重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué)

吳 波 (郵編：401249)

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2017年第6期擂題(114)是萬(wàn)惠華先生提供的一個(gè)優(yōu)美的六元分式不等式：

我們將證明這個(gè)擂題．先給出一個(gè)引理．

其中36x4-168x3+253x2-169x+96=1-x36x21-x+96x2-121x+48+48>48>0．

擂題114的證明原不等式?

≥3a+b+c．

①

(1)當(dāng)a、b、c能構(gòu)成三角形(包括一邊等于另兩邊之和這種退化情形)時(shí)，設(shè)2p=a+b+c，則p-a，p-b，p-c非負(fù)，而ax+by+cz=p-ay+z+p-bz+x+p-cx+y．而由Cauchy不等式知：

令a=y+z，b=x+z，c=x+y(此處的x、y、z不是擂題中的x、y、z)，因?yàn)閍、b、c能構(gòu)成三角形(包括退化的)，則x、y、z為非負(fù)數(shù)且其中至多有一個(gè)為0．

結(jié)合引理知，只需證：∑-36x4+96x3-61x2+35x≥24即可．

因∑x=1，將上式齊次化，即證：-36∑x4+96∑x3∑x-61∑x2∑x2+11∑x4≥0．

將其配方得：10∑x2x-yx-z+28∑xyx-y2≥0．

結(jié)合Schur不等式可知：上式顯然成立！因此此時(shí)原不等式成立．

(2)當(dāng)a、b、c不能構(gòu)成三角形時(shí)，不妨設(shè)c>a+b．

令c′=a+b，因此存在k>0使得：c=c′+k．此時(shí)

②

結(jié)合②式知：①式左邊

③

④

現(xiàn)在我們要證明③式中的后兩項(xiàng)之和大于3k．事實(shí)上，我們有(注意c′=a+b)：

⑤

由③式并結(jié)合④、⑤兩式知：

①式左邊>3a+b+c′+3k=3a+b+c．因此此時(shí)原不等式成立．

綜合(1)、(2)可知擂題(114)的結(jié)論成立．證畢．

另外，在情形(1)的證明中我們還得到了如下結(jié)論：

注對(duì)一邊等于另兩邊之和這種退化情形仍成立．

1 萬(wàn)惠華．有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(114)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017(6)：封底.