簡(jiǎn)析垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

湖南省郴州市宜章縣第四中學(xué) 李恪武

1.一個(gè)學(xué)生設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)模型

在講簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)這一章里一個(gè)學(xué)生拿著一個(gè)自己設(shè)計(jì)的模型如圖（1），讓我給它解釋小球的運(yùn)動(dòng)。圖形如下：一個(gè)箱子里裝著一個(gè)小彈簧振子，放在光滑水平面上，左右兩邊再連接彈簧構(gòu)成一個(gè)大的彈簧振子。在大彈簧振子振動(dòng)的同時(shí)，使小彈簧振子也開始振動(dòng)。最終彈簧振子將做什么運(yùn)動(dòng)呢？學(xué)生自己想象的運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)。

2.用運(yùn)動(dòng)合成的思想解決問題

無疑小球的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。但是從運(yùn)動(dòng)的合成角度來看小球參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：水平方向：隨箱子的左右振動(dòng)，豎直方向：自身的上下振動(dòng)。小球的最終運(yùn)動(dòng)是這兩個(gè)振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

3.兩振子周期（也就是角速度）相同的幾種特殊情況

為了具體,設(shè)大彈簧振子的振幅為A1，角速度為初相位為小彈簧振子的振幅為A2，角速度為初相位為先看一些特殊情況：

3.1.若則：

小球豎直方向的位移：

兩式左右相比得到：①，兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成竟然是一條直線！直線的斜率為正，斜率大小由兩個(gè)振動(dòng)的振幅比值決定。圖形如圖（2）：

3.2.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

整理得

②,這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程。小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)逆時(shí)針的橢圓，設(shè)A1＞ A2圖形如圖（3）：

若A1=A2=A，②式變?yōu)樾∏驅(qū)⒆鲆粋€(gè)逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。半徑為A，線速度軌跡圖形如圖（4）：

3.3.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

3.4.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

通過上面特殊情況的分析知道當(dāng)角速度相同的時(shí)候，小球的運(yùn)動(dòng)主要是三種：直線運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)，橢圓運(yùn)動(dòng)。對(duì)一般相位差分析發(fā)現(xiàn)除了這幾種特殊情況以外，小球的一般運(yùn)動(dòng)為橢圓。

4.一般情況分析

若小球的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)中：這是一種一般的情況。解決的方法還是運(yùn)動(dòng)的合成，看下面推導(dǎo)：

水平方向位移：

從中解出時(shí)間：

豎直方向的位移：

對(duì)方程變形：

解得：

很顯然y和x的關(guān)系，并不是初等函數(shù)。我們不能直接看出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡。解決問題的方法有兩個(gè)：

（1）采用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，點(diǎn)越多圖像越準(zhǔn)確

（2）用實(shí)驗(yàn)的方法：掏空小球在其中裝墨水或細(xì)沙，小球振動(dòng)的過程中自然會(huì)畫出其運(yùn)動(dòng)圖像。這是借用了描簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的方法。

（3）注意：上述函數(shù)關(guān)系式x和y的取值范圍：

（4）可以推斷：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡將和角速度、振幅、初相位有關(guān)。對(duì)應(yīng)這些物理量不同的值會(huì)有不同的圖像。