運(yùn)動(dòng)談起，從物理現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；2。運(yùn)算求解能力和推理論證能力：教材P12 例2題目的表面意義求曲線的直角坐標(biāo)方程。當(dāng)求出了曲線的普通方程后，進(jìn)一步探究曲線的類型，運(yùn)用了分類與整合的思想，對(duì)進(jìn)行討論，得出了當(dāng)是橢圓、拋物線與雙曲線這三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。這道題信息量很大，除了考查了分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化，特殊與一般等數(shù)學(xué)思想外，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解能力、推理論證能力和抽象概括能力，最想說明的是極坐標(biāo)方程表示曲線的簡潔。取不同的值時(shí)，表示不同的曲線（橢圓、拋物線和雙曲線）。最后下了極其耀眼的結(jié)論：

四、重視跨學(xué)科之間聯(lián)系和應(yīng)用意識(shí)

比較典型的教材引用了物理的斜拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)實(shí)際問題來說明參數(shù)是聯(lián)系之間關(guān)系的中介變量，由于例子的背景是學(xué)生所熟悉的，體現(xiàn)了化歸問題的簡單原則，對(duì)于我們的教學(xué)有借鑒作用的。數(shù)學(xué)與物理的聯(lián)系是緊密的，類似于數(shù)與形的關(guān)系。如圓的參數(shù)方程若寫成為參數(shù)，ω為角速度），

則具有物理意義。又如直線的參數(shù)方程

其中的物理意義就是位移，在數(shù)學(xué)中稱為數(shù)量。在物理學(xué)中，位移是矢量，它是具有大小，又有方向的。這樣解釋學(xué)生對(duì)的幾何意義也就不難理解。再如物理學(xué)科中簡諧振動(dòng)的圖象中研究振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度，從數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)看就是研究過曲線上的點(diǎn)的切線的斜率變化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能很直觀地分析出振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度變化情況。數(shù)學(xué)是物理的工具，物理促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。啟發(fā)學(xué)生對(duì)這類問題可從物理、數(shù)學(xué)不同的角度去分析。

五、重視極坐標(biāo)法和參數(shù)法的工具性作用

1.實(shí)際應(yīng)用：學(xué)生的學(xué)習(xí)用品中直尺用來畫直線、圓規(guī)用來畫圓，那要畫橢圓呢?有這工具嗎?教材介紹了橢圓規(guī)的工具制作，若對(duì)其原理進(jìn)行分析，導(dǎo)入了參數(shù)的選取問題?？稍鰪?qiáng)學(xué)生解題參數(shù)意識(shí)。

2.解題方法：我們一般認(rèn)為，三角函數(shù)、平面向量是數(shù)學(xué)解題工具，那么學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，極坐標(biāo)法和參數(shù)法也可作為工具。在求平面上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程便能體現(xiàn)它們的優(yōu)越性。

題目: 已知定點(diǎn)及定直線是上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程。

分析：觀察圖形，由于點(diǎn)M的軌跡與直線PF（QF）的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，可考慮選PF的斜率為參數(shù)；若注意到M的軌跡又取決于P、Q，故又可以考慮P、Q的坐標(biāo)為參數(shù)。

評(píng)析： 許多軌跡問題都與直線的運(yùn)動(dòng)或點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。因此直線的斜率與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)是使用得最多的參數(shù)之一。

六、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美

本專題作為選修教材，其中大量體現(xiàn)著數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美，我們看看教材中列舉了美麗曲線種種。如擺線、卡丹轉(zhuǎn)盤和齒輪、葉形線、對(duì)數(shù)螺線、玫瑰線（如圖，用幾何畫板作）等等，無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，應(yīng)讓學(xué)生好好地去欣賞，去思考這些充滿美感的曲線怎么畫的?在感受數(shù)學(xué)的曲線美的同時(shí)，別忘了三位數(shù)學(xué)家：阿基米德、卡丹和帕斯卡。在幾何學(xué)上，卡丹發(fā)明了畫橢圓的“卡丹轉(zhuǎn)盤”，是研究擺線的第一人；帕斯卡系統(tǒng)研究擺線，寫出三本關(guān)于擺線的著作；阿基米德是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，是發(fā)現(xiàn)且證明圓面積公式與球體積的第一人，其名著《論螺線》論述阿基米德螺母和空間等進(jìn)螺線的性質(zhì)。這些數(shù)學(xué)家取得偉大的成就，為真理而孜孜以求的奮斗精神，以及對(duì)美和善的崇高追求，不就是培養(yǎng)學(xué)生良好的情感態(tài)度和價(jià)值觀的典范。

七、信息技術(shù)應(yīng)用

利用現(xiàn)代學(xué)習(xí)工具，促進(jìn)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)：猜想論證，探索與推理，問題的提出與分析解決，計(jì)算與檢驗(yàn)等，可加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、思想方法的理解，培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力。如在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換時(shí)可借助幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)變化規(guī)律，猜想其軌跡，然后再進(jìn)行論證。這樣設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的好奇心，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。