摘要:利用微分方程的穩(wěn)定性理論、種群動(dòng)力學(xué)理論及傳因病死亡染病模型的研究方法,根據(jù)不同程度的感染者有不同的傳染率,建立一個(gè)具有階段結(jié)構(gòu)和的傳染病模型,得到了模型的閾值參數(shù) ,根據(jù)赫爾維茨判別方法,證明了模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),證明了模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。
關(guān)鍵詞:階段結(jié)構(gòu);閾值參數(shù);流行病模型;局部性態(tài);全局性態(tài)
0引言
傳染病已經(jīng)是當(dāng)今世界人類面臨的一個(gè)共同問(wèn)題之一,隨著科技的進(jìn)步,經(jīng)濟(jì)的繁榮,除了引發(fā)環(huán)境問(wèn)題,由之引起的還有傳染病問(wèn)題. 傳染病是危及人類身體健康的重要因素之一,長(zhǎng)期以來(lái)一直受到世界各國(guó)的關(guān)注.全球經(jīng)濟(jì)的一體化促進(jìn)了人員的頻繁交流和接觸、全球環(huán)境污染日趨惡化等因素加劇了傳染病的傳播.因此研究傳染病的傳播過(guò)程、內(nèi)在規(guī)律及其如何采取控制措施具有十分重要的意義.
數(shù)學(xué)建模就是利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]第三章介紹了通過(guò)微分方程建模研究實(shí)際問(wèn)題.同時(shí),研究傳染病問(wèn)題的一種重要方法就是微分方程理論,文獻(xiàn)[2]介紹了解微分方程的一些方法。前人的傳染病模型很少在考慮不同傳染程度的不同傳染率的同時(shí)考慮因病死亡率,文獻(xiàn)[2]研究階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型,分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及模型的全局穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[3]研究了SIS模型的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]是運(yùn)用特征方程及輔助系統(tǒng)證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[5-7]研究了階段結(jié)構(gòu)的模型,但文獻(xiàn)[5-9]都沒(méi)有將不同感染程度的問(wèn)題考慮進(jìn)去。本文中,分為輕度傳染病患者與重度傳染病者兩個(gè)不同階段,并以雙線性傳染率為前提,建立了有階段結(jié)構(gòu)和因病死亡的SIRS傳染病模型,具體模型如下:
表示易感患者數(shù)量; 表示輕度感染患者數(shù)量; 表示重度感染患者數(shù)量; 表示免疫人數(shù)的數(shù)量; 是單位時(shí)間內(nèi)種群輸入率并假設(shè)均為易感者; 表示因病的死亡率; 表示自然死亡率; 表示自然死亡率和因病死亡率之和; 表示輕度感染者傳染率; 表示重度感染者傳染率; 表示最終治愈率; 表示由輕度到重度的轉(zhuǎn)化率; 表示輕度感染者的恢復(fù)率; 表示重度感染者的恢復(fù)率;其中,各項(xiàng)系數(shù)均為正常數(shù)。
1 模型平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性分析
令 ,由方程組
得:無(wú)病平衡點(diǎn) ;地方病平衡點(diǎn) 其中:
, ,
,
定理1 如果 ,則系統(tǒng)(1)存在無(wú)病平衡點(diǎn) ,是局部漸近穩(wěn)定的.
證明 系統(tǒng)(1)的雅克比行列式為
由(3)得:無(wú)病平衡點(diǎn) 處的特征方程為:
的特征根
設(shè) 的解 , 則有
解之, 的實(shí)部為負(fù)。
所以,當(dāng) 時(shí),系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn) 是局部漸近且穩(wěn)定的。
定理2 如果 時(shí),則系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸近穩(wěn)定的。
證明 在 處系統(tǒng)(1)的線性近似系統(tǒng)為:
則,系統(tǒng)(4)的雅克比行列式為可得,平衡點(diǎn) 處系統(tǒng)的特征方程為:
根據(jù) 的值得
由于 ,由赫爾維茨判別方法,本方程特征方程的根實(shí)部均為負(fù),我們可以得到,在平衡點(diǎn) 處是局部穩(wěn)定的。因此,當(dāng) ,時(shí),系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸進(jìn)且穩(wěn)定的。
2 模型平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性分析
定理3 如果 ,系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn) 處是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.
證明:構(gòu)造函數(shù):
因此, 時(shí),則系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸近穩(wěn)定的.
定理4 如果 ,且 時(shí),系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 且全局漸進(jìn)穩(wěn)定.
證明 構(gòu)造函數(shù)
則由此,無(wú)病平衡點(diǎn) 是全局漸近穩(wěn)定的.
3 結(jié)語(yǔ)
本文研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)和因病死亡的SIRS傳染病模型,具有因病死亡率、自然死亡率,以及因病死亡率和自然死亡率之和,證明了 時(shí),系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn) 是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的; 時(shí),則地方病平衡點(diǎn) 是局部穩(wěn)定的,疾病消亡.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)構(gòu)造 函數(shù),進(jìn)一步得到系統(tǒng)(1)的全局穩(wěn)定性,如果 ,且 時(shí),系統(tǒng)(1)無(wú)病平衡點(diǎn) 不是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的;如果 ,且 時(shí),系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 且全局漸進(jìn)穩(wěn)定.
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基金項(xiàng)目:陜西省教育廳專項(xiàng)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目:“一帶一路”背景下地方高校中外合作辦學(xué)新模式探索——以渭南師范學(xué)院為例(17JK0259); 渭南師范學(xué)院教育科學(xué)國(guó)際合作項(xiàng)目:基于數(shù)學(xué)模型的中外合作辦學(xué)評(píng)價(jià)體系研究(17GJHZ17);渭南師范學(xué)院人文社科項(xiàng)目:地方高校中外合作辦學(xué)模式研究——以渭南師范學(xué)院為例(16SYB15)。
作者簡(jiǎn)介:張菊梅(1982—),女,陜西寶雞,渭南師范學(xué)院,講師,理學(xué)碩士,主要從事科學(xué)計(jì)算與研究。研究方向:計(jì)算數(shù)學(xué)(科學(xué)計(jì)算與信息處理)。