胡翔

摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理.本文抓住笛沙格定理的精髓——兩個對應(yīng)三點形，可輕易解決初等幾何中的動態(tài)問題中

關(guān)鍵詞：笛沙格定理；動態(tài)問題；三點形

1、引言

十七世紀，當?shù)芽▋汉唾M馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學出現(xiàn)在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時期就已經(jīng)引起一些學者的興趣，它的快速發(fā)展得助于歐洲文藝復(fù)興時期透視學的興起，這門幾何學就是射影幾何學。數(shù)學家笛沙格為這門學科建立而做出了重要貢獻，使射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支.笛沙格定理作為射影幾何四大定理之一，不僅是平面射影幾何的基礎(chǔ)之一，而且以它為根據(jù)可以推出一系列射影幾何命題.利用它還可以解決初等幾何中的動態(tài)問題.

2、基本概念

定義1[1]平面內(nèi)不共線的三個點與其每兩點的連線所組成的圖形叫做三點形；平面內(nèi)不共點的三條直線與其每兩條直線的交點所組成的圖形叫做三線性.

定義2[2]在射影平面里設(shè)有點，直線及其相互結(jié)合和順序關(guān)系所組成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各作圖改為它的對偶作圖，其結(jié)果形成另一個命題，這兩個命題叫對偶命題.

定理1（笛沙格定理）[3]如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)邊的交點必在同一條直線上.

定理2（笛沙格逆定理）[3]如果兩個三點形對應(yīng)邊的交點在一直線上，則對應(yīng)頂點的連線交于一點.

笛沙格定理與其逆定理是對偶命題，由對偶原則知，笛沙格定理成立，則其逆定理也成立，這為笛沙格逆定理的證明起到了事半功倍之效.顯然它的真確性是毋庸置疑的，這是對偶原理的功勞！更有趣的是，笛沙格的對偶命題，不僅是笛沙格的逆定理，而且是笛沙格的對偶命題，還是笛沙格的自對偶命題（對偶命題與原命題一致）。這四者的有機統(tǒng)一，無不說明數(shù)學的魅力所在。

3、利用笛沙格定理求解動態(tài)問題

初等幾何中的動態(tài)問題是指在一條直線上有一點是動點，也可以是通過一定點任意作直線，然后根據(jù)題中的其它已知條件，利用笛沙格定理可以解決此類問題.

例1：設(shè) 為共面四條相異的直線， 為 上的兩個定點， 為 上的一個動點，又 分別交 ， 于 求證 交 .

證明：在直線 上任取兩個點 然后 分別交 于 ， 分別交 于 作圖1，即證 三條直線共點.從而，將此動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為三線共點問題.選取三點形 和 ，其兩個三點形的對應(yīng)頂點顯然交于一點 ，由笛沙格定理可知，三點形 和 的對應(yīng)邊的交點 共線.即 三直線共點 .證畢.

這道題看似好像十分復(fù)雜，畫完圖后發(fā)現(xiàn)并不是所想象的那么難，其中兩個動態(tài)點 并不影響點 ，而且三條直線 確定唯一的一點 .

例2：設(shè)有兩條直線 與 以及三個共線點 過 作直線分別與 交于 又 與 交于 ，試證明：點 的軌跡是過 與 交點的一條直線.

證明：過點 任作兩直線 連接 交于點 ，再連接 交于點 ，如圖2.考察三點形 和 ，其對應(yīng)頂點 交于一點 ，由笛沙格定理知，其對應(yīng)邊交點

三點共線，即點 的軌跡是過 與 交點的一直線.顯然點 軌跡是唯一的直線 證畢.

此外，這題也可以選取三點形 和 ，根據(jù)笛沙格逆定理即證.

4、結(jié)束語

在利用笛沙格定理或逆定理證明三線共點或三點共線問題時，關(guān)鍵是準確地找到兩個對應(yīng)三點形，而且要調(diào)整好對應(yīng)頂點的順序.以便達到證明的目的.共線問題和共點問題一般可以轉(zhuǎn)化.在都適用時，一般共線問題用笛沙格定理，共點問題用笛沙格逆定理.當然，我們也要具體問題具體分析.此外，笛沙格定理在初等幾何中的應(yīng)用非常簡單易懂實用，可以化簡初等幾何中繁瑣的步驟，為幾何的證明開辟了一條快捷之路.

參考文獻：

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