基于小波變換的采樣問題研究

王銀花 孫 濤

（銅陵學(xué)院電氣工程學(xué)院 安徽銅陵 244000）

香農(nóng)采樣定理的內(nèi)容表述為：一個(gè)頻譜有限的信號(hào)，當(dāng)對(duì)其用采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的2倍進(jìn)行采樣得到樣本數(shù)據(jù)，則原來的模擬信號(hào)可以從樣本數(shù)據(jù)中完全重建。原始模擬信號(hào)的帶寬決定采樣間隔大小，當(dāng)采樣間隔大小滿足香農(nóng)采樣定理時(shí)，采樣得到的序列不丟失原始模擬信號(hào)的全部信息。在通信領(lǐng)域中，由于任何通信設(shè)備都有其截止頻率，因此要求原始信號(hào)是頻譜有限信號(hào)的條件是適合通信系統(tǒng)的實(shí)際情況的。但是在其他很多領(lǐng)域如電磁場(chǎng)、地球物理學(xué)等，由于所涉及到的信號(hào)函數(shù)很多是緊支集的，且信號(hào)函數(shù)本身或者其導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，其傅里葉變換得到的頻域函數(shù)的頻譜不可能是有限的，因此香農(nóng)采樣定理不再能適用。

小波分析是20世紀(jì)80年代中后期發(fā)展起來的，它是結(jié)合泛函分析、應(yīng)用數(shù)學(xué)、逼近論、調(diào)和分析、廣義函數(shù)論等數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶。作為一種全新的分析信號(hào)的工具，克服了傅里葉分析的只是反映信號(hào)的整體特征，而非局部特征的不足，又克服了Gabor提出的窗口傅里葉變換中時(shí)—頻窗寬度固定，無法隨意更改窗結(jié)構(gòu)的不足。目前，小波分析在圖像處理、模式識(shí)別、數(shù)值分析、地震數(shù)據(jù)勘探和大氣科學(xué)等眾多非線性領(lǐng)域越來越發(fā)揮出創(chuàng)造性的作用，其潛在的應(yīng)用領(lǐng)域極其廣泛。

無線電通信是20世紀(jì)90年代初發(fā)展起來的。由天線感應(yīng)的射頻模擬信號(hào)盡可能直接進(jìn)行數(shù)字化，將其轉(zhuǎn)化為適合信號(hào)處理器或者計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)形式，然后可以通過算法來實(shí)現(xiàn)各種功能，這樣的做法使數(shù)據(jù)流具有更好的適應(yīng)性和可擴(kuò)展性[1]。因此完成模擬信號(hào)的數(shù)字化就是極其重要的。信號(hào)可以通過采樣方式把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為離散數(shù)值，再通過重構(gòu)公式和離散點(diǎn)的組合表示出原始信號(hào)，香農(nóng)等人在提出時(shí)域采樣定理后，后繼發(fā)展了頻域信號(hào)的采樣定理，多維信號(hào)的采樣定理，廣義平穩(wěn)信號(hào)的采樣定理以及非均勻采樣定理。本文是在非均勻采樣定理的思想下，利用小波變換理論，建立新的基于小波分析的采樣定理，它可以滿足不同領(lǐng)域的各種實(shí)際問題的需要。體現(xiàn)出小波分析這一新型工具用于采樣定理的優(yōu)越性。

一、采樣理論

（一）時(shí)域采樣定理。計(jì)算機(jī)處理信號(hào)需要將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，其第一步就是采樣。將連續(xù)信號(hào)采樣成離散信號(hào)，再經(jīng)過量化，編碼等處理成數(shù)字信號(hào)。以此得到的數(shù)字信號(hào)可以通過衛(wèi)星通道、微波干線、電纜、光纖等數(shù)字線路傳輸。

教材中對(duì)于滿足頻帶范圍有限的這一限定條件的信號(hào)，令其最高頻率為fm，用理想單位沖激響應(yīng)串δ(t-nT)與模擬信號(hào)f(t)相乘，得到離散信號(hào)fs(t)，其頻譜結(jié)構(gòu)是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，以采樣角頻率ωs為周期的延拓函數(shù)[2]。滿足奈奎斯特采樣頻率即（Fs≥2fm(Fs=1/T)）時(shí)，用低通濾波器從采樣信號(hào)中能不失真的提取原信號(hào)。

利用傅里葉反變換求出時(shí)域插值公式。即：

由插值公式與采樣離散點(diǎn)線性組合重構(gòu)出原始信號(hào)。

（1）式右邊用 S△f(t)表示，即：

當(dāng)香農(nóng)采樣定理的限定條件不滿足時(shí)，對(duì)于任意取樣間隔，式（1）是不能成立的。即S△f(t)與f(t)會(huì)有較大偏差。

采樣問題研究以下兩個(gè)問題，第一，用什么樣的采樣方式可以使信號(hào)無損失。第二，插值函數(shù)的選取并用線性組合無失真的還原出原始模擬信號(hào)。

（二）非均勻采樣定理。香農(nóng)等人曾經(jīng)指出:當(dāng)帶限信號(hào)f(t)在(-T,T)外，其采樣值準(zhǔn)確為零時(shí)，則f(t)可以僅由2BT個(gè)采樣值來重構(gòu)，B指的是帶寬。同時(shí)，這2BT個(gè)采樣值不必是等間隔的采樣值[3]。

