有獎解題擂臺115號問題的加強

福建省福清第三中學(xué)

何 燈 (郵編：350315)

設(shè)△ABC的三條邊長為a、b、c,其內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、半周長、面積分別為r、R、s、S.對應(yīng)邊上的角平分線長分別為wa、wb、wc.

2018年2月的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》上刊登了有獎解題擂臺115號問題

①

本題由于其簡潔優(yōu)美的形式，吸引著眾多不等式研究者的關(guān)注.本文擬給出上述不等式的一個加強.

②

由歐拉不等式R≥2r知式②強于式①.

定理的證明需要如下引理

定理證明由柯西不等式及引理得

等價于證明16(-R4+28R3r-42R2r2+4Rr3-16r4)(R-2r)2≥0,當(dāng)R<16r時，注意到

-R4+28R3r-42R2r2+4Rr3-16r4

=(22r-R)(R-2r)3+102r2(R-2r)2+140r3(R-2r)+32r4>0,

從而當(dāng)R<16r時，f(s)≥0.

綜上，得證式(2)成立.

1 匡繼昌.常用不等式：4版[M].濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010:271

2 陳計,王振.三角形角平分線的平方和[J],中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1993)(1):36-38