從度量角度拓展分?jǐn)?shù)意義的理解
——以“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）”為例

◇程艷菊

張丹教授曾指出：對分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注兩個基本維度和四個具體方面。在“比的維度”和“數(shù)的維度”兩個基本維度之下，可以從四個方面來完成對分?jǐn)?shù)豐富性的認(rèn)識，即比率、度量、運(yùn)作和商。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義豐富性認(rèn)識的建構(gòu)。

在實(shí)際教學(xué)中，這四個方面中最容易被忽視的就是度量，分?jǐn)?shù)的度量即指可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。教師們對于分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)大多停留在教學(xué)定義和分辨誰的分?jǐn)?shù)單位是誰上，未能真正體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)單位的價值及分?jǐn)?shù)“度量”意義的作用。北師大版教材五年級上冊“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）”一課，從度量的角度進(jìn)一步闡明分?jǐn)?shù)的意義，為我們提供了鮮活的情境。

一、問題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生思考

課始，教師讓學(xué)生自己制作長6厘米、寬1.5厘米的長方形紙條，要求學(xué)生用制作好的紙條量一量數(shù)學(xué)書的長、寬各是多少，并記錄測量的結(jié)果。通過測量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)書的寬正好是3個紙條長，數(shù)學(xué)書的長是4個紙條長多一些，不能正好量完。由此感受由“1”這個單位可以測量出2、3、4……以此積累創(chuàng)造單位進(jìn)行測量的初步經(jīng)驗(yàn)。

當(dāng)“1”不能測量時，教師提出問題：多出的部分不能正好用1個紙條量完，該怎么繼續(xù)量下去才能正好量完？如何表示其長度？這有效地激發(fā)了學(xué)生對知識探究的欲望，為進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)做準(zhǔn)備，使學(xué)生在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生是實(shí)際測量的需要。

二、通過度量，豐富對分?jǐn)?shù)意義的理解

面對上面核心問題的引領(lǐng)，組織學(xué)生討論探究,教師巡視指導(dǎo)并提示：要量剩下的部分，我們可以怎么做？提示學(xué)生把紙條變短。學(xué)生交流“對折紙條”或者其他減小單位的方法。其實(shí)對折的過程也就是要實(shí)現(xiàn)對“1”個紙條的平均分，這是創(chuàng)造單位的過程。如有的學(xué)生先把紙條對折用一半去量，還是不能正好量完；有的學(xué)生把紙條對折兩次，用紙條的去量正好量完；有的則繼續(xù)對折，用紙條的去量，量了2 次正好量完。

在折、量的過程中，學(xué)生逐步體會到：1 不能正好量完時，可以通過平均分尋找新的單位，分?jǐn)?shù)單位不能量完時，可以尋找、等。明白了兩次對折，出現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)是 “”, 量了 1 次是；對折三次，出現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)是“”，量了 2 次是2個的累加，也就是。最后將紙條表示的長度描出來，發(fā)現(xiàn)量了2 次得到的和表示長短是一樣的，只是測量的標(biāo)準(zhǔn)不一樣。

在操作的過程中，學(xué)生面對測量“小于1”的問題, 借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際自覺地通過“分”,不斷地尋找新的測量標(biāo)準(zhǔn)(分?jǐn)?shù)單位), 創(chuàng)建更小的單位進(jìn)行度量，在一次次的度量中體會分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生和累加的過程。從度量的角度揭示了分?jǐn)?shù)新的意義：將給定的長度等分,用其中的一份作為新的長度單位去量物體的長度,如果正好量完,由此可得到用分?jǐn)?shù)表示物體的長度。

三、借助“分?jǐn)?shù)墻”，認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位

在學(xué)生經(jīng)歷了由“1”分出來的新的測量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行度量后，教師進(jìn)行三個問題的追問：

2.在這一測量過程中，哪個數(shù)又是最重要的呢？

這樣能讓學(xué)生再次體會單位的作用,通過單位的累積可以得到更多的分?jǐn)?shù)。在此基礎(chǔ)上, 引導(dǎo)學(xué)生思考：在實(shí)際生活中，當(dāng)用“1”不能正好量完時，我們除了可以用、、做單位，還可以用什么做單位？學(xué)生可能會回答（出示部分分?jǐn)?shù)墻，如圖1）使學(xué)生意識到不僅對折后形成的可以做單位,還可以有無數(shù)個單位,單位的選擇是根據(jù)實(shí)際需要而來的。

圖1

在此基礎(chǔ)上，揭示“分?jǐn)?shù)單位”概念，由“1”我們可以量出 2、3、4 等。還可以將 1 平均分成幾份,創(chuàng)造出等,再進(jìn)行測量，我們得到的這些幾分之一都是用作測量的標(biāo)準(zhǔn)，像這樣的標(biāo)準(zhǔn)稱之為“分?jǐn)?shù)單位”。接著呈現(xiàn)完整的“分?jǐn)?shù)墻”（如圖2），讓學(xué)生觀察、討論這些由分?jǐn)?shù)單位組成的“分?jǐn)?shù)墻”有什么特點(diǎn)，能發(fā)現(xiàn)什么。

圖2

從這面“分?jǐn)?shù)墻”上，學(xué)生能直觀看到分?jǐn)?shù)單位的大小，即平均分成的份數(shù)越多，它的每一份（即幾分之一）就越小，如……理解一個紙條平均分成幾份，一份就是這個紙條的幾分之一，如一個紙條平均分成9份，一份是這個紙條的，4 份就是有 4個累加，是，這個紙條有9個累加，即1=等。

在這個過程中，教師應(yīng)結(jié)合“分?jǐn)?shù)墻”直觀模型，抓住課堂生成的資源，通過觀察比較、交流反饋，讓學(xué)生再次回顧分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生和累加的過程, 整體認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位, 理解分?jǐn)?shù)單位的本質(zhì)屬性，領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)可以是以某個分?jǐn)?shù)單位為計數(shù)單位進(jìn)行累加得到的結(jié)果，感受度量的價值。

同時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)墻”中蘊(yùn)含的豐富內(nèi)容,為后續(xù)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。使學(xué)生從度量的角度感悟分?jǐn)?shù)豐富的內(nèi)涵，拓展學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解。