非均勻采樣定理可表述為：設(shè)f(t)為一帶限信號(hào)，其最高頻率為w,則f(t)可以由其某一組在周期非均勻采樣點(diǎn)t=τpm=tp+(mN/2w)，p=1,2......N，m=...-1,0,1...上的采樣值唯一確定。其重構(gòu)公式為：

式中

正是基于非均勻采樣的思想，本文研究討論基于小波變換的非均勻采樣定理特性。

二、小波變換與采樣

小波分析是克服傅里葉分析缺陷的一種新型研究信號(hào)的工具，傅里葉變換的基函數(shù)不是屬于平方可積的信號(hào)空間即，而小波函數(shù)滿足[4]。令小波函數(shù)的傅里葉變換為ψ(ω)，若其滿足條件：

則稱ψ(t)是一個(gè)小波母函數(shù)。小波函數(shù)具有衰減性和正負(fù)交替的波動(dòng)性。由小波母函數(shù)經(jīng)過尺度變換和位移變換可以得到小波基函數(shù)。圖1所示就是一種小波基函數(shù)。

圖1 小波基函數(shù)

連續(xù)小波基函數(shù)的數(shù)學(xué)公式可表示為：

式（6）中為尺度參數(shù)，b為位移參數(shù)。

信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換的定義式為：

可見小波變換將一維的信號(hào)變換成依賴于參數(shù)的二維分析，故小波變換實(shí)際上是一種升維分析。任何變換必須有其逆變換才有意義。小波變換的逆變換是存在的。根據(jù)小波變換系數(shù)可以精確的恢復(fù)原信號(hào)。小波逆變換公式為：

式（8）說明對(duì)連續(xù)小波變換系數(shù)與小波基函數(shù)的乘積再做二重積可確定信號(hào)f(t)的重構(gòu)。

信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換系數(shù)信息是冗余的，在許多情況下，需要考慮數(shù)據(jù)壓縮和存儲(chǔ)計(jì)算，如圖像數(shù)據(jù)壓縮、語音數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)值計(jì)算等領(lǐng)域。希望在不丟失原始信號(hào)f(t)的情況下，盡可能地減小小波變換系數(shù)的冗余度。非正交離散小波變換能夠滿足這方面的要求。

式（7）中，當(dāng)ψ(t)是正交小波時(shí)，應(yīng)滿足以下條件：

按照尺度參數(shù)=2-j，位移參數(shù)b=2-jk將小波離散化處理，降低了連續(xù)小波變換的冗余性。

將式（10）帶入式（7）得

其中。

式（13）就是小波采樣定理。對(duì)于任意f(t)∈L2(R)，連續(xù)小波變換系數(shù)Wf(a,b)把尺度參數(shù)和位移參數(shù)離散化后的Wf(2-j,k×2-j)與插值基函數(shù)Tj,k(a,b)相乘，二重求和就可以重構(gòu)原始信號(hào)。

三、Harr小波

以Harr小波為例，它是最早用到的，最簡(jiǎn)單的具有緊支集的正交小波。

圖2 Harr尺度函數(shù)和Har小波函數(shù)

由式（13）得。

下面分情況討論，由此得出了中的表達(dá)式和圖像。

情況①：當(dāng)，即

則由式（16）得

同理，情況②：當(dāng)

情況③：當(dāng)

利用MATLAB畫出情況③的Tj,k(a,b)圖像如圖3。

圖3 情況③的圖像

情況④：當(dāng)

利用MATLAB畫出情況④的Tj,k(a,b)圖像如圖4。

圖4 情況④的圖像

四、結(jié)束語

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)和數(shù)字化處理得的實(shí)際運(yùn)用越來越多，采樣理論已經(jīng)成為現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)。經(jīng)典采樣定理僅對(duì)帶限信號(hào)成立[5]。實(shí)踐中在處理頻域非緊支集和非均勻采樣信號(hào)時(shí)，香農(nóng)定理很難保證信號(hào)的無失真?zhèn)鬏?，為解決這一問題，廣義采樣理論得到了迅速發(fā)展，廣義采樣研究的一個(gè)重要方向即是小波采樣理論[6]。本文以Harr小波為基礎(chǔ)，詳細(xì)逐步推論出小波采樣定理的優(yōu)越性。在香農(nóng)采樣定理當(dāng)中，單位理想沖激串是等間隔采樣的，而小波采樣定理卻不要求等間隔采樣，而是以2-j整數(shù)倍為采樣間隔。同時(shí)在香農(nóng)采樣定理當(dāng)中，要求原始模擬信號(hào)f(t)是頻帶有限的連續(xù)信號(hào)。而利用小波采樣理論卻只要求信f(t)∈L2(R)，也即。這顯然降低了帶限信號(hào)的要求。由此看出小波升維分析的優(yōu)越性。

[1]王志田.軍用軟件無線電通信技術(shù)發(fā)展分析[J].中國(guó)新通信，2016(24)：23-24.

[2]燕慶明.信號(hào)與系統(tǒng)教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010：139.

[3]李秋生，也麗華.帶通信號(hào)采樣理論中的若干問題研究[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017(2)：61-65.

[4]王經(jīng)民.小波分析[M].陜西：西北農(nóng)林科技大學(xué)出版社，2004：190.

[5]周盼盼,付應(yīng)雄.一類非帶限信號(hào)的采樣定理[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017(5)：542-545.

[6]張治國(guó),黃建國(guó),劉震.小波采樣的濾波算法研究[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(6)：900-905.

[責(zé)任編輯 鄭麗娟]